1.若$P=\{(1,2),(1,3)\}$，则集合$P$中元素的个数是（）

A.1
B.2
C.3
D.4

1.B 集合$P$中的元素为有序数对，即元素$(1,2)$和$(1,3)$，共2个。

2.(教材改编题)将集合$A=\{x|x^2 - 3x + 2 = 0\}$用另一种方法表示为 （）

A.1,2
B.$(1,2)$
C.$\{1,2\}$
D.$\{(1,2)\}$

2.C 解方程$x^2-3x+2=0$，得$x=1$或$x=2$，所以$A=\{1,2\}$。

3.2 025是一个特殊的数字，它是完全平方数，
若集合$\{x\in\mathbf{N}|x^2＜2025\}$中的最大数为$M$，
集合$\{x\in\mathbf{N}|x^2＞2025\}$中的最小数为$N$，则
$M+N=$ （）

A.90
B.100
C.180
D.4 050

3.A 因为集合$\{x\in\mathbf{N}|x^2＜2025\}$中的最大数为$M$，集合$\{x\in\mathbf{N}|x^2＞2025\}$中的最小数为$N$，且$45^2=2025$，$44^2=1936$，$46^2=2116$，所以$M=44$，$N=46$，所以$M+N=90$。

4.(多选)下列说法不正确的是 ()

A.集合$\{x\in\mathbf{N}|x^3=x\}$用列举法表示为$\{0,1\}$
B.实数集可以表示为$\{x|x$为所有实数$\}$或$\{\mathbf{R}\}$
C.方程组$\begin{cases}x+y=0,\\x-y=-1\end{cases}$的解组成的集合为$\{x=-\dfrac{1}{2},y=\dfrac{1}{2}\}$
D.集合$\{y|y=x^2\}$与$\{(x,y)|y=x^2\}$是同一个集合

4.BCD 由$x^3=x$，得$x(x^2-1)=0$，解得$x=0$或$x=\pm1$。因为$x\in\mathbf{N}$(自然数集)，所以$x=0$或$x=1$，所以用列举法表示为$\{0,1\}$，故A正确，不符合题意。
$\mathbf{R}$就表示实数集，实数集用$\{\mathbf{R}\}$表示错误，另外花括号具有“所有”的含义，描述内容中不能再出现“所有”，所以应表示为$\{x|x为实数\}$或$\{实数\}$，故B错误，符合题意。
方程组的解集应写成有序数对的形式，应为$\{(-\frac{1}{2},\frac{1}{2})\}$，故C错误，符合题意。
集合$\{y|y=x^2\}$为$y$的取值集合，为数集，而集合$\{(x,y)|y=x^2\}$为函数$y=x^2$图象上的点的集合，二者不是同一个集合，故D错误，符合题意。

5.用列举法表示10以内的所有素数组成的集合为。

5.$\{2,3,5,7\}$ 素数也称质数，是除了1和它本身外没有其他约数的正整数，且规定1既不是素数，也不是合数，所以10以内的所有素数组成的集合为$\{2,3,5,7\}$。

6.集合$\{ y\in \mathbf{Z} ∣ y=\dfrac{4}{x+3}, x\in \mathbf{Z} \}$中的元素个数为。

6.6 因为$y\in\mathbf{Z}$，即$\frac{4}{x+3}\in\mathbf{Z}$，且$x\in\mathbf{Z}$，所以$x+3$的取值可能为$\pm1,\pm2,\pm4$，分别代入，得$y=\pm4,\pm2,\pm1$，所以集合中的元素个数为6。

7.用适当的方法表示下列集合：
(1)大于2且小于5的有理数组成的集合为；
(2)24的正因数组成的集合为；
(3)自然数的平方组成的集合为；
(4)由0,1,2这三个数字中的一部分或全部(没有重复)所组成的一切自然数构成的集合为。

7.(1)$\{x\in\mathbf{Q}|2＜x＜5\}$
(2)$\{1,2,3,4,6,8,12,24\}$
(3)$\{x|x=n^2,n\in\mathbf{N}\}$
(4)$\{0,1,2,10,12,20,21,102,120,201,210\}$

8.已知实数$x,y$满足$x^2 + y^2 = 2x - k$，集合$A=\{(x,y)\}$.若$k=1$，试用列举法表示集合$A$.

