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【例1】如图1，在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ ACB=90°$，$∠ A=50°$，以点B为圆心，BC长为半径画弧交AB于点D，连接CD，则$∠ ACD$的度数是
20°
。答案
20°
解析
【分析】
首先从已知的直角三角形出发，利用直角三角形两锐角互余先求出∠B的度数；再根据作图规则得出BC=BD，判断出△BCD是等腰三角形，结合等腰三角形等边对等角的性质和三角形内角和定理算出∠BCD的度数；最后用∠ACB的度数减去∠BCD的度数，即可求出∠ACD的度数。
【解析】
解：
∵ 在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ ACB=90°$，$∠ A=50°$
∴ $∠ B=90°-∠ A=90°-50°=40°$（直角三角形两锐角互余）
由作图可知$BC=BD$，即$△ BCD$为等腰三角形
∴ $∠ BCD=∠ BDC$
根据三角形内角和为$180°$，得：
$∠ BCD=(180°-∠ B)÷2=(180°-40°)÷2=70°$
∴ $∠ ACD=∠ ACB-∠ BCD=90°-70°=20°$
【答案】
$20°$
【知识点】
等腰三角形的性质，三角形内角和定理，直角三角形的性质
【点评】
本题属于基础角度计算题，解题核心是根据作图条件识别出等腰三角形，再结合三角形内角和、直角三角形的角度关系逐步推导，计算过程简单，思路清晰。
【难度系数】
0.8
首先从已知的直角三角形出发，利用直角三角形两锐角互余先求出∠B的度数；再根据作图规则得出BC=BD，判断出△BCD是等腰三角形，结合等腰三角形等边对等角的性质和三角形内角和定理算出∠BCD的度数；最后用∠ACB的度数减去∠BCD的度数，即可求出∠ACD的度数。
【解析】
解：
∵ 在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ ACB=90°$，$∠ A=50°$
∴ $∠ B=90°-∠ A=90°-50°=40°$（直角三角形两锐角互余）
由作图可知$BC=BD$，即$△ BCD$为等腰三角形
∴ $∠ BCD=∠ BDC$
根据三角形内角和为$180°$，得：
$∠ BCD=(180°-∠ B)÷2=(180°-40°)÷2=70°$
∴ $∠ ACD=∠ ACB-∠ BCD=90°-70°=20°$
【答案】
$20°$
【知识点】
等腰三角形的性质，三角形内角和定理，直角三角形的性质
【点评】
本题属于基础角度计算题，解题核心是根据作图条件识别出等腰三角形，再结合三角形内角和、直角三角形的角度关系逐步推导，计算过程简单，思路清晰。
【难度系数】
0.8
练习1.如图 
,在△ABC中,点D在BC上,AB=AD=DC,∠BAD=20°,则∠C=
,在△ABC中,点D在BC上,AB=AD=DC,∠BAD=20°,则∠C=40°
.答案
40°
解析
【分析】
解题时首先观察到图中有两个等腰三角形△ABD和△ADC，我们可以先利用等腰三角形“等边对等角”的性质以及三角形内角和定理，求出△ABD的底角∠ADB的度数；再结合三角形外角的性质，以及△ADC也是等腰三角形的条件，推导出∠C和∠ADB的数量关系，最终求出∠C的度数。
【解析】
解：
∵AB=AD，∠BAD=20°
∴△ABD是等腰三角形，根据等腰三角形两底角相等，结合三角形内角和为180°可得：
$∠ ADB = \frac{180° - ∠ BAD}{2} = \frac{180° - 20°}{2} = 80°$
又
∵AD=DC
∴△ADC是等腰三角形，即$∠ DAC = ∠ C$
∵∠ADB是△ADC的外角，根据三角形外角等于不相邻两个内角的和可得：
$∠ ADB = ∠ DAC + ∠ C = 2∠ C$
∴$∠ C = \frac{∠ ADB}{2} = \frac{80°}{2} = 40°$
