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20. 如图,在平面直角坐标系中,已知$△ ABC$的三个顶点的坐标分别为$A(-3,5),B(-2,1),C(-1,3)$。
(1)若$△ ABC$经过平移后得到$△ A_{1}B_{1}C_{1}$,已知点$C_{1}$的坐标为$(4,0)$,画出$△ A_{1}B_{1}C_{1}$,并写出顶点$A_{1},B_{1}$的坐标;
(2)若$△ ABC$和$△ A_{2}B_{2}C_{2}$关于原点$O$中心对称,画出$△ A_{2}B_{2}C_{2}$,并写出$△ A_{2}B_{2}C_{2}$各顶点的坐标;
(3)将$△ ABC$绕着点$O$按顺时针方向旋转$90°$得到$△ A_{3}B_{3}C_{3}$,画出$△ A_{3}B_{3}C_{3}$,并写出$△ A_{3}B_{3}C_{3}$各顶点的坐标。
(1)若$△ ABC$经过平移后得到$△ A_{1}B_{1}C_{1}$,已知点$C_{1}$的坐标为$(4,0)$,画出$△ A_{1}B_{1}C_{1}$,并写出顶点$A_{1},B_{1}$的坐标;
(2)若$△ ABC$和$△ A_{2}B_{2}C_{2}$关于原点$O$中心对称,画出$△ A_{2}B_{2}C_{2}$,并写出$△ A_{2}B_{2}C_{2}$各顶点的坐标;
(3)将$△ ABC$绕着点$O$按顺时针方向旋转$90°$得到$△ A_{3}B_{3}C_{3}$,画出$△ A_{3}B_{3}C_{3}$,并写出$△ A_{3}B_{3}C_{3}$各顶点的坐标。
答案
20.解:(1)$△A_1B_1C_1$如图,点$A_1$的坐标为$(2,2)$,点$B_1$的坐标为$(3,-2)$。
(2)$△A_2B_2C_2$如图,点$A_2$的坐标为$(3,-5)$,点$B_2$的坐标为$(2,-1)$,点$C_2$的坐标为$(1,-3)$。
(3)$△A_3B_3C_3$如图,点$A_3$的坐标为$(5,3)$,点$B_3$的坐标为$(1,2)$,点$C_3$的坐标为$(3,1)$。
解析
【分析】
(1) 解决平移类问题首先要确定平移规则：对比点C和对应点$C_1$的坐标，横坐标从-1变为4，增加了5，说明向右平移5个单位；纵坐标从3变为0，减少了2，说明向下平移2个单位。将A、B两点按相同规则计算坐标，再描点连线即可得到平移后的图形。
(2) 关于原点中心对称的点的坐标规律为：若原点点坐标为$(x,y)$，则对称点坐标为$(-x,-y)$，直接代入三个顶点坐标计算即可得到对称点，再描点连线得到对称图形。
(3) 点绕原点顺时针旋转$90°$的坐标变化规律为：原点点坐标$(x,y)$旋转后变为$(y,-x)$，代入三个顶点坐标计算得到旋转后的对应点，再描点连线得到旋转后的图形。
【解析】
(1) 平移规则：向右平移5个单位，向下平移2个单位。
点$A(-3,5)$平移后横坐标：$-3+5=2$，纵坐标：$5-2=2$，即$A_1(2,2)$；
点$B(-2,1)$平移后横坐标：$-2+5=3$，纵坐标：$1-2=-2$，即$B_1(3,-2)$；
描出$A_1,B_1,C_1$三点，顺次连接得到$△ A_1B_1C_1$。
(2) 根据原点中心对称的坐标规律：
$A(-3,5)$的对称点$A_2$横纵坐标取反，得$(3,-5)$；
$B(-2,1)$的对称点$B_2$得$(2,-1)$；
$C(-1,3)$的对称点$C_2$得$(1,-3)$；
描出$A_2,B_2,C_2$三点，顺次连接得到$△ A_2B_2C_2$。
(3) 根据绕原点顺时针旋转$90°$的坐标规律：
$A(-3,5)$旋转后坐标为$(5,3)$，即$A_3(5,3)$；
$B(-2,1)$旋转后坐标为$(1,2)$，即$B_3(1,2)$；
$C(-1,3)$旋转后坐标为$(3,1)$，即$C_3(3,1)$；
描出$A_3,B_3,C_3$三点，顺次连接得到$△ A_3B_3C_3$。
【答案】
(1) 点$A_1$的坐标为$(2,2)$，点$B_1$的坐标为$(3,-2)$，$△ A_1B_1C_1$如图；
(2) 点$A_2$的坐标为$(3,-5)$，点$B_2$的坐标为$(2,-1)$，点$C_2$的坐标为$(1,-3)$，$△ A_2B_2C_2$如图；
