【典例2】用列举法表示集合$M = \{ m \in \mathbf{Z} ∣ \frac{10}{m+2} \in \mathbf{N} \} = \_\_\_\_\_\_$。
解题指导 由“$\frac{10}{m+2} \in \mathbf{N}, m \in \mathbf{Z}$”得出$m+2$为10的正因数，进而列出等式，求得$m$。
解析 根据题意，得$m+2=1,2,5,10$，
解得$m=-1,0,3,8$，
故集合$M$用列举法表示为$\{-1,0,3,8\}$。
答案 $\{-1,0,3,8\}$

解：
由题意可知，$m \in \mathbf{Z}$，且$\frac{10}{m+2} \in \mathbf{N}$，因此$m+2$是10的正因数。
10的所有正因数为1,2,5,10，分别令$m+2$取上述值：
当$m+2=1$时，解得$m=-1$；
当$m+2=2$时，解得$m=0$；
当$m+2=5$时，解得$m=3$；
当$m+2=10$时，解得$m=8$。
故$M=\{-1,0,3,8\}$。

【变式1】由大于－1、不大于11且除以3余2的全体整数组成的集合用描述法表示为，用列举法表示为。

描述法：$\{x|x=3n+2,n\in\mathbf{N},-1＜x≤11\}$(答案不唯一)，列举法：$\{2,5,8,11\}$

【变式2】（多选）集合$A=\{x\in\mathbf{N}\left|\frac{6}{3-x}\in\mathbf{N} \}$，
集合A还可以表示为 （）

A.$\{3,6\}$
B.$\{x|x(x^2-3x+2)=0\}$
C.$\{0,1,2\}$
D.$\{x\in\mathbf{N}|-1≤ x＜3\}$

BCD 集合$A=\{x\in\mathbf{N}\left|\frac{6}{3-x}\in\mathbf{N}\} =\{0,1,2\}$，故A不符合题意，C符合题意；$\{x ∣ x(x^2-3x+2)=0\}=\{x ∣ x(x-1)(x-2)=0\}=\{0,1,2\}$，故B符合题意；$\{x\in\mathbf{N}|-1≤ x＜3\}=\{0,1,2\}$，故D符合题意。

【典例3】已知集合$A=\{x\in\mathbf{R}|ax^2 - 2x + 2=0,a\in\mathbf{R}\}$，若集合$A$中只有一个元素，求出$a$的值，并求出集合$A$.
解题指导 第1步:因为方程的二次项系数含参数$a$,所以需按方程是一元一次方程和一元二次方程进行分类讨论,即讨论$a=0$和$a≠0$两种情况.
第2步:每种情况下,根据集合$A$中只有一个元素,进行检验或列出含参方程.
第3步:求得参数$a$,代入原集合求得集合$A$.
答案 解:①当$a=0$时,集合$A=\{x\in\mathbf{R}|-2x+2=0\}=\{1\}$,符合题意;
②当$a≠0$时,令$\Delta=0$,即$4-8a=0$,
解得$a=\frac{1}{2}$,此时集合$A=\{2\}$,符合题意.
综上所述,$a$的值为$0$或$\frac{1}{2}$.当$a=0$时,集合$A=\{1\}$;当$a=\frac{1}{2}$时,集合$A=\{2\}$.

解：
①当$a=0$时，方程$ax^2-2x+2=0$为一元一次方程$-2x+2=0$，
解得$x=1$，此时$A=\{x\in\mathbf{R}∣ -2x+2=0\}=\{1\}$，满足集合$A$中只有一个元素的条件；
②当$a≠0$时，方程$ax^2-2x+2=0$为一元二次方程，若集合$A$中只有一个元素，则方程有两个相等的实数根，即判别式$\Delta=0$。
由$\Delta=(-2)^2 - 4· a· 2=4-8a=0$，
解得$a=\frac{1}{2}$，代入原方程可得$\frac{1}{2}x^2-2x+2=0$，解得$x=2$，此时$A=\{2\}$，符合题意。
综上，$a$的值为$0$或$\frac{1}{2}$；当$a=0$时，$A=\{1\}$，当$a=\frac{1}{2}$时，$A=\{2\}$。

【变式3】已知集合$A=\{x\in\mathbf{R}|mx^2 - 2x + 3 = 0,m\in\mathbf{R}\}$，若集合$A$中至多有一个元素，则$m$的取值范围为。
提示：取值范围常用集合表示。

$\{m ∣ m=0或m≥\frac{1}{3}\}$ ①当$m=0$时，方程为$-2x+3=0$，解得$x=\frac{3}{2}$，符合题意。(注意：当$m=0$时，方程是一元一次方程，只有1个解)②当$m≠0$时，方程$mx^2-2x+3=0$为一元二次方程。令$\Delta=4-12m≤0$，解得$m≥\frac{1}{3}$，即当$m≥\frac{1}{3}$时，方程$mx^2-2x+3=0$无实数根或有两个相等的实数根，符合题意。
综上所述，$m$的取值范围为$\{m ∣ m=0或m≥\frac{1}{3}\}$。