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12. 如图,在四边形 $ABCD$ 中,$∠ BCD = 90°$,$BD$ 垂直平分 $AC$,垂足为点 $E$,$AF ⊥ AC$,$AD ⊥ FD$.
(1)求证:四边形 $ABDF$ 是平行四边形;
(2)如果 $AF = 10$,$DF = 6$,求四边形 $ABCD$ 的面积.
(1)求证:四边形 $ABDF$ 是平行四边形;
(2)如果 $AF = 10$,$DF = 6$,求四边形 $ABCD$ 的面积.
答案
解:(1)证明:由$∠BCD=90°$,BD 垂直平分 AC,易知$∠BAD=∠BCD=90°$,$∠CED=90°$.
∵$AD⊥FD$,$AF⊥AC$,
∴$∠ADF=90°$,$∠CAF=90°$,
∴$AB// FD$,$AF// BD$,
∴四边形 ABDF 是平行四边形.
(2)
∵$AD⊥FD$,$AF=10$,$DF=6$,
∴$AD=\sqrt{AF^2-DF^2}=8$,由(1)得$S_{△ADF}=S_{△DAB}$,易证$S_{△DCB}=S_{△DAB}$,
∴$S_{△DCB}=S_{△DAB}=S_{△ADF}$,
∴$S_{四边形ABCD}=S_{□ABDF}=DF·AD=48$.
∵$AD⊥FD$,$AF⊥AC$,
∴$∠ADF=90°$,$∠CAF=90°$,
∴$AB// FD$,$AF// BD$,
∴四边形 ABDF 是平行四边形.
(2)
∵$AD⊥FD$,$AF=10$,$DF=6$,
∴$AD=\sqrt{AF^2-DF^2}=8$,由(1)得$S_{△ADF}=S_{△DAB}$,易证$S_{△DCB}=S_{△DAB}$,
∴$S_{△DCB}=S_{△DAB}=S_{△ADF}$,
∴$S_{四边形ABCD}=S_{□ABDF}=DF·AD=48$.
解析
【分析】
(1)要证明四边形ABDF是平行四边形，可通过两组对边分别平行的判定定理推导：首先利用BD垂直平分AC的性质，可得∠BAD=∠BCD=90°；结合AF⊥AC，可推出AF和BD均垂直于AC，即AF//BD；结合AD⊥FD，可推出AB和FD均垂直于AD，即AB//FD，即可得证。
(2)求四边形ABCD的面积，首先在Rt△ADF中用勾股定理算出AD的长度；再利用平行四边形的性质、线段垂直平分线的性质，将四边形ABCD的面积转化为平行四边形ABDF的面积，用底乘高计算即可。
【解析】
(1)证明：
∵BD垂直平分AC，∠BCD=90°，
∴∠BAD=∠BCD=90°，∠CED=90°。
∵AD⊥FD，AF⊥AC，
∴∠ADF=90°，∠CAF=90°，
∴∠CAF=∠CED=90°，可得AF//BD，
∠BAD=∠ADF=90°，可得AB//FD，
∴四边形ABDF是平行四边形。
(2)解：
∵AD⊥FD，即△ADF是直角三角形，已知AF=10，DF=6，
∴由勾股定理得：$AD=\sqrt{AF^2-DF^2}=\sqrt{10^2-6^2}=8$。
由(1)知四边形ABDF是平行四边形，因此$S_{△DAB}=S_{△ADF}$，
又
∵BD垂直平分AC，△DCB和△DAB关于BD对称，因此$S_{△DCB}=S_{△DAB}$，
∴$S_{四边形ABCD}=S_{△DCB}+S_{△DAB}=S_{▱ABDF}=DF·AD=6×8=48$。
【答案】
(1)已证四边形ABDF是平行四边形；(2)$\boxed{48}$
【知识点】
平行四边形的判定，线段垂直平分线的性质，勾股定理
【点评】
