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22. 为了提高广大职工对消防知识的学习热情，增强职工的消防意识，某单位工会决定组织消防知识竞赛活动。本次活动拟设一、二等奖若干名，并购买相应奖品。现有经费1 275元用于购买奖品，且经费全部用完，已知一等奖奖品的单价与二等奖奖品的单价之比为4：3。当购买一等奖奖品花费600元时，共可购买一、二等奖奖品25件。
(1)求一、二等奖奖品的单价；
(2)若购买一等奖奖品的数量不少于4件且不超过10件，则共有哪几种购买方式？
(1)求一、二等奖奖品的单价；
(2)若购买一等奖奖品的数量不少于4件且不超过10件，则共有哪几种购买方式？
答案
22.解:(1)设一等奖奖品单价为$4x$元,则二等奖奖品单价为$3x$元,
依题意,得$\frac{600}{4x}+\frac{1\ 275-600}{3x}=25$,
解得$x=15$,
经检验,$x=15$是原方程的根,且符合题意,
$\therefore4x=60$,$3x=45$。
答:一等奖奖品单价为60元,二等奖奖品单价为45元。
(2)设购买一等奖奖品$m$件,二等奖奖品$n$件,
依题意,得$60m+45n=1\ 275$,
$\therefore n=\frac{85-4m}{3}$。
$\because m,n$均为正整数,且$4≤m≤10$,
$\therefore\begin{cases}m=4,\\n=23\end{cases}$或$\begin{cases}m=7,\\n=19\end{cases}$或$\begin{cases}m=10,\\n=15\end{cases}$。
$\therefore$共有3种购买方案,分别是
方案1:购买4件一等奖奖品,23件二等奖奖品;
方案2:购买7件一等奖奖品,19件二等奖奖品;
方案3:购买10件一等奖奖品,15件二等奖奖品。
依题意,得$\frac{600}{4x}+\frac{1\ 275-600}{3x}=25$,
解得$x=15$,
经检验,$x=15$是原方程的根,且符合题意,
$\therefore4x=60$,$3x=45$。
答:一等奖奖品单价为60元,二等奖奖品单价为45元。
(2)设购买一等奖奖品$m$件,二等奖奖品$n$件,
依题意,得$60m+45n=1\ 275$,
$\therefore n=\frac{85-4m}{3}$。
$\because m,n$均为正整数,且$4≤m≤10$,
$\therefore\begin{cases}m=4,\\n=23\end{cases}$或$\begin{cases}m=7,\\n=19\end{cases}$或$\begin{cases}m=10,\\n=15\end{cases}$。
$\therefore$共有3种购买方案,分别是
方案1:购买4件一等奖奖品,23件二等奖奖品;
方案2:购买7件一等奖奖品,19件二等奖奖品;
方案3:购买10件一等奖奖品,15件二等奖奖品。
解析
【分析】
本题分为两小问，解题思路如下：
(1) 已知一、二等奖奖品单价比为4:3，可设未知数表示两种奖品的单价，再根据“一等奖数量+二等奖数量=25件”的等量关系列分式方程求解，注意分式方程需要检验根是否符合实际意义。
(2) 设一、二等奖奖品购买数量分别为m、n，根据总经费列二元一次方程，整理得到n关于m的表达式，再结合“m在4到10之间，m、n均为正整数”的约束条件，筛选出所有符合要求的解，即可得到购买方案。
【解析】
(1) 设一等奖奖品单价为$4x$元，则二等奖奖品单价为$3x$元，
依题意，得$\frac{600}{4x}+\frac{1275-600}{3x}=25$，
解得$x=15$，
经检验，$x=15$是原方程的根，且符合题意，
$\therefore 4x=4×15=60$，$3x=3×15=45$。
(2) 设购买一等奖奖品$m$件，二等奖奖品$n$件，
依题意，得$60m+45n=1275$，
整理得$n=\frac{85-4m}{3}$。
$\because m,n$均为正整数，且$4≤ m≤10$，
代入验证可得：
当$m=4$时，$n=\frac{85-16}{3}=23$，符合要求；
当$m=7$时，$n=\frac{85-28}{3}=19$，符合要求；
当$m=10$时，$n=\frac{85-40}{3}=15$，符合要求。
$\therefore$共有3种购买方案。
【答案】