【答案】
40°
【知识点】
等腰三角形的性质；三角形内角和定理；三角形外角的性质
【点评】
本题是等腰三角形性质的基础应用题型，解题的核心是找准图中的等腰三角形，结合角度和差、外角性质建立已知角和未知角的联系，属于等腰三角形章节的常规考点题。
【难度系数】
0.8
解题时首先观察到图中有两个等腰三角形△ABD和△ADC，我们可以先利用等腰三角形“等边对等角”的性质以及三角形内角和定理，求出△ABD的底角∠ADB的度数；再结合三角形外角的性质，以及△ADC也是等腰三角形的条件，推导出∠C和∠ADB的数量关系，最终求出∠C的度数。
【解析】
解：
∵AB=AD，∠BAD=20°
∴△ABD是等腰三角形，根据等腰三角形两底角相等，结合三角形内角和为180°可得：
$∠ ADB = \frac{180° - ∠ BAD}{2} = \frac{180° - 20°}{2} = 80°$
又
∵AD=DC
∴△ADC是等腰三角形，即$∠ DAC = ∠ C$
∵∠ADB是△ADC的外角，根据三角形外角等于不相邻两个内角的和可得：
$∠ ADB = ∠ DAC + ∠ C = 2∠ C$
∴$∠ C = \frac{∠ ADB}{2} = \frac{80°}{2} = 40°$
【答案】
40°
【知识点】
等腰三角形的性质；三角形内角和定理；三角形外角的性质
【点评】
本题是等腰三角形性质的基础应用题型，解题的核心是找准图中的等腰三角形，结合角度和差、外角性质建立已知角和未知角的联系，属于等腰三角形章节的常规考点题。
【难度系数】
0.8
练习2.如图3，△ABC中，AB=AC，∠B=40°，点D在BC上，CD=AC，则∠1=
70°
，∠2=30°
。答案
70°，30°
解析
【分析】
解题时先观察图形中的等腰三角形，首先由AB=AC可知△ABC是等腰三角形，利用等腰三角形等边对等角的性质可求出∠C的度数，再结合三角形内角和定理求出∠BAC的度数；接下来由CD=AC可知△ADC也是等腰三角形，再次利用等边对等角和内角和定理求出∠1的度数，最后用∠BAC减去∠1即可得到∠2的度数。
【解析】
解：
∵AB=AC，∠B=40°
∴∠C=∠B=40°（等腰三角形两底角相等）
根据三角形内角和为180°，可得：
∠BAC=180°-∠B-∠C=180°-40°-40°=100°
又
∵CD=AC
∴△ACD为等腰三角形，∠1=∠ADC
∴∠1=(180°-∠C)÷2=(180°-40°)÷2=70°
∴∠2=∠BAC - ∠1=100°-70°=30°
【答案】
70°，30°
【知识点】
1.等腰三角形的性质 2.三角形内角和定理
【点评】
本题是等腰三角形性质的基础应用题，解题的核心是准确识别图中的两个等腰三角形，结合三角形内角和定理逐步推算角度，解题时注意区分等腰三角形对应的底角和顶角，避免混淆。
【难度系数】
0.8
解题时先观察图形中的等腰三角形，首先由AB=AC可知△ABC是等腰三角形，利用等腰三角形等边对等角的性质可求出∠C的度数，再结合三角形内角和定理求出∠BAC的度数；接下来由CD=AC可知△ADC也是等腰三角形，再次利用等边对等角和内角和定理求出∠1的度数，最后用∠BAC减去∠1即可得到∠2的度数。
【解析】
解：
∵AB=AC，∠B=40°
∴∠C=∠B=40°（等腰三角形两底角相等）
根据三角形内角和为180°，可得：
∠BAC=180°-∠B-∠C=180°-40°-40°=100°
又
∵CD=AC
∴△ACD为等腰三角形，∠1=∠ADC
∴∠1=(180°-∠C)÷2=(180°-40°)÷2=70°
∴∠2=∠BAC - ∠1=100°-70°=30°
【答案】
70°，30°
【知识点】
1.等腰三角形的性质 2.三角形内角和定理
【点评】
本题是等腰三角形性质的基础应用题，解题的核心是准确识别图中的两个等腰三角形，结合三角形内角和定理逐步推算角度，解题时注意区分等腰三角形对应的底角和顶角，避免混淆。
【难度系数】
0.8
练习3.如图4,在△ABC中,CD为中线,且CD=AD.求证:∠ACB=90°. 
