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1 探究与发现。
(1)先用棱长1 cm的小正方体拼成下面的大正方体,再把大正方体的表面涂上颜色。
①一共使用了(
②小正方体中三面涂色的有(
③小正方体中两面涂色的有(
④小正方体中一面涂色的有(
⑤所有面都没有涂色的小正方体有(
(2)把一个六面都涂色的大正方体切成27个相同的小正方体,这些小正方体中三面涂色的有(
发现:把棱长$n\ \mathrm{cm}$($n$为大于1的自然数)的涂色大正方体切成棱长1 cm的小正方体时,
小正方体中三面涂色的有
(1)先用棱长1 cm的小正方体拼成下面的大正方体,再把大正方体的表面涂上颜色。
①一共使用了(
64
)个小正方体。②小正方体中三面涂色的有(
8
)个,在图中用字母A标出其中一个。③小正方体中两面涂色的有(
24
)个,在图中用字母B标出其中一个。④小正方体中一面涂色的有(
24
)个,在图中用字母C标出其中一个。⑤所有面都没有涂色的小正方体有(
8
)个。(2)把一个六面都涂色的大正方体切成27个相同的小正方体,这些小正方体中三面涂色的有(
8
)个,两面涂色的有(12
)个,一面涂色的有(6
)个,没有涂色的有(1
)个。发现:把棱长$n\ \mathrm{cm}$($n$为大于1的自然数)的涂色大正方体切成棱长1 cm的小正方体时,
小正方体中三面涂色的有
8
个,两面涂色的有12(n - 2)
个,一面涂色的有$6(n - 2)^{2}$
个,没有涂色的有$(n - 2)^{3}$
个。答案
1. (1)①64
②8 如右图。
③24 如右图。
④24 如右图。
⑤8
(标法不唯一)
(2)8 12 6 1
发现：$8$ $12(n - 2)$ $6(n - 2)^{2}$ $(n - 2)^{3}$
解析：正方体的体积公式是$V = a^{3}$。
$4×4×4 = 64$，第(1)题使用了64个小正方体。
$27 = 3×3×3$，第(2)题相当于把棱长3 cm的大正方体切成棱长为1 cm的小正方体。
涂色小正方体的图示与规律，如下所示。
三面涂色：顶点数 = 8
小正方 两面涂色：棱的条数×(棱长 - 2) = $12(n - 2)$
体个数 一面涂色：面的个数×(棱长 - 2)$^{2}$ = $6(n - 2)^{2}$
没有涂色：(棱长 - 2)$^{3}$ = $(n - 2)^{3}$
解析
【分析】
我们可以从正方体的结构特征入手来分析这道题：
1. 计算总小正方体个数：利用正方体体积公式，大正方体棱长是几，总个数就是棱长的立方。
2. 分析不同涂色情况的小正方体位置：
三面涂色的小正方体在大正方体的顶点处，正方体有8个顶点，所以这类小正方体数量固定为8个；
两面涂色的小正方体在大正方体的棱上（除去顶点），每条棱上的数量是棱长减2，再乘以正方体的12条棱就能得到总数；
一面涂色的小正方体在大正方体每个面的中间部分（除去棱上的），每个面的数量是(棱长-2)的平方，再乘以6个面得到总数；
没有涂色的小正方体在大正方体的内部，相当于一个棱长为(原棱长-2)的正方体，用这个小正方体的体积计算数量。
先结合具体的4×4×4和3×3×3的大正方体计算，再归纳出棱长为n的大正方体的通用规律。
【解析】
(1) ① 观察图形可知大正方体棱长为4cm，总小正方体个数为：$4×4×4=64$（个）
② 三面涂色的小正方体在正方体顶点位置，正方体有8个顶点，所以有8个。
③ 两面涂色的小正方体在棱上（不含顶点），每条棱上有$4-2=2$个，正方体有12条棱，总数为：$12×2=24$（个）
④ 一面涂色的小正方体在每个面的中间，每个面有$(4-2)×(4-2)=4$个，正方体有6个面，总数为：$6×4=24$（个）
⑤ 没有涂色的小正方体在内部，相当于棱长为$4-2=2$的正方体，数量为：$2×2×2=8$（个）
(2) $27=3×3×3$，即大正方体棱长为3cm：