(1) 一等奖奖品单价为60元，二等奖奖品单价为45元；
(2) 共有3种购买方式，分别是：
方案1：购买4件一等奖奖品，23件二等奖奖品；
方案2：购买7件一等奖奖品，19件二等奖奖品；
方案3：购买10件一等奖奖品，15件二等奖奖品。
【知识点】
分式方程的应用；二元一次方程的正整数解；方案设计
【点评】
本题是常见的方程实际应用类题目，第一问解题的关键是找准总数量的等量关系列方程，注意分式方程必须验根；第二问需要结合整数的性质筛选符合约束条件的解，计算时要细心，避免漏解或多解。
【难度系数】
0.7
本题分为两小问，解题思路如下：
(1) 已知一、二等奖奖品单价比为4:3，可设未知数表示两种奖品的单价，再根据“一等奖数量+二等奖数量=25件”的等量关系列分式方程求解，注意分式方程需要检验根是否符合实际意义。
(2) 设一、二等奖奖品购买数量分别为m、n，根据总经费列二元一次方程，整理得到n关于m的表达式，再结合“m在4到10之间，m、n均为正整数”的约束条件，筛选出所有符合要求的解，即可得到购买方案。
【解析】
(1) 设一等奖奖品单价为$4x$元，则二等奖奖品单价为$3x$元，
依题意，得$\frac{600}{4x}+\frac{1275-600}{3x}=25$，
解得$x=15$，
经检验，$x=15$是原方程的根，且符合题意，
$\therefore 4x=4×15=60$，$3x=3×15=45$。
(2) 设购买一等奖奖品$m$件，二等奖奖品$n$件，
依题意，得$60m+45n=1275$，
整理得$n=\frac{85-4m}{3}$。
$\because m,n$均为正整数，且$4≤ m≤10$，
代入验证可得：
当$m=4$时，$n=\frac{85-16}{3}=23$，符合要求；
当$m=7$时，$n=\frac{85-28}{3}=19$，符合要求；
当$m=10$时，$n=\frac{85-40}{3}=15$，符合要求。
$\therefore$共有3种购买方案。
【答案】
(1) 一等奖奖品单价为60元，二等奖奖品单价为45元；
(2) 共有3种购买方式，分别是：
方案1：购买4件一等奖奖品，23件二等奖奖品；
方案2：购买7件一等奖奖品，19件二等奖奖品；
方案3：购买10件一等奖奖品，15件二等奖奖品。
【知识点】
分式方程的应用；二元一次方程的正整数解；方案设计
【点评】
本题是常见的方程实际应用类题目，第一问解题的关键是找准总数量的等量关系列方程，注意分式方程必须验根；第二问需要结合整数的性质筛选符合约束条件的解，计算时要细心，避免漏解或多解。
【难度系数】
0.7
23. 如图，$□ ABCD$ 的对角线 $AC$，$BD$ 相交于点 $O$，$AB⊥ AC$，$AB=3$，$BC=5$，点 $P$ 从点 $A$ 出发，沿 $AD$ 方向以每秒1个单位长度的速度向终点 $D$ 运动。连接 $PO$ 并延长交 $BC$ 于点 $Q$，设点 $P$ 的运动时间为 $t\ \mathrm{s}$。
(1) 求 $BQ$ 的长（用含 $t$ 的代数式表示）；
(2) 当 $t=\dfrac{5}{2}$ 时，求证：四边形 $ABQP$ 是平行四边形；
(3) 当点 $O$ 在线段 $AP$ 的垂直平分线上时，求出 $t$ 的值。
(1) 求 $BQ$ 的长（用含 $t$ 的代数式表示）；
(2) 当 $t=\dfrac{5}{2}$ 时，求证：四边形 $ABQP$ 是平行四边形；
(3) 当点 $O$ 在线段 $AP$ 的垂直平分线上时，求出 $t$ 的值。
答案
23.(1)解:$\because$四边形$ABCD$是平行四边形,
$\therefore OA=OC$,$AD\equalparallel BC$。
$\therefore∠PAO=∠QCO$。
$\because∠AOP=∠COQ$,
$\therefore△APO≌△CQO(\mathrm{ASA})$。
$\therefore AP=CQ=t$。
$\because BC=5$,$\therefore BQ=5-t$。
(2)证明:当$t=\frac{5}{2}$时,$AP=t=\frac{5}{2}$,$BQ=5-t=\frac{5}{2}$,
$\therefore AP=BQ$。
$\because$四边形$ABCD$是平行四边形,
$\therefore AD// BC$,即$AP// BQ$。
$\therefore$四边形$ABQP$是平行四边形。
