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11. 定义:我们把一次函数 $y=kx+b(k≠0)$ 与正比例函数 $y=-x$ 的交点称为一次函数 $y=kx+b(k≠0)$ 的“亮点”. 例如求 $y=-2x-1$ 的“亮点”, 可联立方程组 $\begin{cases} y=-2x-1, \\ y=-x, \end{cases}$ 解得 $\begin{cases} x=-1, \\ y=1, \end{cases}$ 则 $y=-2x-1$ 的“亮点”为 $(-1,1)$. 由定义可知,一次函数 $y=3x-2$ 的“亮点”为 $(\quad)$
A.$(-\dfrac{1}{2},\dfrac{1}{2})$
B.$(\dfrac{1}{2},-\dfrac{1}{2})$
C.$(\dfrac{1}{2},\dfrac{1}{2})$
D.$(-\dfrac{1}{2},-\dfrac{1}{2})$
A.$(-\dfrac{1}{2},\dfrac{1}{2})$
B.$(\dfrac{1}{2},-\dfrac{1}{2})$
C.$(\dfrac{1}{2},\dfrac{1}{2})$
D.$(-\dfrac{1}{2},-\dfrac{1}{2})$
答案
B
解析
【分析】
本题是新定义类题目，解题首先要准确理解“亮点”的含义：一次函数的“亮点”就是该一次函数与正比例函数$y=-x$的交点。求两个函数的交点坐标，只需联立两个函数的解析式得到二元一次方程组，解出方程组的解就是交点坐标。具体思路：先联立$y=3x-2$和$y=-x$，再用代入消元法求解方程组，最后匹配选项即可得到答案。
【解析】
根据“亮点”的定义，联立一次函数$y=3x-2$与正比例函数$y=-x$，得到方程组：
$\begin{cases} y=3x-2 \\ y=-x \end{cases}$
将$y=-x$代入$y=3x-2$，可得：
$-x=3x-2$
移项合并同类项得：$-4x=-2$
解得：$x=\dfrac{1}{2}$
把$x=\dfrac{1}{2}$代入$y=-x$，得$y=-\dfrac{1}{2}$
因此一次函数$y=3x-2$的“亮点”为$(\dfrac{1}{2},-\dfrac{1}{2})$。
【答案】B
【知识点】新定义问题；一次函数交点求解；二元一次方程组解法
【点评】本题属于基础的新定义应用类题目，核心是将陌生的新定义转化为已学的一次函数求交点、解方程组的常规问题，只要读懂定义、掌握基础运算就能顺利解答。
【难度系数】0.8
本题是新定义类题目，解题首先要准确理解“亮点”的含义：一次函数的“亮点”就是该一次函数与正比例函数$y=-x$的交点。求两个函数的交点坐标，只需联立两个函数的解析式得到二元一次方程组，解出方程组的解就是交点坐标。具体思路：先联立$y=3x-2$和$y=-x$，再用代入消元法求解方程组，最后匹配选项即可得到答案。
【解析】
根据“亮点”的定义，联立一次函数$y=3x-2$与正比例函数$y=-x$，得到方程组：
$\begin{cases} y=3x-2 \\ y=-x \end{cases}$
将$y=-x$代入$y=3x-2$，可得：
$-x=3x-2$
移项合并同类项得：$-4x=-2$
解得：$x=\dfrac{1}{2}$
把$x=\dfrac{1}{2}$代入$y=-x$，得$y=-\dfrac{1}{2}$
因此一次函数$y=3x-2$的“亮点”为$(\dfrac{1}{2},-\dfrac{1}{2})$。
【答案】B
【知识点】新定义问题；一次函数交点求解；二元一次方程组解法
【点评】本题属于基础的新定义应用类题目，核心是将陌生的新定义转化为已学的一次函数求交点、解方程组的常规问题，只要读懂定义、掌握基础运算就能顺利解答。
【难度系数】0.8
12.如图,在菱形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,点E为CD的中点.若OE=4,则菱形ABCD的周长为 (
A.48
B.32
C.24