三面涂色：在顶点处，共8个；
两面涂色：$12×(3-2)=12$（个）；
一面涂色：$6×(3-2)^2=6$（个）；
没有涂色：$(3-2)^3=1$（个）
归纳规律：把棱长$n\ \mathrm{cm}$（$n$为大于1的自然数）的涂色大正方体切成棱长1cm的小正方体时：
三面涂色的小正方体在顶点，共8个；
两面涂色的：$12(n-2)$个；
一面涂色的：$6(n-2)^2$个；
没有涂色的：$(n-2)^3$个。
【答案】
1. (1)①64
②8 如右图。
③24 如右图。
④24 如右图。
⑤8
(标法不唯一)
(2)8 12 6 1
发现：$8$ $12(n - 2)$ $6(n - 2)^{2}$ $(n - 2)^{3}$
【知识点】
正方体体积公式、正方体结构特征、图形切割规律
【点评】
本题通过具体的正方体切割实例，探究不同涂色情况小正方体的数量规律，需要学生结合正方体的顶点、棱、面的特征，从不同位置分析小正方体的涂色情况，既考查了空间想象能力，也培养了归纳总结的数学思维，是对正方体相关知识的综合应用。
【难度系数】
0.6
我们可以从正方体的结构特征入手来分析这道题：
1. 计算总小正方体个数：利用正方体体积公式，大正方体棱长是几，总个数就是棱长的立方。
2. 分析不同涂色情况的小正方体位置：
三面涂色的小正方体在大正方体的顶点处，正方体有8个顶点，所以这类小正方体数量固定为8个；
两面涂色的小正方体在大正方体的棱上（除去顶点），每条棱上的数量是棱长减2，再乘以正方体的12条棱就能得到总数；
一面涂色的小正方体在大正方体每个面的中间部分（除去棱上的），每个面的数量是(棱长-2)的平方，再乘以6个面得到总数；
没有涂色的小正方体在大正方体的内部，相当于一个棱长为(原棱长-2)的正方体，用这个小正方体的体积计算数量。
先结合具体的4×4×4和3×3×3的大正方体计算，再归纳出棱长为n的大正方体的通用规律。
【解析】
(1) ① 观察图形可知大正方体棱长为4cm，总小正方体个数为：$4×4×4=64$（个）
② 三面涂色的小正方体在正方体顶点位置，正方体有8个顶点，所以有8个。
③ 两面涂色的小正方体在棱上（不含顶点），每条棱上有$4-2=2$个，正方体有12条棱，总数为：$12×2=24$（个）
④ 一面涂色的小正方体在每个面的中间，每个面有$(4-2)×(4-2)=4$个，正方体有6个面，总数为：$6×4=24$（个）
⑤ 没有涂色的小正方体在内部，相当于棱长为$4-2=2$的正方体，数量为：$2×2×2=8$（个）
(2) $27=3×3×3$，即大正方体棱长为3cm：
三面涂色：在顶点处，共8个；
两面涂色：$12×(3-2)=12$（个）；
一面涂色：$6×(3-2)^2=6$（个）；
没有涂色：$(3-2)^3=1$（个）
归纳规律：把棱长$n\ \mathrm{cm}$（$n$为大于1的自然数）的涂色大正方体切成棱长1cm的小正方体时：
三面涂色的小正方体在顶点，共8个；
两面涂色的：$12(n-2)$个；
一面涂色的：$6(n-2)^2$个；
没有涂色的：$(n-2)^3$个。
【答案】
1. (1)①64
②8 如右图。
③24 如右图。
④24 如右图。
⑤8
(标法不唯一)
(2)8 12 6 1
发现：$8$ $12(n - 2)$ $6(n - 2)^{2}$ $(n - 2)^{3}$
【知识点】
正方体体积公式、正方体结构特征、图形切割规律
【点评】
本题通过具体的正方体切割实例，探究不同涂色情况小正方体的数量规律，需要学生结合正方体的顶点、棱、面的特征，从不同位置分析小正方体的涂色情况，既考查了空间想象能力，也培养了归纳总结的数学思维，是对正方体相关知识的综合应用。
【难度系数】
0.6
2 一个大正方体,先把它的每个面都涂上红色,再把它切成棱长1 cm的小正方体。已知两面涂色的小正方体有96个,原来大正方体的体积是多少立方厘米?
