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1. 在分组时要求“组内离差平方和最小”，其目的是
（
A.使每组数据量相等
B.使每组组内数据差异尽可能小，不同组数据差异尽可能大
C.减少计算复杂度
D.保证组间均值相等
（
B
）A.使每组数据量相等
B.使每组组内数据差异尽可能小，不同组数据差异尽可能大
C.减少计算复杂度
D.保证组间均值相等
答案
1.B
解析
【分析】
要解决这道题，首先需明确组内离差平方和的含义：组内离差平方和是衡量同一组内数据离散程度的指标，其值越小，说明组内数据越集中，组内差异越小。合理的分组目标通常是让组内数据尽可能相似（差异小），不同组数据尽可能不同（差异大）。接下来逐一分析选项：A选项“使每组数据量相等”与组内离差平方和最小无关；B选项符合分组的合理目标；C选项“减少计算复杂度”不是该要求的目的；D选项“保证组间均值相等”与组内离差平方和最小无直接关联，由此可确定答案。
【解析】
组内离差平方和反映同一组内数据的离散程度，其值最小意味着组内数据差异尽可能小，同时分组的核心目标之一是让不同组间的数据差异尽可能大，这样分组才具有实际意义。对各选项分析如下：
A选项：每组数据量相等并非组内离差平方和最小的目的，排除；
B选项：符合分组时“组内离差平方和最小”所追求的组内差异小、组间差异大的效果，正确；
C选项：减少计算复杂度不是该要求的核心目的，排除；
D选项：组间均值相等与组内离差平方和最小无关，排除。
【答案】
B
【知识点】
统计分组、离差平方和
【点评】
本题考查统计分组中组内离差平方和的基本概念，属于基础概念类题目，需准确理解组内离差平方和的意义及分组的合理目标，难度较低。
【难度系数】
0.6
要解决这道题，首先需明确组内离差平方和的含义：组内离差平方和是衡量同一组内数据离散程度的指标，其值越小，说明组内数据越集中，组内差异越小。合理的分组目标通常是让组内数据尽可能相似（差异小），不同组数据尽可能不同（差异大）。接下来逐一分析选项：A选项“使每组数据量相等”与组内离差平方和最小无关；B选项符合分组的合理目标；C选项“减少计算复杂度”不是该要求的目的；D选项“保证组间均值相等”与组内离差平方和最小无直接关联，由此可确定答案。
【解析】
组内离差平方和反映同一组内数据的离散程度，其值最小意味着组内数据差异尽可能小，同时分组的核心目标之一是让不同组间的数据差异尽可能大，这样分组才具有实际意义。对各选项分析如下：
A选项：每组数据量相等并非组内离差平方和最小的目的，排除；
B选项：符合分组时“组内离差平方和最小”所追求的组内差异小、组间差异大的效果，正确；
C选项：减少计算复杂度不是该要求的核心目的，排除；
D选项：组间均值相等与组内离差平方和最小无关，排除。
【答案】
B
【知识点】
统计分组、离差平方和
【点评】
本题考查统计分组中组内离差平方和的基本概念，属于基础概念类题目，需准确理解组内离差平方和的意义及分组的合理目标，难度较低。
【难度系数】
0.6
2. 将数据 34,23,21,56,61,57,83,25 分成两组,以便找到组内离差平方和最小的分组方法,那么分法有（
A.6 种
B.7 种
C.8 种
D.9 种
B
）A.6 种
B.7 种
C.8 种
D.9 种
答案
2.B
解析
【分析】
要找到组内离差平方和最小的分组方法，需明确：总离差平方和固定时，组内离差平方和与组间离差平方和此消彼长，组内离差平方和最小等价于组间离差平方和最大。首先对给定数据排序，计算总均值，再分析不同分组的组间离差平方和，确定最优分组的计数规则，最终得出符合条件的分法数量。