(3)解:如图,$OE$垂直平分$AP$。
在$\mathrm{Rt}△ABC$中,
$\because AB=3$,$BC=5$,
$\therefore AC=\sqrt{BC^2-AB^2}=\sqrt{5^2-3^2}=4$。
$\therefore AO=CO=\frac{1}{2}AC=2$。
$\because S_{△ABC}=\frac{1}{2}AB· AC=\frac{1}{2}BC· EF$,
$\therefore AB· AC=BC· EF$,即$3×4=5· EF$。
$\therefore EF=\frac{12}{5}$。
$\therefore OE=\frac{6}{5}$。
$\because OE$是$AP$的垂直平分线,
$\therefore AE=\frac{1}{2}AP=\frac{1}{2}t$,$∠AEO=90°$。
在$\mathrm{Rt}△AOE$中,由勾股定理,得$AE^2+OE^2=AO^2$,
$\therefore(\frac{1}{2}t)^2+(\frac{6}{5})^2=2^2$,
解得$t_1=\frac{16}{5}$,$t_2=-\frac{16}{5}$(舍去)。
$\therefore$当$t=\frac{16}{5}$时,点$O$在线段$AP$的垂直平分线上。
解析
【分析】
(1) 求解BQ的长度时，先利用平行四边形的性质：对角线互相平分得$OA=OC$，对边平行得$AD// BC$，进而得到内错角相等，结合对顶角相等证明$△ APO≌△ CQO$，可得$CQ=AP=t$，再结合$BC=5$即可推出$BQ$的表达式；
(2) 判定四边形$ABQP$是平行四边形，已知$AD// BC$即$AP// BQ$，只需证明$AP=BQ$即可，将$t=\frac{5}{2}$代入(1)的结论验证边长相等，即可根据平行四边形的判定定理完成证明；
(3) 当$O$在线段$AP$的垂直平分线上时，先在$\mathrm{Rt}△ ABC$中用勾股定理算出$AC$的长，得到$AO$的长度；再用面积法求出$BC$边上的高，结合$O$是对角线中点，得到$O$到$AD$的距离$OE$；最后在$\mathrm{Rt}△ AOE$中利用勾股定理列关于$t$的方程，求解并舍去负解即可得到$t$的值。
【解析】
(1) 解：$\because$四边形$ABCD$是平行四边形，
$\therefore OA=OC$，$AD// BC$，
$\therefore∠PAO=∠QCO$。
又$\because∠AOP=∠COQ$，
$\therefore△APO≌△CQO(\mathrm{ASA})$，
$\therefore AP=CQ=t$。
$\because BC=5$，
$\therefore BQ=BC-CQ=5-t$。
(2) 证明：当$t=\frac{5}{2}$时，$AP=t=\frac{5}{2}$，$BQ=5-t=5-\frac{5}{2}=\frac{5}{2}$，
$\therefore AP=BQ$。
$\because$四边形$ABCD$是平行四边形，
$\therefore AD// BC$，即$AP// BQ$，
$\therefore$四边形$ABQP$是平行四边形。
(3) 解：如图，$OE$垂直平分$AP$。
在$\mathrm{Rt}△ABC$中，$\because AB=3$，$BC=5$，
$\therefore AC=\sqrt{BC^2-AB^2}=\sqrt{5^2-3^2}=4$，
$\therefore AO=CO=\frac{1}{2}AC=2$。
$\because S_{△ABC}=\frac{1}{2}AB· AC=\frac{1}{2}BC· EF$，
$\therefore AB· AC=BC· EF$，即$3×4=5· EF$，
解得$EF=\frac{12}{5}$，
$\therefore OE=\frac{1}{2}EF=\frac{6}{5}$。
$\because OE$是$AP$的垂直平分线，
$\therefore AE=\frac{1}{2}AP=\frac{1}{2}t$，$∠AEO=90°$。
在$\mathrm{Rt}△AOE$中，由勾股定理得$AE^2+OE^2=AO^2$，
$\therefore(\frac{1}{2}t)^2+(\frac{6}{5})^2=2^2$，
解得$t_1=\frac{16}{5}$，$t_2=-\frac{16}{5}$（不符合题意，舍去），