答案
2. $96÷12 + 2 = 10$(个) $10×1 = 10(\mathrm{cm})$
$10×10×10 = 1000(\mathrm{cm}^{3})$
答：原来大正方体的体积是$1000\ \mathrm{cm}^{3}$。
解析：先根据大正方体上两面涂色的小正方体的个数推算出大正方体的棱长，再根据棱长求出这个大正方体的体积。
$10×10×10 = 1000(\mathrm{cm}^{3})$
答：原来大正方体的体积是$1000\ \mathrm{cm}^{3}$。
解析：先根据大正方体上两面涂色的小正方体的个数推算出大正方体的棱长，再根据棱长求出这个大正方体的体积。
解析
【分析】
首先要明确两面涂色的小正方体的位置：它们位于大正方体每条棱的中间部分（除去两端的顶点，顶点处的小正方体是三面涂色的）。正方体共有12条棱，所以先用两面涂色的小正方体总数除以12，得到每条棱上两面涂色的小正方体个数；再加上每条棱两端的2个小正方体，就能得到每条棱上小正方体的总个数，而小正方体棱长为1cm，这个总个数就是大正方体的棱长（单位：cm）；最后根据正方体体积公式“体积=棱长×棱长×棱长”计算出大正方体的体积。
【解析】
1. 计算每条棱上两面涂色的小正方体个数：
$96÷12 = 8$（个）
2. 计算大正方体的棱长：
每条棱上小正方体总个数 = 两面涂色的个数 + 两端顶点处的2个，即$8 + 2 = 10$（个），因为小正方体棱长为1cm，所以大正方体棱长为$10×1 = 10$（cm）
3. 计算大正方体的体积：
$10×10×10 = 1000$（$\mathrm{cm}^{3}$）
答：原来大正方体的体积是$1000\ \mathrm{cm}^{3}$。
【答案】
$1000\ \mathrm{cm}^{3}$
【知识点】
1. 正方体的特征
2. 正方体体积计算
3. 涂色正方体分布规律
【点评】
本题考查正方体涂色问题的规律应用及体积计算，核心是掌握两面涂色小正方体的位置特点，通过总数反推大正方体的棱长，再利用体积公式求解，需要学生具备一定的空间想象能力和逻辑推理能力。
【难度系数】
0.6
首先要明确两面涂色的小正方体的位置：它们位于大正方体每条棱的中间部分（除去两端的顶点，顶点处的小正方体是三面涂色的）。正方体共有12条棱，所以先用两面涂色的小正方体总数除以12，得到每条棱上两面涂色的小正方体个数；再加上每条棱两端的2个小正方体，就能得到每条棱上小正方体的总个数，而小正方体棱长为1cm，这个总个数就是大正方体的棱长（单位：cm）；最后根据正方体体积公式“体积=棱长×棱长×棱长”计算出大正方体的体积。
【解析】
1. 计算每条棱上两面涂色的小正方体个数：
$96÷12 = 8$（个）
2. 计算大正方体的棱长：
每条棱上小正方体总个数 = 两面涂色的个数 + 两端顶点处的2个，即$8 + 2 = 10$（个），因为小正方体棱长为1cm，所以大正方体棱长为$10×1 = 10$（cm）
3. 计算大正方体的体积：
$10×10×10 = 1000$（$\mathrm{cm}^{3}$）
答：原来大正方体的体积是$1000\ \mathrm{cm}^{3}$。
【答案】
$1000\ \mathrm{cm}^{3}$
【知识点】
1. 正方体的特征
2. 正方体体积计算
3. 涂色正方体分布规律
【点评】
本题考查正方体涂色问题的规律应用及体积计算，核心是掌握两面涂色小正方体的位置特点，通过总数反推大正方体的棱长，再利用体积公式求解，需要学生具备一定的空间想象能力和逻辑推理能力。
【难度系数】
0.6
3 一个长方体木块,长是5 dm,宽是4 dm,高是3 dm,先把它的六个面都涂上颜色,再把它锯成棱长1 dm的小正方体木块(如下图)。在锯成的小正方体木块中,三面、两面、一面涂色的各有多少个？六个面都没有涂色的有多少个？