D.16
B
)A.48
B.32
C.24
D.16
答案
B
解析
【分析】
要计算菱形的周长，首先需要求出菱形的边长，结合已知条件有两种思考方向：①利用菱形对角线互相垂直的性质，可得△COD是直角三角形，再根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半，即可求出边长CD；②利用菱形对角线互相平分可知O是BD中点，结合E是CD中点，可得OE是△BCD的中位线，根据中位线定理也可求出边长BC，再结合菱形四条边相等的性质计算周长即可。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，对角线互相平分，且AB=BC=CD=DA，
∴O为BD的中点，
又
∵E为CD的中点，
∴OE是△BCD的中位线（也可理解为Rt△COD斜边CD的中线），
∴BC=2OE=2×4=8，
∴菱形ABCD的周长=4×BC=4×8=32。
【答案】
B
【知识点】
菱形的性质；三角形中位线定理；直角三角形斜边中线性质
【点评】
本题属于基础几何综合题，解题的核心是结合图形特征，灵活运用菱形的性质和三角形相关定理求出菱形的边长，熟练掌握相关性质定理即可快速解题。
【难度系数】
0.75
要计算菱形的周长，首先需要求出菱形的边长，结合已知条件有两种思考方向：①利用菱形对角线互相垂直的性质，可得△COD是直角三角形，再根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半，即可求出边长CD；②利用菱形对角线互相平分可知O是BD中点，结合E是CD中点，可得OE是△BCD的中位线，根据中位线定理也可求出边长BC，再结合菱形四条边相等的性质计算周长即可。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，对角线互相平分，且AB=BC=CD=DA，
∴O为BD的中点，
又
∵E为CD的中点，
∴OE是△BCD的中位线（也可理解为Rt△COD斜边CD的中线），
∴BC=2OE=2×4=8，
∴菱形ABCD的周长=4×BC=4×8=32。
【答案】
B
【知识点】
菱形的性质；三角形中位线定理；直角三角形斜边中线性质
【点评】
本题属于基础几何综合题，解题的核心是结合图形特征，灵活运用菱形的性质和三角形相关定理求出菱形的边长，熟练掌握相关性质定理即可快速解题。
【难度系数】
0.75
13.在同一平面直角坐标系中,一次函数$y_1=ax+b$和$y_2=abx-b$的图象可能是（
C
）答案
C
解析
【分析】
要判断两个一次函数的图象是否匹配，需结合一次函数的图象性质：一次函数y=kx+c中，k的符号决定直线的倾斜方向（k＞0时直线上升，k＜0时直线下降），c的符号决定直线与y轴的交点位置（c＞0时交于y轴正半轴，c＜0时交于y轴负半轴）。我们可以先从其中一个函数的图象推导系数的符号，再验证另一个函数的图象是否符合系数对应的性质，逐一排除错误选项即可。
【解析】
对于一次函数$y_1=ax+b$，斜率为$a$，与$y$轴截距为$b$；对于$y_2=abx-b$，斜率为$ab$，与$y$轴截距为$-b$，逐一分析选项：
选项A：由$y_1$图象可知，直线下降得$a＜0$，交$y$轴正半轴得$b＞0$，因此$ab＜0$，则$y_2$的斜率应为负、直线应下降，但选项中$y_2$为上升直线，矛盾，排除A；
选项B：由$y_1$图象可知，直线上升得$a＞0$，交$y$轴正半轴得$b＞0$，因此$ab＞0$，则$y_2$的斜率应为正、直线应上升，但选项中$y_2$为下降直线，矛盾，排除B；
选项C：由$y_1$图象可知，直线上升得$a＞0$，交$y$轴负半轴得$b＜0$，因此$ab＜0$，$-b＞0$，即$y_2$应为下降直线、且交$y$轴正半轴，与选项中$y_2$的图象一致，符合要求；
选项D：由$y_1$图象可知，直线上升得$a＞0$，交$y$轴负半轴得$b＜0$，因此$-b＞0$，即$y_2$应交于$y$轴正半轴，但选项中$y_2$交$y$轴负半轴，矛盾，排除D。
【答案】
C
【知识点】