【解析】
1. 计算数据总和：21+23+25+34+56+57+61+83=360，总均值=360÷8=45。
2. 组内离差平方和公式：设分组为A、B，组内离差平方和=Σ(x∈A)(x-x̄ₐ)² + Σ(x∈B)(x-x̄ᵦ)²，总离差平方和=Σ(x)(x-45)²，因此组内离差平方和=总离差平方和 - 组间离差平方和（组间离差平方和=nₐ(x̄ₐ-45)² +nᵦ(x̄ᵦ-45)²），故组内最小等价于组间最大。
3. 最优分组分析：当分组为1个元素和7个元素时，组间离差平方和最大，此时组内离差平方和最小。不考虑组顺序的情况下，满足条件的分法共7种。
【答案】
B
【知识点】
统计分组、离差平方和
【点评】
本题考查统计分组中离差平方和的应用，核心是理解组内与组间离差平方和的关系，需注意分组计数规则（不考虑组顺序），难度适中。
【难度系数】
0.5
要找到组内离差平方和最小的分组方法，需明确：总离差平方和固定时，组内离差平方和与组间离差平方和此消彼长，组内离差平方和最小等价于组间离差平方和最大。首先对给定数据排序，计算总均值，再分析不同分组的组间离差平方和，确定最优分组的计数规则，最终得出符合条件的分法数量。
【解析】
1. 计算数据总和：21+23+25+34+56+57+61+83=360，总均值=360÷8=45。
2. 组内离差平方和公式：设分组为A、B，组内离差平方和=Σ(x∈A)(x-x̄ₐ)² + Σ(x∈B)(x-x̄ᵦ)²，总离差平方和=Σ(x)(x-45)²，因此组内离差平方和=总离差平方和 - 组间离差平方和（组间离差平方和=nₐ(x̄ₐ-45)² +nᵦ(x̄ᵦ-45)²），故组内最小等价于组间最大。
3. 最优分组分析：当分组为1个元素和7个元素时，组间离差平方和最大，此时组内离差平方和最小。不考虑组顺序的情况下，满足条件的分法共7种。
【答案】
B
【知识点】
统计分组、离差平方和
【点评】
本题考查统计分组中离差平方和的应用，核心是理解组内与组间离差平方和的关系，需注意分组计数规则（不考虑组顺序），难度适中。
【难度系数】
0.5
3.（2025南通市如皋市期末）在引体向上测试中，5名同学完成的个数分别为13，15，7，9，12.要使个数相差较小的同学分在一组，下表是4种分法的组内离差平方和（结果保留小数点后一位）.
根据组内离差平方和最小原则，把这5名同学引体向上的个数分为两组，下列分组正确的是（
A.$\{7\}$和$\{9,12,13,15\}$
B.$\{7,9\}$和$\{12,13,15\}$
C.$\{7,9,12\}$和$\{13,15\}$
D.$\{7,9,12,13\}$和$\{15\}$
根据组内离差平方和最小原则，把这5名同学引体向上的个数分为两组，下列分组正确的是（
B
）A.$\{7\}$和$\{9,12,13,15\}$
B.$\{7,9\}$和$\{12,13,15\}$
C.$\{7,9,12\}$和$\{13,15\}$
D.$\{7,9,12,13\}$和$\{15\}$
答案
3.B
解析
【分析】本题要求根据组内离差平方和最小原则分组，核心思路是：组内离差平方和越小，说明组内数据的差异越小，分组越合理。需先明确四个选项对应的组内离差平方和，再比较大小，选出最小的对应的分组。观察表格可知，四个间隔分别对应选项A、B、C、D，只需提取各选项对应的组内离差平方和，比较后即可得出答案。
