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2. 现定义一种新运算◎:对于任意正有理数$x,y$,都有$x◎y=\sqrt{3x}-2\sqrt{y}$.例如:$9◎3=\sqrt{3×9}-2\sqrt{3}=3\sqrt{3}-2\sqrt{3}=\sqrt{3}$,则$6◎8=$
$-\sqrt{2}$
.答案
$-\sqrt{2}$
解析
【分析】
本题是新定义运算类题目，解题思路如下：首先准确理解新运算“◎”的运算规则，明确运算中两个数对应的x、y位置，再将数值代入给定的运算公式，最后按照二次根式的化简及加减运算法则计算即可。
【解析】
根据新运算的定义：$x◎y=\sqrt{3x}-2\sqrt{y}$，在$6◎8$中，$x=6$，$y=8$，代入公式得：
$\begin{aligned}6◎8&=\sqrt{3×6}-2\sqrt{8}\\&=\sqrt{18}-2\sqrt{8}\\&=3\sqrt{2}-2×2\sqrt{2}\\&=3\sqrt{2}-4\sqrt{2}\\&=-\sqrt{2}\end{aligned}$
【答案】
$-\sqrt{2}$
【知识点】
新定义运算，二次根式化简，二次根式的加减
【点评】
本题考查对新运算规则的理解和二次根式的运算能力，解题关键是正确识别新运算中对应参数的数值，熟练掌握二次根式的化简方法，细心计算即可得到正确结果。
【难度系数】
0.8
本题是新定义运算类题目，解题思路如下：首先准确理解新运算“◎”的运算规则，明确运算中两个数对应的x、y位置，再将数值代入给定的运算公式，最后按照二次根式的化简及加减运算法则计算即可。
【解析】
根据新运算的定义：$x◎y=\sqrt{3x}-2\sqrt{y}$，在$6◎8$中，$x=6$，$y=8$，代入公式得：
$\begin{aligned}6◎8&=\sqrt{3×6}-2\sqrt{8}\\&=\sqrt{18}-2\sqrt{8}\\&=3\sqrt{2}-2×2\sqrt{2}\\&=3\sqrt{2}-4\sqrt{2}\\&=-\sqrt{2}\end{aligned}$
【答案】
$-\sqrt{2}$
【知识点】
新定义运算，二次根式化简，二次根式的加减
【点评】
本题考查对新运算规则的理解和二次根式的运算能力，解题关键是正确识别新运算中对应参数的数值，熟练掌握二次根式的化简方法，细心计算即可得到正确结果。
【难度系数】
0.8
3. 如图，一次函数 $ y = kx + b $ 的图象与x轴交于点(-2,0)，则关于x的不等式 $ kx + b ≤ 0 $ 的解集为
第3题 第4题
$x≥-2$
。第3题 第4题
答案
$x≥-2$
解析
【分析】
遇到一次函数相关的不等式问题，可采用数形结合的思路分析：不等式$kx+b≤0$的本质是求一次函数$y=kx+b$的函数值小于等于0时对应的x的取值范围，对应几何意义是直线位于x轴下方（含与x轴的交点）的部分对应的x值。首先观察图象走势：该一次函数图象从左上向右下倾斜，说明y随x的增大而减小，已知直线与x轴交点为$(-2,0)$，即$x=-2$时$y=0$，结合增减性即可推出$y≤0$对应的x的范围。
【解析】
不等式$kx+b≤0$等价于一次函数$y=kx+b$的函数值小于等于0，对应图象为直线在x轴下方（包含x轴上的点）的部分。
由图象可知，一次函数$y=kx+b$的y随x的增大而减小，且当$x=-2$时，$y=0$，因此当$x≥-2$时，函数值$y≤0$，即$kx+b≤0$。
【答案】
$x≥-2$
【知识点】
一次函数的图象性质；一次函数与一元一次不等式的关系
【点评】
本题考查数形结合思想的应用，解题核心是理解一元一次不等式和一次函数图象的对应关系，结合函数增减性即可快速得到解集，无需计算函数解析式，是一次函数相关不等式的基础考法。
【难度系数】
0.8
遇到一次函数相关的不等式问题，可采用数形结合的思路分析：不等式$kx+b≤0$的本质是求一次函数$y=kx+b$的函数值小于等于0时对应的x的取值范围，对应几何意义是直线位于x轴下方（含与x轴的交点）的部分对应的x值。首先观察图象走势：该一次函数图象从左上向右下倾斜，说明y随x的增大而减小，已知直线与x轴交点为$(-2,0)$，即$x=-2$时$y=0$，结合增减性即可推出$y≤0$对应的x的范围。
