8. 如图，O是$△ ABC$内一点，连接$OB$，$OC$，并将$AB$，$OB$，$OC$，$AC$的中点$D$，$E$，$F$，$G$依次连接，得到四边形$DEFG$.
(1)求证：四边形$DEFG$是平行四边形；
(2)若$M$为$EF$的中点，$OM=5$，$∠ OBC$和$∠ OCB$互余，求$DG$的长度.

解:(1)证明略.
(2)$DG=10$.

【分析】
(1)要证明四边形DEFG是平行四边形，可通过“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”来推导。题中给出的点均为对应边的中点，可借助三角形中位线定理，分别得到DG、EF与BC的位置和数量关系，进而推导DG和EF的关系完成证明。
(2)首先根据两角互余的性质可得△OBC为直角三角形，再结合直角三角形斜边中线的性质求出EF的长度，最后利用平行四边形对边相等的性质即可得到DG的长度。
【解析】
(1)证明：
∵D、G分别是AB、AC的中点，
∴DG是△ABC的中位线，
根据三角形中位线定理得：$DG// BC$，$DG=\frac{1}{2}BC$。
∵E、F分别是OB、OC的中点，
∴EF是△OBC的中位线，
同理得：$EF// BC$，$EF=\frac{1}{2}BC$。
∴$DG// EF$，$DG=EF$，
∴四边形DEFG是平行四边形。
(2)解：
∵$∠OBC$和$∠OCB$互余，
∴$∠OBC+∠OCB=90°$，
在△OBC中，$∠BOC=180°-(∠OBC+∠OCB)=90°$，即△OBC是直角三角形。
∵M为EF的中点，在Rt△OEF中，OM是斜边EF的中线，
根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半，得$EF=2OM$。
∵$OM=5$，
∴$EF=2×5=10$。
由(1)知四边形DEFG是平行四边形，平行四边形对边相等，
∴$DG=EF=10$。
【答案】
(1)证明见解析；(2)$DG=10$
【知识点】
三角形中位线定理；平行四边形的判定与性质；直角三角形的性质
【点评】
本题围绕中点相关的几何性质展开考查，解题的关键是灵活运用中位线定理、平行四边形的判定和性质，将已知条件和所求线段建立关联，综合性不强，属于基础类几何题。
【难度系数】
0.7

9. 如图,在$△ ABC$中,$AB=BC=12$,$BD\bot AC$于点$D$,点$F$在$BC$上,且$BF=4$,连接$AF$,$E$为$AF$的中点,连接$DE$,则$DE$的长为 （）

A.3
B.4
C.5
D.6

9.B

【分析】
解题时首先观察图形特征：已知△ABC是等腰三角形（AB=BC），且BD⊥AC，可利用等腰三角形三线合一的性质得出D为AC的中点；再结合E是AF的中点，可判断DE是△AFC的中位线，根据中位线定理可知DE长度为FC的一半，最后通过线段和差计算出FC的长度即可求得DE的长。
【解析】
解：
∵AB=BC，BD⊥AC，
∴根据等腰三角形“三线合一”的性质，可得D是AC的中点。
又
∵E是AF的中点，
∴DE是△AFC的中位线，
根据三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半，可得：
$DE=\frac{1}{2}FC$。
已知BC=12，BF=4，
∴$FC=BC-BF=12-4=8$，
∴$DE=\frac{1}{2}×8=4$。
【答案】
B
【知识点】
等腰三角形的性质；三角形中位线定理；线段和差计算
【点评】
本题是基础几何综合题，核心是通过等腰三角形性质和中点特征识别出三角形中位线，熟练掌握相关定理就能快速解题，同时也体现了转化思想在几何计算中的应用。
【难度系数】
0.7

10. 如图,在$□ AMCN$中,对角线$AC$,$MN$相交于点$O$,点$B$和点$D$分别在$OM$,$ON$的延长线上.添加以下条件,不能说明四边形$ABCD$是平行四边形的是 （）

