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三、计算题
7. 一个长方体木块的质量为 0.12 kg，高为 4.0 cm，将木块平稳地放在水面上，静止时木块露出水面的高度为 2.0 cm，如图 3(a)所示。利用金属块和细线，使木块浸没水中且保持静止状态，如图 3(b)所示。已知水的密度$\rho_{\mathrm{水}}=1.0× 10^{3}\ \mathrm{kg/m}^3$，$g$取$10\ \mathrm{N/kg}$，求：
(1) 木块的密度$\rho_{\mathrm{木}}$；
(2) 细线对木块的拉力$F$。
7. 一个长方体木块的质量为 0.12 kg，高为 4.0 cm，将木块平稳地放在水面上，静止时木块露出水面的高度为 2.0 cm，如图 3(a)所示。利用金属块和细线，使木块浸没水中且保持静止状态，如图 3(b)所示。已知水的密度$\rho_{\mathrm{水}}=1.0× 10^{3}\ \mathrm{kg/m}^3$，$g$取$10\ \mathrm{N/kg}$，求：
(1) 木块的密度$\rho_{\mathrm{木}}$；
(2) 细线对木块的拉力$F$。
答案
7. (1) $0.5 × 10^3 \ \mathrm{kg/m}^3$ (2) $1.2 \ \mathrm{N}$
解析
【分析】
首先分析图(a)中漂浮的木块，利用漂浮时浮力等于重力的条件，结合阿基米德原理，通过木块浸入水中体积与总体积的关系推导木块密度；再分析图(b)中完全浸没的木块，根据受力平衡，结合阿基米德原理求出完全浸没时的浮力，进而计算细线对木块的拉力。
【解析】
(1) 设木块底面积为$ S $，木块高$ h=4.0\ \mathrm{cm} $，漂浮时露出水面高度$ h_{\mathrm{露}}=2.0\ \mathrm{cm} $，则浸入水中高度$ h_{\mathrm{浸}}=h - h_{\mathrm{露}}=2.0\ \mathrm{cm}=\frac{h}{2} $，排开水的体积$ V_{\mathrm{排}}=S· h_{\mathrm{浸}}=\frac{1}{2}V_{\mathrm{木}} $（$ V_{\mathrm{木}}=S· h $为木块总体积）。
木块漂浮，由漂浮条件$ F_{\mathrm{浮}}=G_{\mathrm{木}} $，结合阿基米德原理$ F_{\mathrm{浮}}=\rho_{\mathrm{水}}gV_{\mathrm{排}} $，重力公式$ G_{\mathrm{木}}=\rho_{\mathrm{木}}gV_{\mathrm{木}} $，得：
$ \rho_{\mathrm{水}}g·\frac{1}{2}V_{\mathrm{木}}=\rho_{\mathrm{木}}gV_{\mathrm{木}} $，约去$ g $和$ V_{\mathrm{木}} $，解得$ \rho_{\mathrm{木}}=\frac{1}{2}\rho_{\mathrm{水}}=0.5×10^3\ \mathrm{kg/m}^3 $。
(2) 木块的重力：$ G_{\mathrm{木}}=mg=0.12\ \mathrm{kg}×10\ \mathrm{N/kg}=1.2\ \mathrm{N} $；
木块完全浸没时，排开水的体积$ V_{\mathrm{排}}'=V_{\mathrm{木}} $，由$ \rho_{\mathrm{木}}=\frac{m}{V_{\mathrm{木}}} $得$ V_{\mathrm{木}}=\frac{m}{\rho_{\mathrm{木}}}=\frac{0.12\ \mathrm{kg}}{0.5×10^3\ \mathrm{kg/m}^3}=2.4×10^{-4}\ \mathrm{m}^3 $；
完全浸没时木块受到的浮力：$ F_{\mathrm{浮}}'=\rho_{\mathrm{水}}gV_{\mathrm{排}}'=1.0×10^3\ \mathrm{kg/m}^3×10\ \mathrm{N/kg}×2.4×10^{-4}\ \mathrm{m}^3=2.4\ \mathrm{N} $；