$\therefore$当$t=\frac{16}{5}$时，点$O$在线段$AP$的垂直平分线上。
【答案】
(1) $BQ=5-t$；
(2) 证明见上述解析；
(3) $t=\frac{16}{5}$。
【知识点】
平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理
【点评】
本题以平行四边形为背景，结合动点问题考查了全等三角形的证明、平行四边形的判定、勾股定理以及面积法求线段长度的应用，综合性适中，既考察了基础几何性质的掌握程度，也锻炼了利用几何关系列方程求解的能力。
【难度系数】
0.6
(1) 求解BQ的长度时，先利用平行四边形的性质：对角线互相平分得$OA=OC$，对边平行得$AD// BC$，进而得到内错角相等，结合对顶角相等证明$△ APO≌△ CQO$，可得$CQ=AP=t$，再结合$BC=5$即可推出$BQ$的表达式；
(2) 判定四边形$ABQP$是平行四边形，已知$AD// BC$即$AP// BQ$，只需证明$AP=BQ$即可，将$t=\frac{5}{2}$代入(1)的结论验证边长相等，即可根据平行四边形的判定定理完成证明；
(3) 当$O$在线段$AP$的垂直平分线上时，先在$\mathrm{Rt}△ ABC$中用勾股定理算出$AC$的长，得到$AO$的长度；再用面积法求出$BC$边上的高，结合$O$是对角线中点，得到$O$到$AD$的距离$OE$；最后在$\mathrm{Rt}△ AOE$中利用勾股定理列关于$t$的方程，求解并舍去负解即可得到$t$的值。
【解析】
(1) 解：$\because$四边形$ABCD$是平行四边形，
$\therefore OA=OC$，$AD// BC$，
$\therefore∠PAO=∠QCO$。
又$\because∠AOP=∠COQ$，
$\therefore△APO≌△CQO(\mathrm{ASA})$，
$\therefore AP=CQ=t$。
$\because BC=5$，
$\therefore BQ=BC-CQ=5-t$。
(2) 证明：当$t=\frac{5}{2}$时，$AP=t=\frac{5}{2}$，$BQ=5-t=5-\frac{5}{2}=\frac{5}{2}$，
$\therefore AP=BQ$。
$\because$四边形$ABCD$是平行四边形，
$\therefore AD// BC$，即$AP// BQ$，
$\therefore$四边形$ABQP$是平行四边形。
(3) 解：如图，$OE$垂直平分$AP$。
在$\mathrm{Rt}△ABC$中，$\because AB=3$，$BC=5$，
$\therefore AC=\sqrt{BC^2-AB^2}=\sqrt{5^2-3^2}=4$，
$\therefore AO=CO=\frac{1}{2}AC=2$。
$\because S_{△ABC}=\frac{1}{2}AB· AC=\frac{1}{2}BC· EF$，
$\therefore AB· AC=BC· EF$，即$3×4=5· EF$，
解得$EF=\frac{12}{5}$，
$\therefore OE=\frac{1}{2}EF=\frac{6}{5}$。
$\because OE$是$AP$的垂直平分线，
$\therefore AE=\frac{1}{2}AP=\frac{1}{2}t$，$∠AEO=90°$。
在$\mathrm{Rt}△AOE$中，由勾股定理得$AE^2+OE^2=AO^2$，
$\therefore(\frac{1}{2}t)^2+(\frac{6}{5})^2=2^2$，
解得$t_1=\frac{16}{5}$，$t_2=-\frac{16}{5}$（不符合题意，舍去），
$\therefore$当$t=\frac{16}{5}$时，点$O$在线段$AP$的垂直平分线上。
【答案】
(1) $BQ=5-t$；
(2) 证明见上述解析；
(3) $t=\frac{16}{5}$。
【知识点】
平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理
【点评】
本题以平行四边形为背景，结合动点问题考查了全等三角形的证明、平行四边形的判定、勾股定理以及面积法求线段长度的应用，综合性适中，既考察了基础几何性质的掌握程度，也锻炼了利用几何关系列方程求解的能力。
【难度系数】
0.6
