【学以致用1】(1)已知集合$M=\{x\in\mathbf{N}|x-2＜0\}$，则（）
A.$0∉ M$
B.$-1\in M$
C.$1⊆ M$
D.$\{1\}⊆ M$
(2)已知集合$A=\{x|x＜-2或x＞0\},B=\{x|0＜x＜1\}$，则（）
A.$A=B$
B.$A⊂neqq B$
C.$B⊂neqq A$
D.$A⊆ B$

(1)D (2)C
(1)因为$M=\{x\in\mathbf{N}|x-2＜0\}=\{0,1\}$,所以$0\in M,-1∉ M$,故A,B错误;根据元素与集合、集合与集合的关系,应为$1\in M$或$\{1\}⊆M$,故C错误,D正确.
(2)将集合A,B在数轴上表示出来,如图所示.
由图可知,$B ⊂neqq A$.

【学以致用2】下列选项表示空集的是 （）

A.$\{x\in\mathbf{R}|x^2+1=0\}$
B.$\{∅\}$
C.$\{0\}$
D.$0$

A 因为方程$x^2+1=0$无实数根,所以集合$\{x\in\mathbf{R}|x^2+1=0\}=∅$,故A正确;因为集合$\{∅\}$中有一个元素$∅$,所以不是空集,故B错误;因为集合$\{0\}$中有一个元素0,所以不是空集,故C错误;0不是集合,故D错误.

【典例1】判断下列各组集合之间的关系：
(1)$A=\{y ∣ y=x^2 - 2x -1, x\in\mathbf{R}\}, B=\{x ∣ -1＜x＜2\}$；
(2)(一题多解)$A=\{n ∣ n=3k +1, k\in\mathbf{N}\}, B=\{n ∣ n=3m -2, m\in\mathbf{N}\}$；
(3)$M=\{x ∣ x=\frac{k}{3}+\frac{1}{6}, k\in\mathbf{Z}\}, N=\{x ∣ x=\frac{k}{6}+\frac{1}{3}, k\in\mathbf{Z}\}$。
解题指导 (1)集合A表示的是y的取值范围，故先求出y的范围，进而结合数轴进行判断。
(2)方法1：由“$k\in\mathbf{N}$”可想到用列举观察法，将两个集合中的元素分别一一列出，再进行判断。
方法2：由$k,m\in\mathbf{N}$，想到利用元素的特征将集合A转化为集合B的形式后，观察集合中元素特征的差异。
(3)集合中有分数，故考虑先将$\frac{1}{6}$提取，把集合化简后再进行判断。
答案 解:(1)(数形结合法)因为$y=x^2 -2x -1=x^2 -2x +1 -2=(x-1)^2 -2≥ -2$，所以$A=\{y ∣ y≥ -2\}$。将集合A，B在数轴上表示出来，如图所示，结合数轴可知，$B⊂neqq A$。

(2)(一题多解)方法1(列举观察法)：$A=\{1,4,7,10,···\}, B=\{-2,1,4,7,10,···\}$，故$A⊂neqq B$。
方法2(元素特征法)：对于任意$n\in A$，有$n=3k +1=3(k+1)-2$，当$k\in\mathbf{N}$时，$k+1\in\mathbf{N}$，故A中的每一个元素均属于B，所以$A⊆ B$。又因为$-2\in B$，而$-2∉ A$，所以$A⊂neqq B$。
(3)(元素特征法)由$M=\{x ∣ x=\frac{k}{3}+\frac{1}{6}, k\in\mathbf{Z}\}=\{x ∣ x=\frac{1}{6}(2k+1), k\in\mathbf{Z}\}$，知集合M表示的是$\frac{1}{6}$的奇数倍；由$N=\{x ∣ x=\frac{k}{6}+\frac{1}{3}, k\in\mathbf{Z}\}=\{x ∣ x=\frac{1}{6}(k+2), k\in\mathbf{Z}\}$，知集合N表示的是$\frac{1}{6}$的整数倍，故M是N的真子集，即$M⊂neqq N$。

解：
(1) 对二次函数配方得：
$y = x^2 - 2x -1 = (x-1)^2 - 2$，
由$x\in\mathbf{R}$可知$(x-1)^2\ge0$，因此$y\ge-2$，
即$A = \{y∣ y\ge-2\}$。
集合$B=\{x∣ -1＜x＜2\}$的所有元素都属于集合$A$，且存在元素$-2\in A$但$-2∉ B$，
故$B⊂neqq A$。
(2) 方法1（列举观察法）：
将$k=0,1,2,3,\dots$依次代入$A$的表达式，得$A=\{1,4,7,10,\dots\}$；
将$m=0,1,2,3,\dots$依次代入$B$的表达式，得$B=\{-2,1,4,7,10,\dots\}$，
$A$的所有元素都属于$B$，且$-2\in B$但$-2∉ A$，
故$A⊂neqq B$。
方法2（元素特征法）：
任取$n\in A$，则$n=3k+1$，$k\in\mathbf{N}$，变形得$n=3(k+1)-2$。
因为$k\in\mathbf{N}$，故$k+1\in\mathbf{N}$，因此$n$符合集合$B$的元素特征，即$n\in B$，可得$A⊆ B$。
又$-2\in B$，不存在$k\in\mathbf{N}$使得$3k+1=-2$，即$-2∉ A$，
故$A⊂neqq B$。
(3) 对集合表达式变形：
$M=\{x∣ x=\frac{k}{3}+\frac{1}{6},k\in\mathbf{Z}\}=\{x∣ x=\frac{1}{6}(2k+1),k\in\mathbf{Z}\}$，
集合$M$的元素是$\frac{1}{6}$的所有奇数倍；
$N=\{x∣ x=\frac{k}{6}+\frac{1}{3},k\in\mathbf{Z}\}=\{x∣ x=\frac{1}{6}(k+2),k\in\mathbf{Z}\}$，
集合$N$的元素是$\frac{1}{6}$的所有整数倍。
所有奇数都是整数，因此$M$的全部元素都属于$N$，且存在元素如$\frac{1}{3}\in N$但$\frac{1}{3}∉ M$，
故$M⊂neqq N$。