本题综合考查了几何图形的性质判定与面积计算，解题的关键是灵活转化线段、角的关系以及图形面积，对逻辑推理能力有一定要求。
【难度系数】
0.7
(1)要证明四边形ABDF是平行四边形，可通过两组对边分别平行的判定定理推导：首先利用BD垂直平分AC的性质，可得∠BAD=∠BCD=90°；结合AF⊥AC，可推出AF和BD均垂直于AC，即AF//BD；结合AD⊥FD，可推出AB和FD均垂直于AD，即AB//FD，即可得证。
(2)求四边形ABCD的面积，首先在Rt△ADF中用勾股定理算出AD的长度；再利用平行四边形的性质、线段垂直平分线的性质，将四边形ABCD的面积转化为平行四边形ABDF的面积，用底乘高计算即可。
【解析】
(1)证明：
∵BD垂直平分AC，∠BCD=90°，
∴∠BAD=∠BCD=90°，∠CED=90°。
∵AD⊥FD，AF⊥AC，
∴∠ADF=90°，∠CAF=90°，
∴∠CAF=∠CED=90°，可得AF//BD，
∠BAD=∠ADF=90°，可得AB//FD，
∴四边形ABDF是平行四边形。
(2)解：
∵AD⊥FD，即△ADF是直角三角形，已知AF=10，DF=6，
∴由勾股定理得：$AD=\sqrt{AF^2-DF^2}=\sqrt{10^2-6^2}=8$。
由(1)知四边形ABDF是平行四边形，因此$S_{△DAB}=S_{△ADF}$，
又
∵BD垂直平分AC，△DCB和△DAB关于BD对称，因此$S_{△DCB}=S_{△DAB}$，
∴$S_{四边形ABCD}=S_{△DCB}+S_{△DAB}=S_{▱ABDF}=DF·AD=6×8=48$。
【答案】
(1)已证四边形ABDF是平行四边形；(2)$\boxed{48}$
【知识点】
平行四边形的判定，线段垂直平分线的性质，勾股定理
【点评】
本题综合考查了几何图形的性质判定与面积计算，解题的关键是灵活转化线段、角的关系以及图形面积，对逻辑推理能力有一定要求。
【难度系数】
0.7
13. 如图，已知$□ ABCD$的对角线$AC$和$BD$相交于点$O$，$EF$过点$O$且与边$AB$，$CD$分别相交于点$E$，$F$。
(1)求证:$OE=OF$。
(2)若$AD=1$，$BD=2$，$AC=2\sqrt{2}$，$∠ DOF=α$。
①求$∠ DAO$的度数，并写出当$α$为多少时，$EF⊥ AC$；
②在①的条件下，连接$AF$，则$△ ADF$的周长为________。
(1)求证:$OE=OF$。
(2)若$AD=1$，$BD=2$，$AC=2\sqrt{2}$，$∠ DOF=α$。
①求$∠ DAO$的度数，并写出当$α$为多少时，$EF⊥ AC$；
②在①的条件下，连接$AF$，则$△ ADF$的周长为________。
答案
解:(1)证明:
∵四边形 ABCD 是平行四边形,
∴$OB=OD$,$AB// CD$,
∴$∠EBO=∠FDO$,$∠OEB=∠OFD$. 在
$△ BOE$ 和$△ DOF$ 中,
∵$\begin{cases} ∠OEB=∠OFD, \\ ∠EBO=∠FDO, \\ OB=OD, \end{cases}$
∴$△ BOE≌△ DOF(\mathrm{AAS})$,
∴$OE=OF$.
(2)①
∵四边形 ABCD 是平行四边形,$BD=2$,$AC=2\sqrt{2}$,
∴$OD=\frac{1}{2}BD=1$,$OA=\frac{1}{2}AC=\sqrt{2}$. 又
∵$AD=1$,
∴$AD^2+OD^2=1^2+1^2=(\sqrt{2})^2=OA^2$,
∴$△ ADO$ 是等腰直角三角形,且$∠ADO=90°$,
∴$∠DAO=∠DOA=45°$,
∴当$α=45°$时,$EF⊥AC$.
