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三、解答题
17. (1)解分式方程:$\frac{1}{x}+\frac{1}{x-1}=\frac{x+2}{x(x-1)}$;
(2)解不等式组:$\begin{cases}2x-4≥3(x-2), \\4x＞\frac{x-7}{2}。\end{cases}$
17. (1)解分式方程:$\frac{1}{x}+\frac{1}{x-1}=\frac{x+2}{x(x-1)}$;
(2)解不等式组:$\begin{cases}2x-4≥3(x-2), \\4x＞\frac{x-7}{2}。\end{cases}$
答案
17.解:(1)$\frac{1}{x}+\frac{1}{x-1}=\frac{x+2}{x(x-1)}$,
通分,得$\frac{2x-1}{x(x-1)}=\frac{x+2}{x(x-1)}$,
移项,得$\frac{x-3}{x(x-1)}=0$,
$\therefore x-3=0$,
解得$x=3$。
经检验,$x=3$时,$x(x-1)=6≠0$,
$\therefore x=3$是分式方程的根。
(2)$\begin{cases}2x-4≥3(x-2),①\\4x＞\frac{x-7}{2},②\end{cases}$
解不等式①,得$x≤2$;
解不等式②,得$x＞-1$,
则不等式组的解集为$-1＜x≤2$。
通分,得$\frac{2x-1}{x(x-1)}=\frac{x+2}{x(x-1)}$,
移项,得$\frac{x-3}{x(x-1)}=0$,
$\therefore x-3=0$,
解得$x=3$。
经检验,$x=3$时,$x(x-1)=6≠0$,
$\therefore x=3$是分式方程的根。
(2)$\begin{cases}2x-4≥3(x-2),①\\4x＞\frac{x-7}{2},②\end{cases}$
解不等式①,得$x≤2$;
解不等式②,得$x＞-1$,
则不等式组的解集为$-1＜x≤2$。
解析
【分析】
本题包含两个基础计算题型：(1)解分式方程的核心思路是将分式方程转化为整式方程求解，首先确定最简公分母为$x(x-1)$，需注意分母不能为0即$x≠0$且$x≠1$，求解后必须代入最简公分母检验是否为增根；(2)解一元一次不等式组的思路是先分别求出每个不等式的解集，再根据解集规律找出两个解集的公共部分，即为不等式组的解集，解不等式时注意系数化为1时若两边乘除负数，不等号方向要改变。
【解析】
(1) 解分式方程 $\frac{1}{x}+\frac{1}{x-1}=\frac{x+2}{x(x-1)}$：
对左边通分，公分母为$x(x-1)$，得 $\frac{2x-1}{x(x-1)}=\frac{x+2}{x(x-1)}$；
移项化简得 $\frac{x-3}{x(x-1)}=0$；
要使分式值为0，需分子为0且分母不为0，即$x-3=0$，解得$x=3$；
检验：当$x=3$时，$x(x-1)=3×2=6≠0$，因此$x=3$是原分式方程的解。
(2) 解不等式组 $\begin{cases}2x-4≥3(x-2),①\\4x＞\frac{x-7}{2},②\end{cases}$
解不等式①：去括号得$2x-4≥3x-6$，移项合并同类项得$-x≥-2$，系数化为1（不等号方向改变）得$x≤2$；
解不等式②：两边同乘2去分母得$8x＞x-7$，移项合并同类项得$7x＞-7$，系数化为1得$x＞-1$；
取两个解集的公共部分，可得不等式组的解集为$-1＜x≤2$。
【答案】
(1) $x=3$；(2) $-1＜x≤2$
【知识点】
分式方程的解法；一元一次不等式组的解法
【点评】
本题属于基础运算类题型，考查分式方程和一元一次不等式组的求解技能，解题时需注意：解分式方程切勿遗漏验根步骤，解不等式时系数化为1若乘除负数要改变不等号方向，熟练掌握这类基础运算是学好代数的前提。
【难度系数】
0.85
本题包含两个基础计算题型：(1)解分式方程的核心思路是将分式方程转化为整式方程求解，首先确定最简公分母为$x(x-1)$，需注意分母不能为0即$x≠0$且$x≠1$，求解后必须代入最简公分母检验是否为增根；(2)解一元一次不等式组的思路是先分别求出每个不等式的解集，再根据解集规律找出两个解集的公共部分，即为不等式组的解集，解不等式时注意系数化为1时若两边乘除负数，不等号方向要改变。
