8. 如图,在$△ ABC$中,$∠ ACB=90°$,$D$是$AB$的中点,$DE$,$DF$分别是$∠ BDC$,$∠ ADC$的平分线.
(1)求$∠ CFD$的度数;
(2)求证:四边形$DECF$是矩形.

8.解:(1)$∠CFD=90°$.
(2)证明:
∵∠ACB=90°,D是AB的中点,
∴CD=BD.
∵DE是∠BDC的平分线,
∴DE⊥BC,
∴∠DEC=90°.由(1)知∠CFD=90°,且∠ACB=90°,
∴四边形DECF是矩形.

【分析】
(1)求解∠CFD的度数：首先根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半，可得CD=AD，即△ADC为等腰三角形，再结合DF是∠ADC的角平分线，利用等腰三角形“三线合一”的性质可推出DF⊥AC，即可得到∠CFD的度数。
(2)证明四边形DECF是矩形：矩形的判定定理之一是“三个角是直角的四边形是矩形”，已知∠ACB=90°，第一问已得∠CFD=90°，只需再证明∠DEC=90°即可；同理根据直角三角形斜边中线性质得CD=BD，△BDC为等腰三角形，DE是∠BDC的角平分线，由三线合一得DE⊥BC，即可得到∠DEC=90°，满足三个角为直角，即可判定为矩形。
【解析】
(1) 解：
∵ 在$△ABC$中，$∠ACB=90°$，$D$是$AB$的中点，
∴ $CD=AD=\frac{1}{2}AB$（直角三角形斜边中线等于斜边的一半），即$△ADC$是等腰三角形，
∵ $DF$是$∠ADC$的平分线，
∴ $DF⊥AC$（等腰三角形顶角的平分线与底边上的高重合），
∴ $∠CFD=90°$。
(2) 证明：
∵ 在$△ABC$中，$∠ACB=90°$，$D$是$AB$的中点，
∴ $CD=BD=\frac{1}{2}AB$，即$△BDC$是等腰三角形，
∵ $DE$是$∠BDC$的平分线，
∴ $DE⊥BC$（等腰三角形顶角的平分线与底边上的高重合），
∴ $∠DEC=90°$，
由(1)可知$∠CFD=90°$，又已知$∠ACB=90°$，
∴ 四边形$DECF$有三个内角为直角，
∴ 四边形$DECF$是矩形。
【答案】
(1) $∠CFD=90°$；
(2) 四边形$DECF$是矩形，证明成立。
【知识点】
直角三角形斜边中线性质；等腰三角形三线合一；矩形的判定
【点评】
本题是基础几何综合题，将直角三角形、等腰三角形的性质和矩形的判定结合考查，解题核心是先利用直角三角形斜边中线的性质得到等腰三角形，再结合角平分线用三线合一得到垂直关系，最后套用矩形判定定理即可完成解答，解题思路清晰，规律性较强。
【难度系数】
0.7

9. 如图,矩形 $ABCD$ 的对角线相交于点 $O$, $OF ⊥ AB$ 于点 $F$, $BE ⊥ AC$ 于点 $E$,且 $E$ 是 $OC$ 的中点.若 $OF = 4$,则 $BD$ 的长为 $\quad (\quad)$


A.$16$
B.$8$
C.$4\sqrt{3}$
D.$8\sqrt{3}$

9.A

【分析】
解题时先从矩形的性质入手，首先观察到OF⊥AB，矩形中BC也垂直AB，因此OF平行于BC，结合O是矩形对角线的中点，可判定OF是△ABC的中位线，由此求出BC的长度；再根据BE垂直OC且E是OC中点，可知BE是OC的垂直平分线，利用垂直平分线的性质得到OB=BC；最后结合矩形对角线相等且互相平分的性质，即可求出BD的长度。
【解析】
解：
∵ 四边形ABCD是矩形，
∴ AC=BD，OA=OC=$\frac{1}{2}$AC，OB=OD=$\frac{1}{2}$BD，∠ABC=90°，即BC⊥AB，
∴ OB=OC。
∵ OF⊥AB，
∴ OF//BC，
又
∵ O是AC的中点，
∴ F是AB的中点，即OF是△ABC的中位线，
∴ BC=2OF=2×4=8。
∵ BE⊥AC，且E是OC的中点，
∴ BE是线段OC的垂直平分线，
∴ OB=BC=8，
∴ BD=2OB=2×8=16。
【答案】
A
【知识点】
矩形的性质；三角形中位线定理；线段垂直平分线的性质
【点评】
本题是矩形性质应用的典型习题，将多个基础几何知识点结合考查，解题的关键是找到中位线、垂直平分线这两个特殊几何关系，逐步推导所求线段与已知线段的关联。
【难度系数】
0.7