图4
图4答案
证明:设$∠ A=α,∠ B=β$,
$\because AD=CD,\therefore ∠ A=∠ ACD=α$,
又$\because CD=BD,\therefore ∠ B=∠ DCB=β$,
在$△ ACB$中,$α+α+β+β=180°$
$\therefore α+β=90°,\therefore ∠ ACB=90°$.
$\because AD=CD,\therefore ∠ A=∠ ACD=α$,
又$\because CD=BD,\therefore ∠ B=∠ DCB=β$,
在$△ ACB$中,$α+α+β+β=180°$
$\therefore α+β=90°,\therefore ∠ ACB=90°$.
解析
【分析】
要证明$∠ ACB=90°$，可从三角形内角和为$180°$入手推导。首先根据CD是$△ ABC$的中线，可得$AD=BD$，结合已知条件$CD=AD$，可推出$AD=CD=BD$，即$△ ACD$和$△ BCD$均为等腰三角形。再利用等腰三角形等边对等角的性质，得到两组相等的角，最后将$△ ABC$的内角和用相等的角代换计算，即可求出$∠ ACB$的度数。
【解析】
证明：设$∠ A=α$，$∠ B=β$，
$\because CD$是AB边上的中线，$\therefore AD=BD$，
又$\because AD=CD$，$\therefore CD=BD$，
$\therefore ∠ A=∠ ACD=α$（等边对等角），$∠ B=∠ DCB=β$（等边对等角），
在$△ ACB$中，根据三角形内角和定理得：$∠ A+∠ ACD+∠ DCB+∠ B=180°$，
即$α+α+β+β=180°$，
$\therefore 2(α+β)=180°$，解得$α+β=90°$，
$\because ∠ ACB=∠ ACD+∠ DCB=α+β$，
$\therefore ∠ ACB=90°$。
【答案】
$∠ ACB=90°$
【知识点】
等腰三角形的性质，三角形中线的定义，三角形内角和定理
【点评】
本题是等腰三角形性质与三角形内角和的综合基础题，解题核心是通过中线和已知线段相等关系得到等腰三角形，再通过角的等量代换完成推导，本题的结论也是直角三角形的重要判定依据之一。
【难度系数】
0.8
要证明$∠ ACB=90°$，可从三角形内角和为$180°$入手推导。首先根据CD是$△ ABC$的中线，可得$AD=BD$，结合已知条件$CD=AD$，可推出$AD=CD=BD$，即$△ ACD$和$△ BCD$均为等腰三角形。再利用等腰三角形等边对等角的性质，得到两组相等的角，最后将$△ ABC$的内角和用相等的角代换计算，即可求出$∠ ACB$的度数。
【解析】
证明：设$∠ A=α$，$∠ B=β$，
$\because CD$是AB边上的中线，$\therefore AD=BD$，
又$\because AD=CD$，$\therefore CD=BD$，
$\therefore ∠ A=∠ ACD=α$（等边对等角），$∠ B=∠ DCB=β$（等边对等角），
在$△ ACB$中，根据三角形内角和定理得：$∠ A+∠ ACD+∠ DCB+∠ B=180°$，
即$α+α+β+β=180°$，
$\therefore 2(α+β)=180°$，解得$α+β=90°$，
$\because ∠ ACB=∠ ACD+∠ DCB=α+β$，
$\therefore ∠ ACB=90°$。
【答案】
$∠ ACB=90°$
【知识点】
等腰三角形的性质，三角形中线的定义，三角形内角和定理
【点评】
本题是等腰三角形性质与三角形内角和的综合基础题，解题核心是通过中线和已知线段相等关系得到等腰三角形，再通过角的等量代换完成推导，本题的结论也是直角三角形的重要判定依据之一。
【难度系数】
0.8
练习4.如图5,在△ABC中,D,E在边BC上,AD=BD,AE=CE.(1)若∠DAE=40°,求∠BAC的度数; (2)若∠BAC=120°,求∠DAE的度数.