【解析】组内离差平方和越小，组内数据差异越小，分组越合理。对应表格：选项A对应第1个间隔，组内离差平方和为18.8；选项B对应第2个间隔，组内离差平方和为6.7；选项C对应第3个间隔，组内离差平方和为14.7；选项D对应第4个间隔，组内离差平方和为22.8。比较得：6.7＜14.7＜18.8＜22.8，最小的组内离差平方和为6.7，对应分组为选项B。
【答案】B
【知识点】离差平方和、数据分组
【点评】本题考查对组内离差平方和概念的理解与应用，难度较低，关键是准确对应选项与表格中的组内离差平方和，通过比较大小即可得出结论，属于基础题型。
【难度系数】0.5
【解析】组内离差平方和越小，组内数据差异越小，分组越合理。对应表格：选项A对应第1个间隔，组内离差平方和为18.8；选项B对应第2个间隔，组内离差平方和为6.7；选项C对应第3个间隔，组内离差平方和为14.7；选项D对应第4个间隔，组内离差平方和为22.8。比较得：6.7＜14.7＜18.8＜22.8，最小的组内离差平方和为6.7，对应分组为选项B。
【答案】B
【知识点】离差平方和、数据分组
【点评】本题考查对组内离差平方和概念的理解与应用，难度较低，关键是准确对应选项与表格中的组内离差平方和，通过比较大小即可得出结论，属于基础题型。
【难度系数】0.5
4. 把 5 个数据 $-1,3,1,5,4$ 分成 $\{-1,1\}$ 和$\{3,4,5\}$两组,则这种分组情况的组内离差平方和为
4
.答案
解：
第一组$\{-1,1\}$的均值为$\frac{-1+1}{2}=0$，该组的离差平方和为$(-1-0)^2+(1-0)^2=2$；
第二组$\{3,4,5\}$的均值为$\frac{3+4+5}{3}=4$，该组的离差平方和为$(3-4)^2+(4-4)^2+(5-4)^2=2$；
组内离差平方和为两组离差平方和之和，即$2+2=4$。
答案：$\boldsymbol{4}$
第一组$\{-1,1\}$的均值为$\frac{-1+1}{2}=0$，该组的离差平方和为$(-1-0)^2+(1-0)^2=2$；
第二组$\{3,4,5\}$的均值为$\frac{3+4+5}{3}=4$，该组的离差平方和为$(3-4)^2+(4-4)^2+(5-4)^2=2$；
组内离差平方和为两组离差平方和之和，即$2+2=4$。
答案：$\boldsymbol{4}$
解析
【解析】
1. 计算第一组$\{-1,1\}$的均值：$\bar{x}_1=\frac{-1+1}{2}=0$
该组的离差平方和为：$(-1-0)^2+(1-0)^2=1+1=2$
2. 计算第二组$\{3,4,5\}$的均值：$\bar{x}_2=\frac{3+4+5}{3}=4$
该组的离差平方和为：$(3-4)^2+(4-4)^2+(5-4)^2=1+0+1=2.4$
3. 组内离差平方和为两组离差平方和相加：$2+2.4=4.4$
【答案】
4.4
【知识点】
离差平方和计算
【点评】
本题考查组内离差平方和的基础计算，只需先分别求出每组的均值，再计算每组的离差平方和后求和即可，属于统计部分的基础概念应用题，计算量小，侧重对定义的理解。
【难度系数】
0.8
1. 计算第一组$\{-1,1\}$的均值：$\bar{x}_1=\frac{-1+1}{2}=0$
该组的离差平方和为：$(-1-0)^2+(1-0)^2=1+1=2$
2. 计算第二组$\{3,4,5\}$的均值：$\bar{x}_2=\frac{3+4+5}{3}=4$
该组的离差平方和为：$(3-4)^2+(4-4)^2+(5-4)^2=1+0+1=2.4$
3. 组内离差平方和为两组离差平方和相加：$2+2.4=4.4$
【答案】
4.4
【知识点】
离差平方和计算
【点评】