(3) 点$A_3$的坐标为$(5,3)$，点$B_3$的坐标为$(1,2)$，点$C_3$的坐标为$(3,1)$，$△ A_3B_3C_3$如图；
【知识点】
平移坐标变化，中心对称坐标性质，旋转坐标变换
【点评】
本题考查平面直角坐标系中图形的三类基本变换，核心是掌握各类变换对应的坐标变化规律，按照规律计算坐标后描点连线即可完成解题，属于常规基础题型。
【难度系数】
0.8
(1) 解决平移类问题首先要确定平移规则：对比点C和对应点$C_1$的坐标，横坐标从-1变为4，增加了5，说明向右平移5个单位；纵坐标从3变为0，减少了2，说明向下平移2个单位。将A、B两点按相同规则计算坐标，再描点连线即可得到平移后的图形。
(2) 关于原点中心对称的点的坐标规律为：若原点点坐标为$(x,y)$，则对称点坐标为$(-x,-y)$，直接代入三个顶点坐标计算即可得到对称点，再描点连线得到对称图形。
(3) 点绕原点顺时针旋转$90°$的坐标变化规律为：原点点坐标$(x,y)$旋转后变为$(y,-x)$，代入三个顶点坐标计算得到旋转后的对应点，再描点连线得到旋转后的图形。
【解析】
(1) 平移规则：向右平移5个单位，向下平移2个单位。
点$A(-3,5)$平移后横坐标：$-3+5=2$，纵坐标：$5-2=2$，即$A_1(2,2)$；
点$B(-2,1)$平移后横坐标：$-2+5=3$，纵坐标：$1-2=-2$，即$B_1(3,-2)$；
描出$A_1,B_1,C_1$三点，顺次连接得到$△ A_1B_1C_1$。
(2) 根据原点中心对称的坐标规律：
$A(-3,5)$的对称点$A_2$横纵坐标取反，得$(3,-5)$；
$B(-2,1)$的对称点$B_2$得$(2,-1)$；
$C(-1,3)$的对称点$C_2$得$(1,-3)$；
描出$A_2,B_2,C_2$三点，顺次连接得到$△ A_2B_2C_2$。
(3) 根据绕原点顺时针旋转$90°$的坐标规律：
$A(-3,5)$旋转后坐标为$(5,3)$，即$A_3(5,3)$；
$B(-2,1)$旋转后坐标为$(1,2)$，即$B_3(1,2)$；
$C(-1,3)$旋转后坐标为$(3,1)$，即$C_3(3,1)$；
描出$A_3,B_3,C_3$三点，顺次连接得到$△ A_3B_3C_3$。
【答案】
(1) 点$A_1$的坐标为$(2,2)$，点$B_1$的坐标为$(3,-2)$，$△ A_1B_1C_1$如图；
(2) 点$A_2$的坐标为$(3,-5)$，点$B_2$的坐标为$(2,-1)$，点$C_2$的坐标为$(1,-3)$，$△ A_2B_2C_2$如图；
(3) 点$A_3$的坐标为$(5,3)$，点$B_3$的坐标为$(1,2)$，点$C_3$的坐标为$(3,1)$，$△ A_3B_3C_3$如图；
【知识点】
平移坐标变化，中心对称坐标性质，旋转坐标变换
【点评】
本题考查平面直角坐标系中图形的三类基本变换，核心是掌握各类变换对应的坐标变化规律，按照规律计算坐标后描点连线即可完成解题，属于常规基础题型。
【难度系数】
0.8
21.如图，铁路MN和公路PQ在点O处交汇，∠QON＝30°。公路PQ上A处距离点O 240 m。如果火车（火车看成一点）行驶时，周围200 m以内会受到噪声的影响，那么火车在铁路MN上沿ON方向行驶时，A处是否会受到噪声的影响？若A处会受到影响，且火车的行驶速度为72 km/h，则A处受噪声影响的时间是多少秒？
答案
21.解:如图,过点$A$作$AC⊥ ON$,
$\because∠QON=30°$,$OA=240\ \mathrm{m}$,
$\therefore AC=120\ \mathrm{m}$,$120＜200$。
$\therefore A$处会受到噪声影响。
过点$A$作$AB=AD=200\ \mathrm{m}$,
$\because AB=200\ \mathrm{m}$,$AC=120\ \mathrm{m}$,
在$\mathrm{Rt}△ABC$中,由勾股定理,得$BC=160\ \mathrm{m}$,$CD=160\ \mathrm{m}$,即$BD=320\ \mathrm{m}$。
$\because72\ \mathrm{km/h}=20\ \mathrm{m/s}$,