答案
3. 答：三面涂色的有8个，两面涂色的有24个，一面涂色的有22个，六个面都没有涂色的有6个。
解析：长方体规律和正方体类似，只是数据不同。
三面涂色：顶点处，8。
两面涂色：棱中间，[(长 - 2) + (宽 - 2) + (高 - 2)]×4。
一面涂色：各面中间，[(长 - 2)×(宽 - 2) + (长 - 2)×(高 - 2) + (宽 - 2)×(高 - 2)]×2。
没有涂色：长方体内部，(长 - 2)×(宽 - 2)×(高 - 2)。
解析：长方体规律和正方体类似，只是数据不同。
三面涂色：顶点处，8。
两面涂色：棱中间，[(长 - 2) + (宽 - 2) + (高 - 2)]×4。
一面涂色：各面中间，[(长 - 2)×(宽 - 2) + (长 - 2)×(高 - 2) + (宽 - 2)×(高 - 2)]×2。
没有涂色：长方体内部，(长 - 2)×(宽 - 2)×(高 - 2)。
解析
【分析】
我们可以根据长方体的结构特征，按小正方体的涂色位置分类思考：
1. 三面涂色的小正方体：位于长方体的顶点处，长方体固定有8个顶点，所以直接确定数量；
2. 两面涂色的小正方体：位于长方体的棱上（除去顶点的部分），每条长、宽、高棱上分别有(长-2)、(宽-2)、(高-2)个，结合长方体有4条长、4条宽、4条高的特征，用对应公式计算；
3. 一面涂色的小正方体：位于长方体每个面的中间区域（除去棱上的部分），分别计算三组相对面的中间数量再求和；
4. 六个面都没涂色的小正方体：位于长方体内部，相当于长、宽、高各减去2后形成的小长方体的体积，用长×宽×高的公式计算。
【解析】
已知长方体长5dm，宽4dm，高3dm，锯成棱长1dm的小正方体：
1. 三面涂色的小正方体：
长方体有8个顶点，每个顶点处的小正方体三面涂色，所以数量为8个。
2. 两面涂色的小正方体：
先计算每条棱上除去顶点的数量：长方向：$5-2=3$（个），宽方向：$4-2=2$（个），高方向：$3-2=1$（个）
总数量：$(3+2+1)×4=6×4=24$（个）
3. 一面涂色的小正方体：
分别计算三组相对面的中间数量：
前后两面：$(5-2)×(3-2)×2=3×1×2=6$（个）
左右两面：$(4-2)×(3-2)×2=2×1×2=4$（个）
上下两面：$(5-2)×(4-2)×2=3×2×2=12$（个）
总数量：$6+4+12=22$（个）
4. 六个面都没有涂色的小正方体：
$(5-2)×(4-2)×(3-2)=3×2×1=6$（个）
【答案】
三面涂色的有8个，两面涂色的有24个，一面涂色的有22个，六个面都没有涂色的有6个。
【知识点】
长方体结构特征；正方体涂色计数规律
【点评】
本题核心是掌握不同涂色情况的小正方体在长方体中的位置规律，通过分类计算避免重复或遗漏，需要结合长方体顶点、棱、面、内部的结构特点，灵活运用四则运算求解。
【难度系数】
0.6
我们可以根据长方体的结构特征，按小正方体的涂色位置分类思考：
1. 三面涂色的小正方体：位于长方体的顶点处，长方体固定有8个顶点，所以直接确定数量；
2. 两面涂色的小正方体：位于长方体的棱上（除去顶点的部分），每条长、宽、高棱上分别有(长-2)、(宽-2)、(高-2)个，结合长方体有4条长、4条宽、4条高的特征，用对应公式计算；
3. 一面涂色的小正方体：位于长方体每个面的中间区域（除去棱上的部分），分别计算三组相对面的中间数量再求和；
4. 六个面都没涂色的小正方体：位于长方体内部，相当于长、宽、高各减去2后形成的小长方体的体积，用长×宽×高的公式计算。
【解析】
已知长方体长5dm，宽4dm，高3dm，锯成棱长1dm的小正方体：
1. 三面涂色的小正方体：
长方体有8个顶点，每个顶点处的小正方体三面涂色，所以数量为8个。
2. 两面涂色的小正方体：