②$\sqrt{5}+1$
∵四边形 ABCD 是平行四边形,
∴$OB=OD$,$AB// CD$,
∴$∠EBO=∠FDO$,$∠OEB=∠OFD$. 在
$△ BOE$ 和$△ DOF$ 中,
∵$\begin{cases} ∠OEB=∠OFD, \\ ∠EBO=∠FDO, \\ OB=OD, \end{cases}$
∴$△ BOE≌△ DOF(\mathrm{AAS})$,
∴$OE=OF$.
(2)①
∵四边形 ABCD 是平行四边形,$BD=2$,$AC=2\sqrt{2}$,
∴$OD=\frac{1}{2}BD=1$,$OA=\frac{1}{2}AC=\sqrt{2}$. 又
∵$AD=1$,
∴$AD^2+OD^2=1^2+1^2=(\sqrt{2})^2=OA^2$,
∴$△ ADO$ 是等腰直角三角形,且$∠ADO=90°$,
∴$∠DAO=∠DOA=45°$,
∴当$α=45°$时,$EF⊥AC$.
②$\sqrt{5}+1$
解析
【分析】
（1）要证$OE=OF$，可通过证明两条线段所在的$△ BOE$和$△ DOF$全等得到。首先根据平行四边形的性质，可得对角线互相平分即$OB=OD$，且$AB// CD$，因此能得到两组对应角相等，利用AAS即可证明两三角形全等，进而推出$OE=OF$。
（2）①求$∠ DAO$的度数：先利用平行四边形对角线互相平分的性质，算出$OD$、$OA$的长度，结合$AD$的长度，用勾股定理的逆定理可判断$△ ADO$是等腰直角三角形，即可得到$∠ DAO$的度数；要使$EF⊥ AC$，则$∠ AOF=90°$，结合已得的$∠ AOD=45°$，即可求出$α$的度数。
②求$△ ADF$的周长：由$EF⊥ AC$且$O$是$AC$中点，可知$EF$是$AC$的垂直平分线，根据垂直平分线的性质可得$AF=FC$，因此$△ ADF$的周长可转化为$AD+CD$，再求出$CD$的长度即可得到周长结果。
【解析】
(1)证明:
∵四边形$ABCD$是平行四边形,
∴$OB=OD$,$AB// CD$,
∴$∠ EBO=∠ FDO$,$∠ OEB=∠ OFD$.
在$△ BOE$ 和$△ DOF$ 中,
∵$\begin{cases} ∠ OEB=∠ OFD, \\ ∠ EBO=∠ FDO, \\ OB=OD, \end{cases}$
∴$△ BOE≌△ DOF(\mathrm{AAS})$,
∴$OE=OF$.
(2)①
∵四边形$ABCD$是平行四边形,$BD=2$,$AC=2\sqrt{2}$,
∴$OD=\frac{1}{2}BD=1$,$OA=\frac{1}{2}AC=\sqrt{2}$.
又
∵$AD=1$,
∴$AD^2+OD^2=1^2+1^2=(\sqrt{2})^2=OA^2$,
∴$△ ADO$ 是等腰直角三角形,且$∠ ADO=90°$,
∴$∠ DAO=∠ DOA=45°$,
若$EF⊥ AC$,则$∠ AOF=90°$,因此$α=∠ AOF-∠ AOD=90°-45°=45°$，即当$α=45°$时，$EF⊥ AC$.
②
∵$EF⊥ AC$，$O$是$AC$中点，
∴$EF$是$AC$的垂直平分线，
∴$AF=FC$，
∴$△ ADF$的周长$=AD+DF+AF=AD+DF+FC=AD+CD$，
∵四边形$ABCD$是平行四边形，
∴$CD=AB$，
∵$∠ ADO=90°$即$∠ ADB=90°$，
∴$AB=\sqrt{AD^2+BD^2}=\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{5}$，
∴$△ ADF$的周长$=1+\sqrt{5}=\sqrt{5}+1$.