【解析】
(1) 解分式方程 $\frac{1}{x}+\frac{1}{x-1}=\frac{x+2}{x(x-1)}$：
对左边通分，公分母为$x(x-1)$，得 $\frac{2x-1}{x(x-1)}=\frac{x+2}{x(x-1)}$；
移项化简得 $\frac{x-3}{x(x-1)}=0$；
要使分式值为0，需分子为0且分母不为0，即$x-3=0$，解得$x=3$；
检验：当$x=3$时，$x(x-1)=3×2=6≠0$，因此$x=3$是原分式方程的解。
(2) 解不等式组 $\begin{cases}2x-4≥3(x-2),①\\4x＞\frac{x-7}{2},②\end{cases}$
解不等式①：去括号得$2x-4≥3x-6$，移项合并同类项得$-x≥-2$，系数化为1（不等号方向改变）得$x≤2$；
解不等式②：两边同乘2去分母得$8x＞x-7$，移项合并同类项得$7x＞-7$，系数化为1得$x＞-1$；
取两个解集的公共部分，可得不等式组的解集为$-1＜x≤2$。
【答案】
(1) $x=3$；(2) $-1＜x≤2$
【知识点】
分式方程的解法；一元一次不等式组的解法
【点评】
本题属于基础运算类题型，考查分式方程和一元一次不等式组的求解技能，解题时需注意：解分式方程切勿遗漏验根步骤，解不等式时系数化为1若乘除负数要改变不等号方向，熟练掌握这类基础运算是学好代数的前提。
【难度系数】
0.85
18. 先化简,再求值:$1+\dfrac{m-n}{m-2n}÷\dfrac{n^2 - m^2}{m^2 -4mn +4n^2}$,其中$m,n$满足$\dfrac{m}{3}=-\dfrac{n}{2}$。
答案
18.解:原式$=1+\frac{m-n}{m-2n}·\frac{(m-2n)^2}{-(m-n)(m+n)}$
$=1-\frac{m-2n}{m+n}$
$=\frac{m+n}{m+n}-\frac{m-2n}{m+n}$
$=\frac{3n}{m+n}$。
$\because\frac{m}{3}=-\frac{n}{2}$,
$\therefore m=-\frac{3}{2}n$。
则原式$=\frac{3n}{-\frac{3}{2}n+n}=\frac{3n}{-\frac{1}{2}n}=-6$。
$=1-\frac{m-2n}{m+n}$
$=\frac{m+n}{m+n}-\frac{m-2n}{m+n}$
$=\frac{3n}{m+n}$。
$\because\frac{m}{3}=-\frac{n}{2}$,
$\therefore m=-\frac{3}{2}n$。
则原式$=\frac{3n}{-\frac{3}{2}n+n}=\frac{3n}{-\frac{1}{2}n}=-6$。
解析
【分析】
这是一道分式化简求值题，解题分两步进行：第一步先化简原式，首先根据分式除法法则，将除法运算转化为乘法运算；再利用平方差公式、完全平方公式对分子分母因式分解，接着约分，再通分计算得到最简分式；第二步利用已知的m和n的等量关系，将m用含n的式子表示，代入最简分式后约分即可得到结果，解题时要注意处理$n^2-m^2$时的符号变化，避免符号错误。
【解析】
解：原式$=1+\frac{m-n}{m-2n}·\frac{(m-2n)^2}{-(m-n)(m+n)}$
约分后得：$=1-\frac{m-2n}{m+n}$
通分计算：$=\frac{m+n}{m+n}-\frac{m-2n}{m+n}=\frac{3n}{m+n}$
$\because\frac{m}{3}=-\frac{n}{2}$，$\therefore m=-\frac{3}{2}n$（由分式有意义可知$n≠0$）
将$m=-\frac{3}{2}n$代入得：
原式$=\frac{3n}{-\frac{3}{2}n+n}=\frac{3n}{-\frac{1}{2}n}=-6$
【答案】
$-6$
【知识点】
分式混合运算，因式分解，代数式求值
【点评】
本题是分式化简求值的常规题型，核心考查分式运算法则、乘法公式的应用，解题时要先化简再代入求值，注意因式分解时的符号处理，整体代入的思想可有效简化计算。