答案
解:设$∠ B=α,∠ C=β$,
(1)在$△ ABC$中,$2α+2β+40°=180°$,
$\therefore α+β=70°,\therefore ∠ BAC=110°$;
(2)$α+β=60°,\therefore ∠ DAE=120°-60°=60°$.
(1)在$△ ABC$中,$2α+2β+40°=180°$,
$\therefore α+β=70°,\therefore ∠ BAC=110°$;
(2)$α+β=60°,\therefore ∠ DAE=120°-60°=60°$.
解析
【分析】
首先根据等腰三角形“等边对等角”的性质，可得∠B=∠BAD，∠C=∠CAE。要求∠BAC或∠DAE的度数，可通过设∠B=α、∠C=β，利用三角形内角和定理，建立已知角和未知角之间的数量关系，进而代入计算即可。
（1）已知∠DAE=40°，△ABC的内角和为∠B+∠C+∠BAD+∠CAE+∠DAE=180°，代入相等的角即可求出α+β的值，再结合∠BAC=α+β+∠DAE即可求解；
（2）已知∠BAC=120°，先由三角形内角和求出α+β的值，再根据∠DAE=∠BAC-(∠BAD+∠CAE)=∠BAC-(α+β)即可求解。
【解析】
设$∠ B=α ,∠ C=β $，
$\because AD=BD,AE=CE$，
$\therefore ∠ BAD=∠ B=α ,∠ CAE=∠ C=β $。
(1) 在$△ ABC$中，根据三角形内角和定理：
$∠ B+∠ C+∠ BAC=180°$，
又$\because ∠ BAC=∠ BAD+∠ DAE+∠ CAE=α +β +40°$，
代入得：$α +β +α +β +40°=180°$，
整理得$2(α +β )=140°$，
$\therefore α +β =70°$，
$\therefore ∠ BAC=70°+40°=110°$。
(2) 已知$∠ BAC=120°$，
在$△ ABC$中，根据三角形内角和定理：
$α +β =180°-∠ BAC=180°-120°=60°$，
又$\because ∠ BAC=α +β +∠ DAE$，
$\therefore ∠ DAE=∠ BAC-(α +β )=120°-60°=60°$。
【答案】
(1) $\boxed{110°}$；(2) $\boxed{60°}$
【知识点】
1. 等腰三角形等边对等角
2. 三角形内角和定理
【点评】
本题是等腰三角形性质与三角形内角和的综合基础题，解题核心是利用等腰三角形的性质完成等角转换，通过设未知角简化角之间的数量关系，降低计算难度，熟练掌握相关性质即可快速解题。
【难度系数】
0.7
首先根据等腰三角形“等边对等角”的性质，可得∠B=∠BAD，∠C=∠CAE。要求∠BAC或∠DAE的度数，可通过设∠B=α、∠C=β，利用三角形内角和定理，建立已知角和未知角之间的数量关系，进而代入计算即可。
（1）已知∠DAE=40°，△ABC的内角和为∠B+∠C+∠BAD+∠CAE+∠DAE=180°，代入相等的角即可求出α+β的值，再结合∠BAC=α+β+∠DAE即可求解；
（2）已知∠BAC=120°，先由三角形内角和求出α+β的值，再根据∠DAE=∠BAC-(∠BAD+∠CAE)=∠BAC-(α+β)即可求解。
【解析】
设$∠ B=α ,∠ C=β $，
$\because AD=BD,AE=CE$，
$\therefore ∠ BAD=∠ B=α ,∠ CAE=∠ C=β $。
(1) 在$△ ABC$中，根据三角形内角和定理：
$∠ B+∠ C+∠ BAC=180°$，
又$\because ∠ BAC=∠ BAD+∠ DAE+∠ CAE=α +β +40°$，
代入得：$α +β +α +β +40°=180°$，
整理得$2(α +β )=140°$，
$\therefore α +β =70°$，
$\therefore ∠ BAC=70°+40°=110°$。
(2) 已知$∠ BAC=120°$，
在$△ ABC$中，根据三角形内角和定理：