【解析】
不等式$kx+b≤0$等价于一次函数$y=kx+b$的函数值小于等于0，对应图象为直线在x轴下方（包含x轴上的点）的部分。
由图象可知，一次函数$y=kx+b$的y随x的增大而减小，且当$x=-2$时，$y=0$，因此当$x≥-2$时，函数值$y≤0$，即$kx+b≤0$。
【答案】
$x≥-2$
【知识点】
一次函数的图象性质；一次函数与一元一次不等式的关系
【点评】
本题考查数形结合思想的应用，解题核心是理解一元一次不等式和一次函数图象的对应关系，结合函数增减性即可快速得到解集，无需计算函数解析式，是一次函数相关不等式的基础考法。
【难度系数】
0.8
4.如图,在平面直角坐标系中,点A的坐标为(0,8),点C为x轴正半轴上一动点,以OA,OC为边作矩形OABC,点E为线段AB的延长线上一点,且$BE=\frac{1}{2}AB$,D为OB的中点,连接DE交BC于点F,连接CD.当$△ CDF$为等腰三角形时,点B的坐标为
$(4\sqrt{5},8)$或$(8\sqrt{2},8)$
.答案
$(4\sqrt{5},8)$或$(8\sqrt{2},8)$
解析
【分析】
首先根据矩形性质可知点B纵坐标为8，设点C坐标为$(t,0)$，则B坐标为$(t,8)$，先推导E、D两点坐标，再求出直线DE的解析式，得到DE与BC交点F的坐标，进而表示出$△ CDF$三边的长度，最后分三种情况讨论等腰三角形的边长相等关系，解方程求出t的值即可得到点B坐标。
【解析】
设点C的坐标为$(t,0)$（$t＞0$），
∵四边形OABC是矩形，$A(0,8)$，
∴$B(t,8)$，$AB = t$，BC所在直线为$x=t$。
∵$BE=\frac{1}{2}AB$，E在AB延长线上，
∴$BE=\frac{t}{2}$，$E(\frac{3t}{2},8)$。
∵D是OB中点，$O(0,0)$，$B(t,8)$，
∴$D(\frac{t}{2},4)$。
设直线DE的解析式为$y=kx+b$，代入D、E坐标得：
$\begin{cases}\frac{t}{2}k + b =4\\\frac{3t}{2}k + b =8\end{cases}$
两式相减得$kt=4$，即$k=\frac{4}{t}$，代入得$b=2$，
∴直线DE解析式为$y=\frac{4}{t}x + 2$。
将$x=t$代入解析式得$y=6$，即$F(t,6)$，
∴$CF=6-0=6$。
由两点间距离公式得：
$CD=\sqrt{(t-\frac{t}{2})^2 + (0-4)^2}=\sqrt{\frac{t^2}{4}+16}$，
$DF=\sqrt{(t-\frac{t}{2})^2 + (6-4)^2}=\sqrt{\frac{t^2}{4}+4}$。
$△ CDF$为等腰三角形，分三种情况讨论：
1. 若$CD=CF$：
$\sqrt{\frac{t^2}{4}+16}=6$，平方得$\frac{t^2}{4}+16=36$，解得$t=4\sqrt{5}$（负根舍去），此时$B(4\sqrt{5},8)$。
2. 若$CD=DF$：
$\sqrt{\frac{t^2}{4}+16}=\sqrt{\frac{t^2}{4}+4}$，化简得$16=4$，不成立，舍去。
3. 若$CF=DF$：
$6=\sqrt{\frac{t^2}{4}+4}$，平方得$36=\frac{t^2}{4}+4$，解得$t=8\sqrt{2}$（负根舍去），此时$B(8\sqrt{2},8)$。
【答案】
$(4\sqrt{5},8)$或$(8\sqrt{2},8)$
【知识点】
一次函数解析式求解，等腰三角形分类讨论，两点间距离公式
【点评】
本题综合考查矩形性质、一次函数应用和等腰三角形的判定，解题时需先通过设参数表示各点坐标，再结合分类讨论思想分析等腰三角形的三边关系，同时要注意舍去不符合题意的解，对计算能力和逻辑思维能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
首先根据矩形性质可知点B纵坐标为8，设点C坐标为$(t,0)$，则B坐标为$(t,8)$，先推导E、D两点坐标，再求出直线DE的解析式，得到DE与BC交点F的坐标，进而表示出$△ CDF$三边的长度，最后分三种情况讨论等腰三角形的边长相等关系，解方程求出t的值即可得到点B坐标。
【解析】