【难度系数】
0.6
这是一道分式化简求值题，解题分两步进行：第一步先化简原式，首先根据分式除法法则，将除法运算转化为乘法运算；再利用平方差公式、完全平方公式对分子分母因式分解，接着约分，再通分计算得到最简分式；第二步利用已知的m和n的等量关系，将m用含n的式子表示，代入最简分式后约分即可得到结果，解题时要注意处理$n^2-m^2$时的符号变化，避免符号错误。
【解析】
解：原式$=1+\frac{m-n}{m-2n}·\frac{(m-2n)^2}{-(m-n)(m+n)}$
约分后得：$=1-\frac{m-2n}{m+n}$
通分计算：$=\frac{m+n}{m+n}-\frac{m-2n}{m+n}=\frac{3n}{m+n}$
$\because\frac{m}{3}=-\frac{n}{2}$，$\therefore m=-\frac{3}{2}n$（由分式有意义可知$n≠0$）
将$m=-\frac{3}{2}n$代入得：
原式$=\frac{3n}{-\frac{3}{2}n+n}=\frac{3n}{-\frac{1}{2}n}=-6$
【答案】
$-6$
【知识点】
分式混合运算，因式分解，代数式求值
【点评】
本题是分式化简求值的常规题型，核心考查分式运算法则、乘法公式的应用，解题时要先化简再代入求值，注意因式分解时的符号处理，整体代入的思想可有效简化计算。
【难度系数】
0.6
19. 如图,在$△ ABC$中,$∠ C=90°$,DE垂直平分AB,分别交AB,BC于点D,E。
(1)若$∠ CAE=∠ B+30°$,求$∠ B$的度数；
(2)若$∠ CAE=∠ B$,$AD=3$,求$AC$的长。
(1)若$∠ CAE=∠ B+30°$,求$∠ B$的度数；
(2)若$∠ CAE=∠ B$,$AD=3$,求$AC$的长。
答案
19.解:(1)$\because DE$垂直平分$AB$,
$\therefore EA=EB$。$\therefore∠EAB=∠B$。
$\because∠C=90°$,$\therefore∠CAB+∠B=90°$。
$\therefore∠CAE+∠EAB+∠B=90°$。
即$∠B+30°+∠B+∠B=90°$。
解得$∠B=20°$。
(2)$\because∠CAE=∠B$,
$\therefore 3∠B=90°$,解得$∠B=30°$。
$\because DE$垂直平分$AB$,$AD=3$,$\therefore AB=6$。
在$\mathrm{Rt}△ABC$中,$∠C=90°$,$∠B=30°$,
$\therefore AC=\frac{1}{2}AB=3$。
$\therefore EA=EB$。$\therefore∠EAB=∠B$。
$\because∠C=90°$,$\therefore∠CAB+∠B=90°$。
$\therefore∠CAE+∠EAB+∠B=90°$。
即$∠B+30°+∠B+∠B=90°$。
解得$∠B=20°$。
(2)$\because∠CAE=∠B$,
$\therefore 3∠B=90°$,解得$∠B=30°$。
$\because DE$垂直平分$AB$,$AD=3$,$\therefore AB=6$。
在$\mathrm{Rt}△ABC$中,$∠C=90°$,$∠B=30°$,
$\therefore AC=\frac{1}{2}AB=3$。
解析
【分析】
本题可结合线段垂直平分线的性质与直角三角形的角、边性质求解：
(1) 首先根据线段垂直平分线的性质得到EA=EB，进而推出∠EAB=∠B；再利用直角三角形两锐角互余的性质，得到∠CAB+∠B=90°，将∠CAB拆分为∠CAE+∠EAB，代入已知∠CAE=∠B+30°，即可建立关于∠B的方程求解。
(2) 沿用第一问的角的关系，将∠CAE=∠B代入三个角的和为90°的等式，求出∠B的度数；再根据垂直平分线的性质得到AB的长度，最后利用含30°角的直角三角形的边长性质，求出AC的长度。
【解析】
(1) $\because DE$垂直平分$AB$，
$\therefore EA=EB$，
$\therefore ∠ EAB=∠ B$。
$\because$ 在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，