【答案】
(1) 证明成立，$OE=OF$；
(2) ①$∠ DAO=45°$，当$α=45°$时$EF⊥ AC$；
②$\sqrt{5}+1$
【知识点】
平行四边形的性质，全等三角形的判定，勾股定理逆定理
【点评】
本题综合考察了平行四边形性质、三角形全等证明、勾股逆定理及垂直平分线性质的应用，解题时需注意将待求周长通过线段相等进行转化，降低计算难度，对几何基础知识点的综合运用能力有一定要求。
【难度系数】
0.7
（1）要证$OE=OF$，可通过证明两条线段所在的$△ BOE$和$△ DOF$全等得到。首先根据平行四边形的性质，可得对角线互相平分即$OB=OD$，且$AB// CD$，因此能得到两组对应角相等，利用AAS即可证明两三角形全等，进而推出$OE=OF$。
（2）①求$∠ DAO$的度数：先利用平行四边形对角线互相平分的性质，算出$OD$、$OA$的长度，结合$AD$的长度，用勾股定理的逆定理可判断$△ ADO$是等腰直角三角形，即可得到$∠ DAO$的度数；要使$EF⊥ AC$，则$∠ AOF=90°$，结合已得的$∠ AOD=45°$，即可求出$α$的度数。
②求$△ ADF$的周长：由$EF⊥ AC$且$O$是$AC$中点，可知$EF$是$AC$的垂直平分线，根据垂直平分线的性质可得$AF=FC$，因此$△ ADF$的周长可转化为$AD+CD$，再求出$CD$的长度即可得到周长结果。
【解析】
(1)证明:
∵四边形$ABCD$是平行四边形,
∴$OB=OD$,$AB// CD$,
∴$∠ EBO=∠ FDO$,$∠ OEB=∠ OFD$.
在$△ BOE$ 和$△ DOF$ 中,
∵$\begin{cases} ∠ OEB=∠ OFD, \\ ∠ EBO=∠ FDO, \\ OB=OD, \end{cases}$
∴$△ BOE≌△ DOF(\mathrm{AAS})$,
∴$OE=OF$.
(2)①
∵四边形$ABCD$是平行四边形,$BD=2$,$AC=2\sqrt{2}$,
∴$OD=\frac{1}{2}BD=1$,$OA=\frac{1}{2}AC=\sqrt{2}$.
又
∵$AD=1$,
∴$AD^2+OD^2=1^2+1^2=(\sqrt{2})^2=OA^2$,
∴$△ ADO$ 是等腰直角三角形,且$∠ ADO=90°$,
∴$∠ DAO=∠ DOA=45°$,
若$EF⊥ AC$,则$∠ AOF=90°$,因此$α=∠ AOF-∠ AOD=90°-45°=45°$，即当$α=45°$时，$EF⊥ AC$.
②
∵$EF⊥ AC$，$O$是$AC$中点，
∴$EF$是$AC$的垂直平分线，
∴$AF=FC$，
∴$△ ADF$的周长$=AD+DF+AF=AD+DF+FC=AD+CD$，
∵四边形$ABCD$是平行四边形，
∴$CD=AB$，
∵$∠ ADO=90°$即$∠ ADB=90°$，
∴$AB=\sqrt{AD^2+BD^2}=\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{5}$，
∴$△ ADF$的周长$=1+\sqrt{5}=\sqrt{5}+1$.
【答案】
(1) 证明成立，$OE=OF$；
(2) ①$∠ DAO=45°$，当$α=45°$时$EF⊥ AC$；
②$\sqrt{5}+1$
【知识点】
平行四边形的性质，全等三角形的判定，勾股定理逆定理
【点评】
本题综合考察了平行四边形性质、三角形全等证明、勾股逆定理及垂直平分线性质的应用，解题时需注意将待求周长通过线段相等进行转化，降低计算难度，对几何基础知识点的综合运用能力有一定要求。
【难度系数】
0.7