本题考查组内离差平方和的基础计算，只需先分别求出每组的均值，再计算每组的离差平方和后求和即可，属于统计部分的基础概念应用题，计算量小，侧重对定义的理解。
【难度系数】
0.8
5. 某足球兴趣小组共有12名球员,每位球员能力值如下：
根据统计图回答下列问题：
(1) 这12名球员能力值的中位数是
(2) 将这12名球员分成A,B两组,准备进行对抗练习,具体方案如下：
①方案Ⅰ中,球员能力值更稳定的是
②若A,B两组球员能力值的平均数和方差都接近,则认为组内对抗的实战价值更优.在这四个分组方案中,组内对抗的实战价值最优的方案是
根据统计图回答下列问题：
(1) 这12名球员能力值的中位数是
8.2
分,众数是8.1和8.2
分.(2) 将这12名球员分成A,B两组,准备进行对抗练习,具体方案如下：
①方案Ⅰ中,球员能力值更稳定的是
B组
(填“A组”“B组”或“一样”).②若A,B两组球员能力值的平均数和方差都接近,则认为组内对抗的实战价值更优.在这四个分组方案中,组内对抗的实战价值最优的方案是
Ⅲ
(填“Ⅰ”“Ⅱ”“Ⅲ”或“Ⅳ”).答案
5.解:(1) 8.2 8.1和8.2
(2) ①B组 ②Ⅲ
(2) ①B组 ②Ⅲ
解析
【分析】
解决本题需掌握中位数、众数、方差的概念及应用，步骤如下：1. 求中位数和众数：先将12名球员的能力值从小到大排序，12个数据为偶数个，中位数是第6和第7个数据的平均数；众数是出现次数最多的能力值。2. 分析稳定性：方差反映数据波动程度，方差越小数据越稳定，需分别计算A、B组方差比较。3. 选最优方案：根据题意，需满足两组平均数接近且方差接近，对比四个方案的计算结果得出。
【解析】
（1）将12名球员的能力值从小到大排列，第6个数据为8.2，第7个数据为8.2，故中位数为$\frac{8.2+8.2}{2}=8.2$；统计各能力值出现次数，8.1和8.2出现次数最多，故众数为8.1和8.2。
（2）①计算A组和B组的方差，方差越小数据越稳定，经计算B组方差更小，故能力值更稳定的是B组。
②分别计算四个方案中A、B组的平均数和方差，方案Ⅲ的两组平均数接近且方差接近，故实战价值最优的是Ⅲ。
【答案】
(1) 8.2；8.1和8.2
(2) ①B组；②Ⅲ
【知识点】
中位数、众数、方差
【点评】
本题考查统计量的实际应用，需熟练掌握中位数、众数、方差的计算方法及意义，解题时要细心排序、准确计算，难度适中。
【难度系数】
0.5
解决本题需掌握中位数、众数、方差的概念及应用，步骤如下：1. 求中位数和众数：先将12名球员的能力值从小到大排序，12个数据为偶数个，中位数是第6和第7个数据的平均数；众数是出现次数最多的能力值。2. 分析稳定性：方差反映数据波动程度，方差越小数据越稳定，需分别计算A、B组方差比较。3. 选最优方案：根据题意，需满足两组平均数接近且方差接近，对比四个方案的计算结果得出。
【解析】
（1）将12名球员的能力值从小到大排列，第6个数据为8.2，第7个数据为8.2，故中位数为$\frac{8.2+8.2}{2}=8.2$；统计各能力值出现次数，8.1和8.2出现次数最多，故众数为8.1和8.2。
（2）①计算A组和B组的方差，方差越小数据越稳定，经计算B组方差更小，故能力值更稳定的是B组。
②分别计算四个方案中A、B组的平均数和方差，方案Ⅲ的两组平均数接近且方差接近，故实战价值最优的是Ⅲ。
【答案】
(1) 8.2；8.1和8.2
(2) ①B组；②Ⅲ
【知识点】
中位数、众数、方差
【点评】
本题考查统计量的实际应用，需熟练掌握中位数、众数、方差的计算方法及意义，解题时要细心排序、准确计算，难度适中。
【难度系数】
0.5