10. 如图，P 是矩形 ABCD 内一点（不含边界），若 $ S_{△ PAB}=S_{△ PBC} $，则点 P 一定在 （）

A.对角线 BD 上
B.对角线 AC 上
C.$ ∠ ABC $ 的平分线上
D.对角线 AC 和 BD 的交点处

10.A

【分析】
要判断满足$S_{△PAB}=S_{△PBC}$的点P的位置，我们可以结合矩形边互相垂直的性质，用三角形面积公式表示出两个三角形的面积，推导点P满足的位置关系。首先回忆三角形面积公式为$\frac{1}{2}×底×高$，我们可以分别以AB、BC为底表示两个三角形的面积，根据面积相等列等式，再将得到的关系式和矩形各条特殊线的特征对比即可得出结论，也可以通过建立平面直角坐标系，用坐标法更直观地推导。
【解析】
设矩形ABCD的顶点坐标为：A(0,0)，B(a,0)，C(a,b)，D(0,b)（其中a＞0，b＞0），矩形内点P的坐标为(x,y)（0＜x＜a，0＜y＜b）。
1. 计算$S_{△PAB}$：以AB为底，长度为a，点P到AB（x轴）的垂直距离为y，因此
$S_{△PAB}=\frac{1}{2}×AB×y=\frac{1}{2}ay$
2. 计算$S_{△PBC}$：以BC为底，长度为b，点P到BC（直线x=a）的水平距离为$a-x$，因此
$S_{△PBC}=\frac{1}{2}×BC×(a-x)=\frac{1}{2}b(a-x)$
3. 根据题意$S_{△PAB}=S_{△PBC}$，列等式：
$\frac{1}{2}ay=\frac{1}{2}b(a-x)$
两边同时乘2消去系数，整理得：
$bx+ay=ab$
两边同时除以ab，得$\frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1$，该式正是对角线BD（过点B(a,0)和D(0,b)）的直线表达式，因此点P一定在对角线BD上。
【答案】
A
【知识点】
矩形的性质、三角形面积计算、坐标法的应用
【点评】
这道题将矩形性质和三角形面积公式结合，通过数形结合的方法可以快速推导出点的轨迹，解题的关键是正确选择三角形的底和高，准确表示两个三角形的面积，能够很好地锻炼逻辑推理和数形结合的能力。
【难度系数】
0.7

11. 如图,在 $\mathrm{Rt}△ ABC$ 中,$∠ ACB=90°$,$AC=3$,$BC=4$,$D$ 是 $AB$ 边上的动点,过点 $D$ 作边 $AC$,$BC$ 的垂线,垂足分别为点 $E$,$F$,连接 $EF$,则 $EF$ 的最小值为________.

11.2.4

【分析】
首先观察图形，DE⊥AC、DF⊥BC，∠ACB=90°，可先判断四边形CEDF的形状，利用矩形性质将EF的长度转化为CD的长度；再根据“点到直线的距离，垂线段最短”，可知当CD⊥AB时CD最短，即EF最短，最后用面积法求出此时CD的长度即可得到EF的最小值。
【解析】
∵ ∠ACB=90°，DE⊥AC，DF⊥BC，
∴ ∠CED=∠CFD=∠C=90°，
∴ 四边形CEDF是矩形，
∴ EF=CD。
在Rt△ABC中，由勾股定理得：
$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{3^2+4^2}=5$。
根据垂线段最短可知，当CD⊥AB时，CD的长度最小，此时EF的值也最小。
由三角形面积公式可得：
$S_{△ABC}=\frac{1}{2}AC·BC=\frac{1}{2}AB·CD$，
代入数值：$\frac{1}{2}×3×4=\frac{1}{2}×5×CD$，
解得：$CD=\frac{12}{5}=2.4$，
即EF的最小值为2.4。
【答案】
2.4
【知识点】
矩形的判定与性质，垂线段最短，勾股定理
【点评】
本题考查几何最值问题，核心是通过矩形的性质将未知线段EF的最值转化为可求的垂线段CD的长度，体现了转化的数学思想，解题的关键是找到EF与CD的等量关系。
【难度系数】
0.6