一次函数的图象与性质；一次函数系数的几何意义
【点评】
本题是一次函数图象类的典型题型，解题核心是掌握一次函数的斜率、截距和图象特征的对应关系，通过“先确定一个函数的系数符号，再验证另一个函数”的方法即可快速求解。
【难度系数】
0.7
要判断两个一次函数的图象是否匹配，需结合一次函数的图象性质：一次函数y=kx+c中，k的符号决定直线的倾斜方向（k＞0时直线上升，k＜0时直线下降），c的符号决定直线与y轴的交点位置（c＞0时交于y轴正半轴，c＜0时交于y轴负半轴）。我们可以先从其中一个函数的图象推导系数的符号，再验证另一个函数的图象是否符合系数对应的性质，逐一排除错误选项即可。
【解析】
对于一次函数$y_1=ax+b$，斜率为$a$，与$y$轴截距为$b$；对于$y_2=abx-b$，斜率为$ab$，与$y$轴截距为$-b$，逐一分析选项：
选项A：由$y_1$图象可知，直线下降得$a＜0$，交$y$轴正半轴得$b＞0$，因此$ab＜0$，则$y_2$的斜率应为负、直线应下降，但选项中$y_2$为上升直线，矛盾，排除A；
选项B：由$y_1$图象可知，直线上升得$a＞0$，交$y$轴正半轴得$b＞0$，因此$ab＞0$，则$y_2$的斜率应为正、直线应上升，但选项中$y_2$为下降直线，矛盾，排除B；
选项C：由$y_1$图象可知，直线上升得$a＞0$，交$y$轴负半轴得$b＜0$，因此$ab＜0$，$-b＞0$，即$y_2$应为下降直线、且交$y$轴正半轴，与选项中$y_2$的图象一致，符合要求；
选项D：由$y_1$图象可知，直线上升得$a＞0$，交$y$轴负半轴得$b＜0$，因此$-b＞0$，即$y_2$应交于$y$轴正半轴，但选项中$y_2$交$y$轴负半轴，矛盾，排除D。
【答案】
C
【知识点】
一次函数的图象与性质；一次函数系数的几何意义
【点评】
本题是一次函数图象类的典型题型，解题核心是掌握一次函数的斜率、截距和图象特征的对应关系，通过“先确定一个函数的系数符号，再验证另一个函数”的方法即可快速求解。
【难度系数】
0.7
14.如图,等腰$\mathrm{Rt}△ ABC$的腰长为6,D,E,F分别是三边AB,AC,BC的中点,则阴影部分的面积为（
A.9
B.18
C.12
D.6
A
）A.9
B.18
C.12
D.6
答案
A
解析
【分析】
本题要求等腰直角三角形内阴影部分的面积，解题思路清晰：第一步先根据等腰直角三角形的腰长计算出大三角形的总面积；第二步结合三角形中位线定理，得到各中点分割出的小线段的长度；第三步既可以分别计算各块阴影面积相加，也可以通过等积变换简化计算，快速得到阴影总面积。
【解析】
解：
∵$\mathrm{Rt}△ABC$是等腰直角三角形，腰长为6，且$∠ B=90°$，
∴大三角形面积$S_{△ABC}=\frac{1}{2}× AB× BC=\frac{1}{2}×6×6=18$。
∵D、E、F分别是AB、AC、BC的中点，
∴DE、EF均为$△ABC$的中位线，
可得$DE=\frac{1}{2}BC=3$，$EF=\frac{1}{2}AB=3$，$AD=DB=3$，$BF=FC=3$。
其中$△ADE$为等腰直角三角形，面积$S_{△ADE}=\frac{1}{2}× AD× DE=\frac{1}{2}×3×3=4.5$；
剩余阴影部分通过等积变换，面积等于$△DBF$的面积，$S_{△DBF}=\frac{1}{2}× DB× BF=\frac{1}{2}×3×3=4.5$；
因此阴影部分总面积为$4.5+4.5=9$。
【答案】
A
【知识点】
等腰直角三角形性质，三角形中位线定理，三角形面积计算
【点评】
本题解法灵活，既可以分步计算各阴影面积求和，也可以通过割补法直接得到阴影面积和大三角形面积的关系，侧重考查对中位线性质的运用和面积计算能力。
【难度系数】
0.7
本题要求等腰直角三角形内阴影部分的面积，解题思路清晰：第一步先根据等腰直角三角形的腰长计算出大三角形的总面积；第二步结合三角形中位线定理，得到各中点分割出的小线段的长度；第三步既可以分别计算各块阴影面积相加，也可以通过等积变换简化计算，快速得到阴影总面积。