设点C的坐标为$(t,0)$（$t＞0$），
∵四边形OABC是矩形，$A(0,8)$，
∴$B(t,8)$，$AB = t$，BC所在直线为$x=t$。
∵$BE=\frac{1}{2}AB$，E在AB延长线上，
∴$BE=\frac{t}{2}$，$E(\frac{3t}{2},8)$。
∵D是OB中点，$O(0,0)$，$B(t,8)$，
∴$D(\frac{t}{2},4)$。
设直线DE的解析式为$y=kx+b$，代入D、E坐标得：
$\begin{cases}\frac{t}{2}k + b =4\\\frac{3t}{2}k + b =8\end{cases}$
两式相减得$kt=4$，即$k=\frac{4}{t}$，代入得$b=2$，
∴直线DE解析式为$y=\frac{4}{t}x + 2$。
将$x=t$代入解析式得$y=6$，即$F(t,6)$，
∴$CF=6-0=6$。
由两点间距离公式得：
$CD=\sqrt{(t-\frac{t}{2})^2 + (0-4)^2}=\sqrt{\frac{t^2}{4}+16}$，
$DF=\sqrt{(t-\frac{t}{2})^2 + (6-4)^2}=\sqrt{\frac{t^2}{4}+4}$。
$△ CDF$为等腰三角形，分三种情况讨论：
1. 若$CD=CF$：
$\sqrt{\frac{t^2}{4}+16}=6$，平方得$\frac{t^2}{4}+16=36$，解得$t=4\sqrt{5}$（负根舍去），此时$B(4\sqrt{5},8)$。
2. 若$CD=DF$：
$\sqrt{\frac{t^2}{4}+16}=\sqrt{\frac{t^2}{4}+4}$，化简得$16=4$，不成立，舍去。
3. 若$CF=DF$：
$6=\sqrt{\frac{t^2}{4}+4}$，平方得$36=\frac{t^2}{4}+4$，解得$t=8\sqrt{2}$（负根舍去），此时$B(8\sqrt{2},8)$。
【答案】
$(4\sqrt{5},8)$或$(8\sqrt{2},8)$
【知识点】
一次函数解析式求解，等腰三角形分类讨论，两点间距离公式
【点评】
本题综合考查矩形性质、一次函数应用和等腰三角形的判定，解题时需先通过设参数表示各点坐标，再结合分类讨论思想分析等腰三角形的三边关系，同时要注意舍去不符合题意的解，对计算能力和逻辑思维能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
1. 如图，在$△ ABC$中，点$E$为边$AB$上的一点，连接$CE$，过点$A$作$AF ⊥ AB$，交$CE$的延长线于点$F$，过点$A$作$AD ⊥ CF$，垂足为$D$。已知$AD=7$，$CD=24$，$AB=20$，$BC=15$。
(1)求线段$AC$的长。
(2)求证：$∠ BCE = ∠ DFA$。
(1)求线段$AC$的长。
(2)求证：$∠ BCE = ∠ DFA$。
答案
(1)解:$\because AD ⊥ CF, \therefore ∠ D=90°. \because AD=7, DC=24, \therefore AC=\sqrt{AD^2+CD^2}=\sqrt{7^2+24^2}=25.$
(2)证明:$\because AC=25, AB=20, BC=15, \therefore AB^2+BC^2=20^2+15^2=625, AC^2=25^2=625, \therefore AB^2+BC^2=AC^2, \therefore △ ABC$是直角三角形，且$∠ B=90°, \therefore ∠ BCE + ∠ BEC=90°. \because AF ⊥ AB, \therefore ∠ DFA + ∠ AEF=90°. \because ∠ AEF=∠ BEC, \therefore ∠ BCE=∠ DFA.$
(2)证明:$\because AC=25, AB=20, BC=15, \therefore AB^2+BC^2=20^2+15^2=625, AC^2=25^2=625, \therefore AB^2+BC^2=AC^2, \therefore △ ABC$是直角三角形，且$∠ B=90°, \therefore ∠ BCE + ∠ BEC=90°. \because AF ⊥ AB, \therefore ∠ DFA + ∠ AEF=90°. \because ∠ AEF=∠ BEC, \therefore ∠ BCE=∠ DFA.$