$α +β =180°-∠ BAC=180°-120°=60°$，
又$\because ∠ BAC=α +β +∠ DAE$，
$\therefore ∠ DAE=∠ BAC-(α +β )=120°-60°=60°$。
【答案】
(1) $\boxed{110°}$；(2) $\boxed{60°}$
【知识点】
1. 等腰三角形等边对等角
2. 三角形内角和定理
【点评】
本题是等腰三角形性质与三角形内角和的综合基础题，解题核心是利用等腰三角形的性质完成等角转换，通过设未知角简化角之间的数量关系，降低计算难度，熟练掌握相关性质即可快速解题。
【难度系数】
0.7
【例2】如图6，在$△ ABC$中，$AB=AC$，$D$为$BC$中点，$∠ BAD=35°$，则$∠ C$的度数为（
A.$35°$
B.$45°$
C.$55°$
D.$60°$
C
）A.$35°$
B.$45°$
C.$55°$
D.$60°$
答案
C
解析
【分析】
首先由AB=AC可判断△ABC是等腰三角形，等腰三角形具备“三线合一”的性质，即底边上的中线、顶角的角平分线、底边上的高互相重合。已知D是BC中点，因此AD既是BC边上的中线，也是顶角∠BAC的角平分线。我们可以先通过∠BAD的度数求出顶角∠BAC的度数，再结合等腰三角形两底角相等、三角形内角和为180°的性质，即可求出∠C的度数。
【解析】
解：
∵AB=AC，D为BC的中点，
∴△ABC是等腰三角形，AD平分∠BAC，且等腰三角形两底角相等，即∠B=∠C，
∴∠BAC=2∠BAD=2×35°=70°，
根据三角形内角和为180°可得：
∠B+∠C=180°-∠BAC=180°-70°=110°，
又
∵∠B=∠C，
∴∠C=110°÷2=55°。
【答案】
C
【知识点】
等腰三角形的性质，三角形内角和定理
【点评】
本题属于基础题，重点考查等腰三角形三线合一性质的应用，解题的关键是熟练掌握等腰三角形的相关性质，结合三角形内角和定理完成角度计算。
【难度系数】
0.8
首先由AB=AC可判断△ABC是等腰三角形，等腰三角形具备“三线合一”的性质，即底边上的中线、顶角的角平分线、底边上的高互相重合。已知D是BC中点，因此AD既是BC边上的中线，也是顶角∠BAC的角平分线。我们可以先通过∠BAD的度数求出顶角∠BAC的度数，再结合等腰三角形两底角相等、三角形内角和为180°的性质，即可求出∠C的度数。
【解析】
解：
∵AB=AC，D为BC的中点，
∴△ABC是等腰三角形，AD平分∠BAC，且等腰三角形两底角相等，即∠B=∠C，
∴∠BAC=2∠BAD=2×35°=70°，
根据三角形内角和为180°可得：
∠B+∠C=180°-∠BAC=180°-70°=110°，
又
∵∠B=∠C，
∴∠C=110°÷2=55°。
【答案】
C
【知识点】
等腰三角形的性质，三角形内角和定理
【点评】
本题属于基础题，重点考查等腰三角形三线合一性质的应用，解题的关键是熟练掌握等腰三角形的相关性质，结合三角形内角和定理完成角度计算。
【难度系数】
0.8
练习1.如图7,在$△ ABC$中,$AB=AC$,$AD⊥ BC$于$D$,$AB=6$,$CD=4$,则$△ ABC$的周长是
20
.答案
20
解析
【分析】
首先根据已知条件$AB=AC$可判断$△ ABC$是等腰三角形，结合$AD⊥ BC$的条件，回忆等腰三角形“三线合一”的性质，可知$AD$同时是$BC$边上的中线，由此可先求出底边$BC$的长度，再将三角形三边相加即可得到周长。
【解析】
解：$\because AB=AC$，
$\therefore △ ABC$是等腰三角形，
又$\because AD⊥ BC$，根据等腰三角形三线合一的性质可得$D$是$BC$的中点，
$\therefore BC=2CD$，
已知$CD=4$，则$BC=2×4=8$，
又$\because AB=AC=6$，
$\therefore △ ABC$的周长$=AB+AC+BC=6+6+8=20$。
【答案】
20
【知识点】
等腰三角形的性质；三角形周长计算
【点评】