8.解:因为$k=1$,所以$x^2+y^2=2x-1$,即$(x-1)^2+y^2=0$,所以$\begin{cases}(x-1)^2=0, \\y^2=0,\end{cases}$解得$\begin{cases}x=1, \\y=0.\end{cases}$故集合$A=\{(1,0)\}$。

9.设集合$A=\{x|4x-2＜m\}$，若$2\in A$且$3∉ A$，则实数$m$的取值范围是（）

A.$\{m|6＜m＜10\}$
B.$\{m|6≤ m＜10\}$
C.$\{m|6≤ m≤10\}$
D.$\{m|6＜m≤10\}$

9.D 由题意，得$\begin{cases}4×2-2＜m, \\4×3-2≥ m,\end{cases}$解得$6＜m≤10$。故实数$m$的取值范围是$\{m|6＜m≤10\}$。

10.已知$ n $为正整数，记$ I_n = \{1,2,3,···,n\} $，$ P_n = \{ \frac{m}{\sqrt{k}} ∣ m \in I_n, k \in I_n \} $。则用列举法表示集合$ P_3 $为。

10.$\{1,\frac{\sqrt{2}}{2},\frac{\sqrt{3}}{3},2,\sqrt{2},\frac{2\sqrt{3}}{3},3,\frac{3\sqrt{2}}{2},\sqrt{3}\}$ 已知$I_n=\{1,2,3,\dots,n\}$，当$n=3$时，$I_3=\{1,2,3\}$。
对于$P_3=\{\frac{m}{\sqrt{k}}∣ m\in I_3,k\in I_3\}$，
当$k=1,m=1$时，$\frac{m}{\sqrt{k}}=1$；
当$k=1,m=2$时，$\frac{m}{\sqrt{k}}=2$；
当$k=1,m=3$时，$\frac{m}{\sqrt{k}}=3$；
当$k=2,m=1$时，$\frac{m}{\sqrt{k}}=\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$；
当$k=2,m=2$时，$\frac{m}{\sqrt{k}}=\sqrt{2}$；
当$k=2,m=3$时，$\frac{m}{\sqrt{k}}=\frac{3}{\sqrt{2}}=\frac{3\sqrt{2}}{2}$；
当$k=3,m=1$时，$\frac{m}{\sqrt{k}}=\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}$；
当$k=3,m=2$时，$\frac{m}{\sqrt{k}}=\frac{2}{\sqrt{3}}=\frac{2\sqrt{3}}{3}$；
当$k=3,m=3$时，$\frac{m}{\sqrt{k}}=\sqrt{3}$。
综上，$P_3=\{1,\frac{\sqrt{2}}{2},\frac{\sqrt{3}}{3},2,\sqrt{2},\frac{2\sqrt{3}}{3},3,\frac{3\sqrt{2}}{2},\sqrt{3}\}$。

11.(一题多解)已知集合$A=\{x|x^2+px+q=x\}$，集合$B=\{x|(x-1)^2+p(x-1)+q=x+3\}$，当$A=\{2\}$时，求集合$B$。
(提示:第1步:由集合$A=\{x|x^2+px+q=x\}=\{2\}$，得出方程有两个相等的实数根，即$x_1=x_2=2$，根据韦达定理(方法1)或根的判别式(方法2)列方程组求得$p,q$的值；第2步:将$p,q$的值代入集合$B$，解方程，并用列举法表示集合$B)$

11.解:因为集合$A=\{x|x^2+px+q=x\}=\{2\}$，所以方程$x^2+(p-1)x+q=0$有两个相等的实数根，即$x_1=x_2=2$。
方法1:由韦达定理，得$\begin{cases}2+2=-(p-1), \\2×2=q,\end{cases}$解得$\begin{cases}p=-3, \\q=4,\end{cases}$所以集合$B=\{x|(x-1)^2+p(x-1)+q=x+3\}=\{x|x^2-6x+5=0\}$。
由$x^2-6x+5=0$，得$(x-1)(x-5)=0$，解得$x=1$或$x=5$，故集合$B=\{1,5\}$。
方法2:易得$\Delta=0$，所以$\begin{cases}(p-1)^2-4q=0,① \\4+2(p-1)+q=0.②\end{cases}$
由②，得$q=-2p-2$。把$q=-2p-2$代入①，得$p^2+6p+9=0$，
解得$p=-3$，所以$\begin{cases}p=-3, \\q=4,\end{cases}$
所以集合$B=\{x|(x-1)^2+p(x-1)+q=x+3\}=\{x|x^2-6x+5=0\}$。
由$x^2-6x+5=0$，得$(x-1)(x-5)=0$，解得$x=1$或$x=5$，故集合$B=\{1,5\}$。