先计算每条棱上除去顶点的数量：长方向：$5-2=3$（个），宽方向：$4-2=2$（个），高方向：$3-2=1$（个）
总数量：$(3+2+1)×4=6×4=24$（个）
3. 一面涂色的小正方体：
分别计算三组相对面的中间数量：
前后两面：$(5-2)×(3-2)×2=3×1×2=6$（个）
左右两面：$(4-2)×(3-2)×2=2×1×2=4$（个）
上下两面：$(5-2)×(4-2)×2=3×2×2=12$（个）
总数量：$6+4+12=22$（个）
4. 六个面都没有涂色的小正方体：
$(5-2)×(4-2)×(3-2)=3×2×1=6$（个）
【答案】
三面涂色的有8个，两面涂色的有24个，一面涂色的有22个，六个面都没有涂色的有6个。
【知识点】
长方体结构特征；正方体涂色计数规律
【点评】
本题核心是掌握不同涂色情况的小正方体在长方体中的位置规律，通过分类计算避免重复或遗漏，需要结合长方体顶点、棱、面、内部的结构特点，灵活运用四则运算求解。
【难度系数】
0.6
4 用棱长1 cm的小正方体分别摆出下面的几何体,并在它们的表面涂色。想一想,填一填。
答案
4. 5 20 14 42 30 72
解析：观察题图可以发现，从上往下，小正方体个数依次是$1^{2},2^{2},3^{2},···$。所以几何体$n$的小正方体个数为$1^{2} + 2^{2} + 3^{2} + ··· + n^{2} + (n + 1)^{2}$。
将几何体$n$从各个方向挤压成一个平面可发现：
涂色面数 = 从上、下面看的面数 + 从侧面看的面数
$= 2×(n + 1)^{2} + 4×[1 + 2 + 3 + ··· + n + (n + 1)]$
每个面面积为$1\ \mathrm{cm}^{2}$，最后代入数据计算即可。
解析：观察题图可以发现，从上往下，小正方体个数依次是$1^{2},2^{2},3^{2},···$。所以几何体$n$的小正方体个数为$1^{2} + 2^{2} + 3^{2} + ··· + n^{2} + (n + 1)^{2}$。
将几何体$n$从各个方向挤压成一个平面可发现：
涂色面数 = 从上、下面看的面数 + 从侧面看的面数
$= 2×(n + 1)^{2} + 4×[1 + 2 + 3 + ··· + n + (n + 1)]$
每个面面积为$1\ \mathrm{cm}^{2}$，最后代入数据计算即可。
解析
【分析】
首先我们需要先观察几何体的组成规律：从上往下数，每层小正方体的个数是层数的平方，比如第1层（最上层）是$1^2$个，第2层是$2^2$个，以此类推，第$(n+1)$层是$(n+1)^2$个，所以几何体$n$的小正方体总数是各层个数之和。
接下来分析涂色面的计算：我们可以把涂色面拆分为上下表面和侧面两部分。上下表面的形状是相同的正方形，边长对应最底层的边长，也就是$(n+1)$个小正方体的边长，所以上下表面的总面积是2倍的最底层的面积；侧面的话，从四个方向（前、后、左、右）看，每个方向看到的面数是从上层到下层的小正方体个数之和，也就是$1+2+\dots+(n+1)$，四个方向的总面积就是4倍的这个和。最后代入对应的$n$值，就能算出小正方体个数和涂色面的面积。
【解析】
1. 推导小正方体个数规律：
观察几何体可知，从上到下每层小正方体个数依次为$1^2,2^2,3^2,\dots,(n+1)^2$，因此几何体$n$的小正方体总个数为：
$1^2 + 2^2 + 3^2 + \dots + (n+1)^2$
2. 推导涂色面面积公式：
将涂色面拆分为上下表面和侧面两部分计算：
上下表面：每个表面的面积等于最底层的面积，即$(n+1)^2\ \mathrm{cm}^2$，上下表面总面积为$2×(n+1)^2\ \mathrm{cm}^2$；