木块静止，受力平衡：$ F_{\mathrm{浮}}'=G_{\mathrm{木}}+F $，则细线对木块的拉力：$ F=F_{\mathrm{浮}}'-G_{\mathrm{木}}=2.4\ \mathrm{N}-1.2\ \mathrm{N}=1.2\ \mathrm{N} $。
【答案】
(1) $ 0.5 × 10^3 \ \mathrm{kg/m}^3 $ (2) $ 1.2 \ \mathrm{N} $
【知识点】
浮力、阿基米德原理、物体浮沉条件
【点评】
本题结合漂浮条件和受力平衡考查浮力计算，需明确两种状态下木块的受力特点，利用阿基米德原理推导求解，是浮力部分的典型应用题型。
【难度系数】
0.5
首先分析图(a)中漂浮的木块，利用漂浮时浮力等于重力的条件，结合阿基米德原理，通过木块浸入水中体积与总体积的关系推导木块密度；再分析图(b)中完全浸没的木块，根据受力平衡，结合阿基米德原理求出完全浸没时的浮力，进而计算细线对木块的拉力。
【解析】
(1) 设木块底面积为$ S $，木块高$ h=4.0\ \mathrm{cm} $，漂浮时露出水面高度$ h_{\mathrm{露}}=2.0\ \mathrm{cm} $，则浸入水中高度$ h_{\mathrm{浸}}=h - h_{\mathrm{露}}=2.0\ \mathrm{cm}=\frac{h}{2} $，排开水的体积$ V_{\mathrm{排}}=S· h_{\mathrm{浸}}=\frac{1}{2}V_{\mathrm{木}} $（$ V_{\mathrm{木}}=S· h $为木块总体积）。
木块漂浮，由漂浮条件$ F_{\mathrm{浮}}=G_{\mathrm{木}} $，结合阿基米德原理$ F_{\mathrm{浮}}=\rho_{\mathrm{水}}gV_{\mathrm{排}} $，重力公式$ G_{\mathrm{木}}=\rho_{\mathrm{木}}gV_{\mathrm{木}} $，得：
$ \rho_{\mathrm{水}}g·\frac{1}{2}V_{\mathrm{木}}=\rho_{\mathrm{木}}gV_{\mathrm{木}} $，约去$ g $和$ V_{\mathrm{木}} $，解得$ \rho_{\mathrm{木}}=\frac{1}{2}\rho_{\mathrm{水}}=0.5×10^3\ \mathrm{kg/m}^3 $。
(2) 木块的重力：$ G_{\mathrm{木}}=mg=0.12\ \mathrm{kg}×10\ \mathrm{N/kg}=1.2\ \mathrm{N} $；
木块完全浸没时，排开水的体积$ V_{\mathrm{排}}'=V_{\mathrm{木}} $，由$ \rho_{\mathrm{木}}=\frac{m}{V_{\mathrm{木}}} $得$ V_{\mathrm{木}}=\frac{m}{\rho_{\mathrm{木}}}=\frac{0.12\ \mathrm{kg}}{0.5×10^3\ \mathrm{kg/m}^3}=2.4×10^{-4}\ \mathrm{m}^3 $；
完全浸没时木块受到的浮力：$ F_{\mathrm{浮}}'=\rho_{\mathrm{水}}gV_{\mathrm{排}}'=1.0×10^3\ \mathrm{kg/m}^3×10\ \mathrm{N/kg}×2.4×10^{-4}\ \mathrm{m}^3=2.4\ \mathrm{N} $；
木块静止，受力平衡：$ F_{\mathrm{浮}}'=G_{\mathrm{木}}+F $，则细线对木块的拉力：$ F=F_{\mathrm{浮}}'-G_{\mathrm{木}}=2.4\ \mathrm{N}-1.2\ \mathrm{N}=1.2\ \mathrm{N} $。
【答案】
(1) $ 0.5 × 10^3 \ \mathrm{kg/m}^3 $ (2) $ 1.2 \ \mathrm{N} $
【知识点】
浮力、阿基米德原理、物体浮沉条件
【点评】
本题结合漂浮条件和受力平衡考查浮力计算，需明确两种状态下木块的受力特点，利用阿基米德原理推导求解，是浮力部分的典型应用题型。
【难度系数】
0.5