本题属于基础几何计算题，解题关键是熟练运用等腰三角形三线合一的性质求出底边长度，掌握该性质即可轻松求解。
【难度系数】
0.8
首先根据已知条件$AB=AC$可判断$△ ABC$是等腰三角形，结合$AD⊥ BC$的条件，回忆等腰三角形“三线合一”的性质，可知$AD$同时是$BC$边上的中线，由此可先求出底边$BC$的长度，再将三角形三边相加即可得到周长。
【解析】
解：$\because AB=AC$，
$\therefore △ ABC$是等腰三角形，
又$\because AD⊥ BC$，根据等腰三角形三线合一的性质可得$D$是$BC$的中点，
$\therefore BC=2CD$，
已知$CD=4$，则$BC=2×4=8$，
又$\because AB=AC=6$，
$\therefore △ ABC$的周长$=AB+AC+BC=6+6+8=20$。
【答案】
20
【知识点】
等腰三角形的性质；三角形周长计算
【点评】
本题属于基础几何计算题，解题关键是熟练运用等腰三角形三线合一的性质求出底边长度，掌握该性质即可轻松求解。
【难度系数】
0.8
练习2.如图，在$△ ABC$中，点$D$，$E$在边$BC$上，$AB=AC$，$AD=AE$.求证:$BD=CE$.
答案
证明:过点 A 作$AM⊥ BC$于点 M，
$\because AB=AC,AD=AE$,
$\therefore BM=CM,DM=ME$,
$\therefore BM-DM=CM-ME$,
即 $BD=CE$.
解析
【分析】
要证明$BD=CE$，观察图形可知$BD$、$CE$均在底边$BC$上，题目给出$△ ABC$和$△ ADE$都是等腰三角形，可联想到等腰三角形“三线合一”的性质：等腰三角形底边上的高同时是底边上的中线。因此我们过点$A$作$BC$的垂线，就能得到两组相等的线段，再通过等式的性质将两组线段作差，即可推导出$BD=CE$。
【解析】
证明：过点$A$作$AM⊥ BC$于点$M$，
$\because AB=AC$，$AD=AE$，根据等腰三角形三线合一的性质，
$\therefore BM=CM$，$DM=ME$，
根据等式的基本性质，$BM-DM=CM-ME$，
即 $BD=CE$。
【答案】
证明:过点 A 作$AM⊥ BC$于点 M，
$\because AB=AC,AD=AE$,
$\therefore BM=CM,DM=ME$,
$\therefore BM-DM=CM-ME$,
即 $BD=CE$.
【知识点】
1.等腰三角形三线合一
2.等式的基本性质
【点评】
本题是等腰三角形性质的基础应用题，解题核心是熟练运用等腰三角形“三线合一”的性质，通过作底边上的高构造中线，结合等式性质即可快速完成证明，属于等腰三角形相关证明的常见基础题型。
【难度系数】
0.8
要证明$BD=CE$，观察图形可知$BD$、$CE$均在底边$BC$上，题目给出$△ ABC$和$△ ADE$都是等腰三角形，可联想到等腰三角形“三线合一”的性质：等腰三角形底边上的高同时是底边上的中线。因此我们过点$A$作$BC$的垂线，就能得到两组相等的线段，再通过等式的性质将两组线段作差，即可推导出$BD=CE$。
【解析】
证明：过点$A$作$AM⊥ BC$于点$M$，
$\because AB=AC$，$AD=AE$，根据等腰三角形三线合一的性质，
$\therefore BM=CM$，$DM=ME$，
根据等式的基本性质，$BM-DM=CM-ME$，
即 $BD=CE$。
【答案】
证明:过点 A 作$AM⊥ BC$于点 M，
$\because AB=AC,AD=AE$,
$\therefore BM=CM,DM=ME$,
$\therefore BM-DM=CM-ME$,
即 $BD=CE$.
【知识点】
1.等腰三角形三线合一
2.等式的基本性质
【点评】
本题是等腰三角形性质的基础应用题，解题核心是熟练运用等腰三角形“三线合一”的性质，通过作底边上的高构造中线，结合等式性质即可快速完成证明，属于等腰三角形相关证明的常见基础题型。
【难度系数】
0.8