$\therefore ∠ CAB + ∠ B = 90°$，
即$∠ CAE + ∠ EAB + ∠ B = 90°$。
又$\because ∠ CAE = ∠ B + 30°$，
代入得：$∠ B + 30° + ∠ B + ∠ B = 90°$，
解得：$∠ B = 20°$。
(2) $\because ∠ CAE=∠ B$，且$∠ CAE + ∠ EAB + ∠ B = 90°$，$∠ EAB=∠ B$，
$\therefore ∠ B + ∠ B + ∠ B = 90°$，即$3∠ B=90°$，
解得：$∠ B=30°$。
$\because DE$垂直平分$AB$，$AD=3$，
$\therefore AB=2AD=6$。
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，$∠ B=30°$，$30°$角所对的直角边为$AC$，
$\therefore AC = \frac{1}{2}AB = \frac{1}{2} × 6 = 3$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{20°}$；(2) $\boldsymbol{3}$
【知识点】
1.线段垂直平分线的性质
2.直角三角形两锐角互余
3.含30°角的直角三角形的性质
【点评】
本题属于几何基础综合题，核心考查线段垂直平分线、等腰三角形等边对等角、直角三角形的相关性质，解题的关键是通过垂直平分线的性质得到等角关系，结合直角三角形的内角和建立方程求角度，再利用特殊直角三角形的边长关系计算线段长度，是这类知识点的典型考法，需要熟练掌握。
【难度系数】
0.7
本题可结合线段垂直平分线的性质与直角三角形的角、边性质求解：
(1) 首先根据线段垂直平分线的性质得到EA=EB，进而推出∠EAB=∠B；再利用直角三角形两锐角互余的性质，得到∠CAB+∠B=90°，将∠CAB拆分为∠CAE+∠EAB，代入已知∠CAE=∠B+30°，即可建立关于∠B的方程求解。
(2) 沿用第一问的角的关系，将∠CAE=∠B代入三个角的和为90°的等式，求出∠B的度数；再根据垂直平分线的性质得到AB的长度，最后利用含30°角的直角三角形的边长性质，求出AC的长度。
【解析】
(1) $\because DE$垂直平分$AB$，
$\therefore EA=EB$，
$\therefore ∠ EAB=∠ B$。
$\because$ 在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，
$\therefore ∠ CAB + ∠ B = 90°$，
即$∠ CAE + ∠ EAB + ∠ B = 90°$。
又$\because ∠ CAE = ∠ B + 30°$，
代入得：$∠ B + 30° + ∠ B + ∠ B = 90°$，
解得：$∠ B = 20°$。
(2) $\because ∠ CAE=∠ B$，且$∠ CAE + ∠ EAB + ∠ B = 90°$，$∠ EAB=∠ B$，
$\therefore ∠ B + ∠ B + ∠ B = 90°$，即$3∠ B=90°$，
解得：$∠ B=30°$。
$\because DE$垂直平分$AB$，$AD=3$，
$\therefore AB=2AD=6$。
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，$∠ B=30°$，$30°$角所对的直角边为$AC$，
$\therefore AC = \frac{1}{2}AB = \frac{1}{2} × 6 = 3$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{20°}$；(2) $\boldsymbol{3}$
【知识点】
1.线段垂直平分线的性质
2.直角三角形两锐角互余
3.含30°角的直角三角形的性质
【点评】
本题属于几何基础综合题，核心考查线段垂直平分线、等腰三角形等边对等角、直角三角形的相关性质，解题的关键是通过垂直平分线的性质得到等角关系，结合直角三角形的内角和建立方程求角度，再利用特殊直角三角形的边长关系计算线段长度，是这类知识点的典型考法，需要熟练掌握。
【难度系数】
0.7