【解析】
解：
∵$\mathrm{Rt}△ABC$是等腰直角三角形，腰长为6，且$∠ B=90°$，
∴大三角形面积$S_{△ABC}=\frac{1}{2}× AB× BC=\frac{1}{2}×6×6=18$。
∵D、E、F分别是AB、AC、BC的中点，
∴DE、EF均为$△ABC$的中位线，
可得$DE=\frac{1}{2}BC=3$，$EF=\frac{1}{2}AB=3$，$AD=DB=3$，$BF=FC=3$。
其中$△ADE$为等腰直角三角形，面积$S_{△ADE}=\frac{1}{2}× AD× DE=\frac{1}{2}×3×3=4.5$；
剩余阴影部分通过等积变换，面积等于$△DBF$的面积，$S_{△DBF}=\frac{1}{2}× DB× BF=\frac{1}{2}×3×3=4.5$；
因此阴影部分总面积为$4.5+4.5=9$。
【答案】
A
【知识点】
等腰直角三角形性质，三角形中位线定理，三角形面积计算
【点评】
本题解法灵活，既可以分步计算各阴影面积求和，也可以通过割补法直接得到阴影面积和大三角形面积的关系，侧重考查对中位线性质的运用和面积计算能力。
【难度系数】
0.7
15. 如图，在四边形ABCD(∠A＜∠ABC)中，AB=BC=CD=DA，E是对角线BD的中点，点F从点D出发，沿D→A→B方向匀速运动，到达点B后停止。设点F的运动路程为x，△DEF的面积为y，得到如图所示的函数图象，则对角线BD的长为 (
A.43
B.$4\sqrt{5}$
C.$8\sqrt{5}$
D.$3\sqrt{3}$
B
)A.43
B.$4\sqrt{5}$
C.$8\sqrt{5}$
D.$3\sqrt{3}$
答案
B
解析
【分析】
首先根据四边相等判定四边形ABCD是菱形，再结合函数图像判断出点F运动到A点时△DEF面积最大，由此得到菱形边长AD的长度和△ADE的面积；再利用中点性质推出△ABD的面积，接着通过作高构造直角三角形，结合面积公式和勾股定理列方程求解BD的长度，最后根据∠A＜∠ABC的条件选择较短的对角线即可。
【解析】
解：
∵AB=BC=CD=DA，
∴四边形ABCD是菱形，
∴AD=AB。
由函数图象可知，当x=10时y取得最大值20，说明此时点F运动到点A，因此AD=10，且此时S△ADE=20。
∵E是BD的中点，△ADE和△ABE等底同高，
∴S△ABD=2S△ADE=2×20=40。
过点A作AH⊥BD于点H，设BD=m，则DH=½m。
由三角形面积公式得：S△ABD=½×BD×AH=40，即½×m×AH=40，解得AH=80/m。
在Rt△AHD中，根据勾股定理：AH²+DH²=AD²，代入得：
$(\frac{80}{m})^2+(\frac{m}{2})^2=10^2$
令$u=m^2$，整理方程得：$u^2-400u+25600=0$
解得$u_1=80$，$u_2=320$，对应$m_1=\sqrt{80}=4\sqrt{5}$，$m_2=\sqrt{320}=8\sqrt{5}$。
∵∠A＜∠ABC，且菱形中∠A+∠ABC=180°，
∴∠A＜90°，∠A对应的对角线BD为较短对角线，故BD=$4\sqrt{5}$。
【答案】B
【知识点】
菱形的判定与性质，勾股定理，动点函数图象分析
【点评】
本题将动点问题与函数图象、菱形性质结合，需要学生从图象中提取有效信息，再结合几何性质列方程求解，同时要注意根据角的大小关系筛选符合条件的解，对综合分析能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
首先根据四边相等判定四边形ABCD是菱形，再结合函数图像判断出点F运动到A点时△DEF面积最大，由此得到菱形边长AD的长度和△ADE的面积；再利用中点性质推出△ABD的面积，接着通过作高构造直角三角形，结合面积公式和勾股定理列方程求解BD的长度，最后根据∠A＜∠ABC的条件选择较短的对角线即可。
【解析】
解：
∵AB=BC=CD=DA，
∴四边形ABCD是菱形，
∴AD=AB。