A.$AB=AD$
B.$AD// BC$
C.$BM=DN$
D.$∠ MAB=∠ NCD$

10.A

【分析】
首先根据已知平行四边形AMCN的性质，可得对角线互相平分，即$OA=OC$，$OM=ON$。要判断四边形$ABCD$是否为平行四边形，可优先利用“对角线互相平分的四边形是平行四边形”的判定定理，即只需证明$OB=OD$即可，也可通过证明对边平行/相等来判定，接下来逐一分析各选项：
若添加条件为$AB=AD$，仅能说明$△ ABD$是等腰三角形，无法推出$OB=OD$，也不能证明$ABCD$的对边平行或相等，无法判定是平行四边形；
若添加$AD// BC$，可通过角边角证明$△ AOD≌△ COB$，得到$OD=OB$，结合$OA=OC$即可判定$ABCD$是平行四边形；
若添加$BM=DN$，结合$OM=ON$可直接推出$OB=OD$，即可判定$ABCD$是平行四边形；
若添加$∠ MAB=∠ NCD$，结合平行四边形$AMCN$中$AM// CN$可得的$∠ OAM=∠ OCN$，可推出$∠ OAB=∠ OCD$，再通过角边角证明$△ AOB≌△ COD$，得到$OB=OD$，即可判定$ABCD$是平行四边形。
【解析】
已知四边形$AMCN$是平行四边形，根据平行四边形的性质可得：$OA=OC$，$OM=ON$。
选项A：添加$AB=AD$，仅能说明$△ ABD$为等腰三角形，无法推出$OB=OD$，也无法证明四边形$ABCD$的对边平行或相等，因此不能判定四边形$ABCD$是平行四边形，符合题意；
选项B：添加$AD// BC$，则$∠ OAD=∠ OCB$，
在$△ AOD$和$△ COB$中：
$\{\begin{array}{l}∠ OAD=∠ OCB\\ OA=OC\\ ∠ AOD=∠ COB\end{array} $
$\therefore△ AOD≌△ COB(\mathrm{ASA})$，$\therefore OD=OB$，
又$\because OA=OC$，即四边形$ABCD$对角线互相平分，$\therefore$四边形$ABCD$是平行四边形，不符合题意；
选项C：添加$BM=DN$，
$\because OM=ON$，$\therefore OM+BM=ON+DN$，即$OB=OD$，
又$\because OA=OC$，$\therefore$四边形$ABCD$对角线互相平分，是平行四边形，不符合题意；
选项D：添加$∠ MAB=∠ NCD$，
$\because$四边形$AMCN$是平行四边形，$\therefore AM// CN$，$\therefore∠ OAM=∠ OCN$，
$\therefore∠ OAM+∠ MAB=∠ OCN+∠ NCD$，即$∠ OAB=∠ OCD$，
在$△ AOB$和$△ COD$中：
$\{\begin{array}{l}∠ OAB=∠ OCD\\ OA=OC\\ ∠ AOB=∠ COD\end{array} $
$\therefore△ AOB≌△ COD(\mathrm{ASA})$，$\therefore OB=OD$，
又$\because OA=OC$，$\therefore$四边形$ABCD$是平行四边形，不符合题意。
【答案】
A
【知识点】
平行四边形的性质；平行四边形的判定；全等三角形的判定与性质
【点评】
本题考查平行四边形的性质与判定的综合应用，解题的关键是熟练掌握平行四边形对角线互相平分的性质，以及“对角线互相平分的四边形是平行四边形”这一核心判定定理，结合全等三角形的相关知识逐一分析选项即可。
【难度系数】
0.7

11.如图,在$□ ABCD$中,E 为边 AB 上一点,将$△ BCE$沿 CE 翻折,点 B 的对应点 F 恰好落在 DA 的延长线上,且$EF⊥ AD$.若$AD=12,CD=5$,则 BE 的长度为.

11.2.4

【分析】
解题时首先结合平行四边形的性质得到对应边相等、对角相等、对边平行的关系，再利用折叠的性质得到翻折前后对应边、对应角相等的结论，推导得出△FCD为直角三角形，用勾股定理求出FD的长度，进而得到FA的长度；最后设BE的长度为x，用含x的式子表示出AE的长度，在Rt△FAE中利用勾股定理列方程求解即可。
【解析】
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD=5，BC=AD=12，AD//BC，∠B=∠D。
由折叠的性质可得：BE=EF，BC=CF=12，∠B=∠CFE。
∵EF⊥AD，
∴∠EFD=90°，即∠CFE + ∠CFD=90°，
又
∵∠CFE=∠B=∠D，
∴∠D + ∠CFD=90°，
∴∠FCD=180°-(∠D+∠CFD)=90°，即△FCD是直角三角形。
在Rt△FCD中，由勾股定理得：
$FD=\sqrt{CF^2+CD^2}=\sqrt{12^2+5^2}=13$，
∴$FA=FD-AD=13-12=1$。
设$BE=x$，则$EF=x$，$AE=AB-BE=5-x$，
在Rt△FAE中，由勾股定理得：$EF^2+FA^2=AE^2$，
代入得：$x^2+1^2=(5-x)^2$，
展开化简得：$10x=24$，解得$x=2.4$。
【答案】
2.4
【知识点】
平行四边形的性质，折叠的性质，勾股定理
【点评】
本题属于几何综合题，将平行四边形、折叠变换与勾股定理相结合，解题的关键是通过角的关系推出△FCD是直角三角形，再利用方程思想结合勾股定理求解，是初中几何的常见典型题型。
【难度系数】
0.6