$\therefore$影响时间应是$320÷20=16(\mathrm{s})$。
解析
【分析】
要判断A处是否受噪声影响，根据点到直线的距离垂线段最短，先求出A到铁路MN的最短距离，和200m比较即可。若会受影响，需先确定火车在MN上行驶时到A的距离≤200m的路段长度：以A为圆心、200m为半径作圆，圆与MN的两个交点之间的线段就是受影响的路段，再将火车速度单位换算为m/s，用路段长度除以速度就能得到受影响的时间。
【解析】
解：过点$A$作$AC⊥ ON$，垂足为C，
$\because∠QON=30°$，$OA=240\ \mathrm{m}$，
在$\mathrm{Rt}△AOC$中，30°角所对的直角边等于斜边的一半，
$\therefore AC=\frac{1}{2}OA=120\ \mathrm{m}$，
$\because 120＜200$，
$\therefore A$处会受到噪声影响。
以点A为圆心，200m为半径作弧，交ON于点B、D，即$AB=AD=200\ \mathrm{m}$，
在$\mathrm{Rt}△ABC$中，由勾股定理得：
$BC=\sqrt{AB^2-AC^2}=\sqrt{200^2-120^2}=160\ \mathrm{m}$，
同理可得$CD=160\ \mathrm{m}$，
$\therefore$受影响的路段长度$BD=BC+CD=320\ \mathrm{m}$。
换算速度单位：$72\ \mathrm{km/h}=72×\frac{1000\ \mathrm{m}}{3600\ \mathrm{s}}=20\ \mathrm{m/s}$，
$\therefore$受影响的时间$t=\frac{BD}{v}=\frac{320}{20}=16(\mathrm{s})$。
【答案】
A处会受到噪声影响，受噪声影响的时间是16秒。
【知识点】
1. 点到直线的距离
2. 含30°角的直角三角形性质
3. 勾股定理
【点评】
本题结合生活实际考查几何知识的应用，解题关键是利用垂线段最短的性质判断是否受影响，准确找到受噪声影响的行驶路段，解题时要注意速度单位的统一，避免因单位换算错误失分。
【难度系数】
0.7
要判断A处是否受噪声影响，根据点到直线的距离垂线段最短，先求出A到铁路MN的最短距离，和200m比较即可。若会受影响，需先确定火车在MN上行驶时到A的距离≤200m的路段长度：以A为圆心、200m为半径作圆，圆与MN的两个交点之间的线段就是受影响的路段，再将火车速度单位换算为m/s，用路段长度除以速度就能得到受影响的时间。
【解析】
解：过点$A$作$AC⊥ ON$，垂足为C，
$\because∠QON=30°$，$OA=240\ \mathrm{m}$，
在$\mathrm{Rt}△AOC$中，30°角所对的直角边等于斜边的一半，
$\therefore AC=\frac{1}{2}OA=120\ \mathrm{m}$，
$\because 120＜200$，
$\therefore A$处会受到噪声影响。
以点A为圆心，200m为半径作弧，交ON于点B、D，即$AB=AD=200\ \mathrm{m}$，
在$\mathrm{Rt}△ABC$中，由勾股定理得：
$BC=\sqrt{AB^2-AC^2}=\sqrt{200^2-120^2}=160\ \mathrm{m}$，
同理可得$CD=160\ \mathrm{m}$，
$\therefore$受影响的路段长度$BD=BC+CD=320\ \mathrm{m}$。
换算速度单位：$72\ \mathrm{km/h}=72×\frac{1000\ \mathrm{m}}{3600\ \mathrm{s}}=20\ \mathrm{m/s}$，
$\therefore$受影响的时间$t=\frac{BD}{v}=\frac{320}{20}=16(\mathrm{s})$。
【答案】
A处会受到噪声影响，受噪声影响的时间是16秒。
【知识点】
1. 点到直线的距离
2. 含30°角的直角三角形性质
3. 勾股定理
【点评】
本题结合生活实际考查几何知识的应用，解题关键是利用垂线段最短的性质判断是否受影响，准确找到受噪声影响的行驶路段，解题时要注意速度单位的统一，避免因单位换算错误失分。
【难度系数】
0.7