解析
【分析】
(1) 求AC的长：已知AD垂直CF，可得△ADC是直角三角形，且已知两条直角边AD、CD的长度，直接运用勾股定理即可求出斜边AC的长度。
(2) 证明∠BCE=∠DFA：首先结合第一问求出的AC长度，以及已知的AB、BC的长度，用勾股定理的逆定理判断△ABC为直角三角形，得到∠B=90°，可得∠BCE与∠BEC互余；再由AF垂直AB可得∠BAF=90°，即∠DFA与∠AEF互余；最后结合对顶角∠BEC=∠AEF，根据等角的余角相等即可证明结论。
【解析】
(1) 解：$\because AD ⊥ CF$，$\therefore ∠ ADC=90°$，
在$Rt△ ADC$中，$AD=7$，$CD=24$，
由勾股定理得：
$AC=\sqrt{AD^2+CD^2}=\sqrt{7^2+24^2}=\sqrt{49+576}=\sqrt{625}=25$。
(2) 证明：已知$AC=25$，$AB=20$，$BC=15$，
计算得：$AB^2+BC^2=20^2+15^2=400+225=625$，$AC^2=25^2=625$，
$\therefore AB^2+BC^2=AC^2$，
$\therefore △ ABC$是直角三角形，且$∠ B=90°$，
$\therefore ∠ BCE + ∠ BEC = 90°$。
$\because AF ⊥ AB$，$\therefore ∠ BAF=90°$，
$\therefore ∠ DFA + ∠ AEF = 90°$。
又$\because ∠ BEC=∠ AEF$（对顶角相等），
$\therefore ∠ BCE=∠ DFA$（等角的余角相等）。
【答案】
(1) $AC=25$
(2) $∠ BCE = ∠ DFA$，证明成立。
【知识点】
勾股定理；勾股定理的逆定理；等角的余角相等
【点评】
本题是几何基础综合题，解题时需要先从已知直角三角形入手求出关键边AC的长度，再通过边长关系判定直角三角形，结合角的互余关系和对顶角性质完成证明，侧重考查基础几何定理的综合运用能力。
【难度系数】
0.7
(1) 求AC的长：已知AD垂直CF，可得△ADC是直角三角形，且已知两条直角边AD、CD的长度，直接运用勾股定理即可求出斜边AC的长度。
(2) 证明∠BCE=∠DFA：首先结合第一问求出的AC长度，以及已知的AB、BC的长度，用勾股定理的逆定理判断△ABC为直角三角形，得到∠B=90°，可得∠BCE与∠BEC互余；再由AF垂直AB可得∠BAF=90°，即∠DFA与∠AEF互余；最后结合对顶角∠BEC=∠AEF，根据等角的余角相等即可证明结论。
【解析】
(1) 解：$\because AD ⊥ CF$，$\therefore ∠ ADC=90°$，
在$Rt△ ADC$中，$AD=7$，$CD=24$，
由勾股定理得：
$AC=\sqrt{AD^2+CD^2}=\sqrt{7^2+24^2}=\sqrt{49+576}=\sqrt{625}=25$。
(2) 证明：已知$AC=25$，$AB=20$，$BC=15$，
计算得：$AB^2+BC^2=20^2+15^2=400+225=625$，$AC^2=25^2=625$，
$\therefore AB^2+BC^2=AC^2$，
$\therefore △ ABC$是直角三角形，且$∠ B=90°$，
$\therefore ∠ BCE + ∠ BEC = 90°$。
$\because AF ⊥ AB$，$\therefore ∠ BAF=90°$，
$\therefore ∠ DFA + ∠ AEF = 90°$。
又$\because ∠ BEC=∠ AEF$（对顶角相等），
$\therefore ∠ BCE=∠ DFA$（等角的余角相等）。
【答案】
(1) $AC=25$
(2) $∠ BCE = ∠ DFA$，证明成立。
【知识点】
勾股定理；勾股定理的逆定理；等角的余角相等
【点评】
本题是几何基础综合题，解题时需要先从已知直角三角形入手求出关键边AC的长度，再通过边长关系判定直角三角形，结合角的互余关系和对顶角性质完成证明，侧重考查基础几何定理的综合运用能力。
【难度系数】
0.7