由函数图象可知，当x=10时y取得最大值20，说明此时点F运动到点A，因此AD=10，且此时S△ADE=20。
∵E是BD的中点，△ADE和△ABE等底同高，
∴S△ABD=2S△ADE=2×20=40。
过点A作AH⊥BD于点H，设BD=m，则DH=½m。
由三角形面积公式得：S△ABD=½×BD×AH=40，即½×m×AH=40，解得AH=80/m。
在Rt△AHD中，根据勾股定理：AH²+DH²=AD²，代入得：
$(\frac{80}{m})^2+(\frac{m}{2})^2=10^2$
令$u=m^2$，整理方程得：$u^2-400u+25600=0$
解得$u_1=80$，$u_2=320$，对应$m_1=\sqrt{80}=4\sqrt{5}$，$m_2=\sqrt{320}=8\sqrt{5}$。
∵∠A＜∠ABC，且菱形中∠A+∠ABC=180°，
∴∠A＜90°，∠A对应的对角线BD为较短对角线，故BD=$4\sqrt{5}$。
【答案】B
【知识点】
菱形的判定与性质，勾股定理，动点函数图象分析
【点评】
本题将动点问题与函数图象、菱形性质结合，需要学生从图象中提取有效信息，再结合几何性质列方程求解，同时要注意根据角的大小关系筛选符合条件的解，对综合分析能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
1. 云南某火龙果种植基地用先进的灯光补给系统模拟不同时段的太阳光波，以专门给火龙果补光催花，促进火龙果的光合作用.技术员随机从甲、乙、丙、丁四个品种的火龙果树中各选50棵，每个品种产量(单位:kg)的平均数$\bar{x}$及方差$s^2$如下表所示.种植基地准备从这四个品种中选出一种产量既高又稳定的火龙果树进行种植，则应选的品种是
甲
.答案
甲
解析
【分析】
要选出产量既高又稳定的品种，需结合平均数和方差两个统计量判断：首先看平均数，平均数越大代表平均产量越高；再看方差，方差越小代表产量波动越小、越稳定。解题时先比较四个品种的平均数，筛选出平均产量高的品种，再在筛选出的品种中比较方差，找方差最小的即可。
【解析】
第一步：比较四个品种的平均产量
由表格可知：$\bar{x}_甲=\bar{x}_乙=25$，$\bar{x}_丙=23$，$\bar{x}_丁=22$，即$\bar{x}_甲=\bar{x}_乙＞\bar{x}_丙＞\bar{x}_丁$，因此甲、乙两个品种的平均产量更高，先排除丙、丁。
第二步：比较甲、乙品种的产量稳定性
方差越小，数据波动越小，产量越稳定。由表格可知：$s^2_甲=1.5$，$s^2_乙=1.6$，即$s^2_甲＜s^2_乙$，因此甲品种的产量更稳定。
综上，甲品种产量既高又稳定，应选甲。
【答案】
甲
【知识点】
平均数，方差，统计量应用
【点评】
本题结合农业生产实际考查统计量的应用，解题的核心是明确平均数反映数据的平均水平、方差反映数据的波动程度，根据实际需求结合两个统计量的意义判断即可。
【难度系数】
0.8
要选出产量既高又稳定的品种，需结合平均数和方差两个统计量判断：首先看平均数，平均数越大代表平均产量越高；再看方差，方差越小代表产量波动越小、越稳定。解题时先比较四个品种的平均数，筛选出平均产量高的品种，再在筛选出的品种中比较方差，找方差最小的即可。
【解析】
第一步：比较四个品种的平均产量
由表格可知：$\bar{x}_甲=\bar{x}_乙=25$，$\bar{x}_丙=23$，$\bar{x}_丁=22$，即$\bar{x}_甲=\bar{x}_乙＞\bar{x}_丙＞\bar{x}_丁$，因此甲、乙两个品种的平均产量更高，先排除丙、丁。
第二步：比较甲、乙品种的产量稳定性
方差越小，数据波动越小，产量越稳定。由表格可知：$s^2_甲=1.5$，$s^2_乙=1.6$，即$s^2_甲＜s^2_乙$，因此甲品种的产量更稳定。
综上，甲品种产量既高又稳定，应选甲。
【答案】
甲
【知识点】
平均数，方差，统计量应用
【点评】
本题结合农业生产实际考查统计量的应用，解题的核心是明确平均数反映数据的平均水平、方差反映数据的波动程度，根据实际需求结合两个统计量的意义判断即可。
【难度系数】
0.8