侧面：从四个侧面观察，每个侧面的面数为$1+2+3+\dots+(n+1)$，四个侧面总面积为$4×[1+2+3+\dots+(n+1)]\ \mathrm{cm}^2$；
因此涂色面总面积公式为：$2×(n+1)^2 + 4×[1+2+3+\dots+(n+1)]$
3. 代入数据计算：
当$n=1$时：
小正方体个数：$1^2+2^2=1+4=5$
涂色面面积：$2×2^2 + 4×(1+2)=8+12=20$
当$n=2$时：
小正方体个数：$1^2+2^2+3^2=1+4+9=14$
涂色面面积：$2×3^2 + 4×(1+2+3)=18+24=42$
当$n=3$时：
小正方体个数：$1^2+2^2+3^2+4^2=1+4+9+16=30$
涂色面面积：$2×4^2 + 4×(1+2+3+4)=32+40=72$
【答案】
5 20 14 42 30 72
【知识点】
找规律、正方体表面积计算、数列求和
【点评】
本题需要通过观察几何体的层数与每层小正方体个数的规律，将涂色面拆分为上下表面和侧面两部分进行计算，既考查了空间想象能力，也锻炼了归纳总结和数列求和的运算能力，解题的关键是准确找到层数与小正方体个数、涂色面面积的对应关系。
【难度系数】
0.3
首先我们需要先观察几何体的组成规律：从上往下数，每层小正方体的个数是层数的平方，比如第1层（最上层）是$1^2$个，第2层是$2^2$个，以此类推，第$(n+1)$层是$(n+1)^2$个，所以几何体$n$的小正方体总数是各层个数之和。
接下来分析涂色面的计算：我们可以把涂色面拆分为上下表面和侧面两部分。上下表面的形状是相同的正方形，边长对应最底层的边长，也就是$(n+1)$个小正方体的边长，所以上下表面的总面积是2倍的最底层的面积；侧面的话，从四个方向（前、后、左、右）看，每个方向看到的面数是从上层到下层的小正方体个数之和，也就是$1+2+\dots+(n+1)$，四个方向的总面积就是4倍的这个和。最后代入对应的$n$值，就能算出小正方体个数和涂色面的面积。
【解析】
1. 推导小正方体个数规律：
观察几何体可知，从上到下每层小正方体个数依次为$1^2,2^2,3^2,\dots,(n+1)^2$，因此几何体$n$的小正方体总个数为：
$1^2 + 2^2 + 3^2 + \dots + (n+1)^2$
2. 推导涂色面面积公式：
将涂色面拆分为上下表面和侧面两部分计算：
上下表面：每个表面的面积等于最底层的面积，即$(n+1)^2\ \mathrm{cm}^2$，上下表面总面积为$2×(n+1)^2\ \mathrm{cm}^2$；
侧面：从四个侧面观察，每个侧面的面数为$1+2+3+\dots+(n+1)$，四个侧面总面积为$4×[1+2+3+\dots+(n+1)]\ \mathrm{cm}^2$；
因此涂色面总面积公式为：$2×(n+1)^2 + 4×[1+2+3+\dots+(n+1)]$
3. 代入数据计算：
当$n=1$时：
小正方体个数：$1^2+2^2=1+4=5$
涂色面面积：$2×2^2 + 4×(1+2)=8+12=20$
当$n=2$时：
小正方体个数：$1^2+2^2+3^2=1+4+9=14$
涂色面面积：$2×3^2 + 4×(1+2+3)=18+24=42$
当$n=3$时：
小正方体个数：$1^2+2^2+3^2+4^2=1+4+9+16=30$
涂色面面积：$2×4^2 + 4×(1+2+3+4)=32+40=72$
【答案】
5 20 14 42 30 72
【知识点】
找规律、正方体表面积计算、数列求和
【点评】
本题需要通过观察几何体的层数与每层小正方体个数的规律，将涂色面拆分为上下表面和侧面两部分进行计算，既考查了空间想象能力，也锻炼了归纳总结和数列求和的运算能力，解题的关键是准确找到层数与小正方体个数、涂色面面积的对应关系。
【难度系数】
0.3
