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【变式3】中国茶文化博大精深,茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关.经验表明,某种绿茶,用一定温度的水泡制,再等到茶水温度降至某一温度时饮用,可以产生最佳口感.某研究人员在泡制茶水的过程中,每隔1 min测量一次茶水温度,收集到以下数据:
设茶水温度从$85°\mathrm{C}$开始,经过$t$ min后的温度为$y°\mathrm{C}$.为了刻画茶水温度随时间变化的规律,现有以下两种函数模型可供选择:①$y=ka^t + b$;②$y=at^2 + bt + c$.
(1)选出你认为最符合实际的函数模型,说明理由,并参考表格中前3组数据,求出该函数模型的解析式;
(2)若茶水温度降至$55°\mathrm{C}$时饮用,可以产生最佳口感,根据(1)中的函数模型,则刚泡好的茶水大约需要放置多长时间才能达到最佳口感?
(参考数据:$\lg 2\approx0.30,\lg 3\approx0.48$)
设茶水温度从$85°\mathrm{C}$开始,经过$t$ min后的温度为$y°\mathrm{C}$.为了刻画茶水温度随时间变化的规律,现有以下两种函数模型可供选择:①$y=ka^t + b$;②$y=at^2 + bt + c$.
(1)选出你认为最符合实际的函数模型,说明理由,并参考表格中前3组数据,求出该函数模型的解析式;
(2)若茶水温度降至$55°\mathrm{C}$时饮用,可以产生最佳口感,根据(1)中的函数模型,则刚泡好的茶水大约需要放置多长时间才能达到最佳口感?
(参考数据:$\lg 2\approx0.30,\lg 3\approx0.48$)
答案
解:(1)由题表中数据可知，随着时间的变化(变大)，茶水温度越来越低，但温度低至室内温度后，不再下降，也不再升高，因此最符合实际的函数模型为①。
将题表中的前3组数据代入$y=ka^t +b$，得
$\begin{cases}k +b=85,\\ka +b=79,\\ka^2 +b=73.6\end{cases}$，解得$\begin{cases}k=60,\\b=25,\\a=0.9,\end{cases}$所以该函数模型的解析式为$y=60×0.9^t +25$。
(2)由(1)，知当$y=55$时，$55=60×0.9^t +25$，即$0.9^t=0.5$，所以$t=\log_{0.9}0.5=\frac{\lg \frac{1}{2}}{\lg \frac{9}{10}}=\frac{\lg 2}{1-2\lg 3}\approx7.5$，
所以刚泡好的茶水大约需要放置7.5 min才能达到最佳口感。
将题表中的前3组数据代入$y=ka^t +b$，得
$\begin{cases}k +b=85,\\ka +b=79,\\ka^2 +b=73.6\end{cases}$，解得$\begin{cases}k=60,\\b=25,\\a=0.9,\end{cases}$所以该函数模型的解析式为$y=60×0.9^t +25$。
(2)由(1)，知当$y=55$时，$55=60×0.9^t +25$，即$0.9^t=0.5$，所以$t=\log_{0.9}0.5=\frac{\lg \frac{1}{2}}{\lg \frac{9}{10}}=\frac{\lg 2}{1-2\lg 3}\approx7.5$，
所以刚泡好的茶水大约需要放置7.5 min才能达到最佳口感。
1.(新课标卷)在下列区间中,函数$f(x)=e^x +4x -3$的零点所在的区间为（
A.$(-\dfrac{1}{4},0)$
B.$(0,\dfrac{1}{4})$
C.$(\dfrac{1}{4},\dfrac{1}{2})$
D.$(\dfrac{1}{2},\dfrac{3}{4})$
C
）A.$(-\dfrac{1}{4},0)$
B.$(0,\dfrac{1}{4})$
C.$(\dfrac{1}{4},\dfrac{1}{2})$
D.$(\dfrac{1}{2},\dfrac{3}{4})$
答案
1.C
因为函数$f(x)=e^x +4x -3$在$\mathbb{R}$上连续单调递增，
且$f(\frac{1}{4})=e^{\frac{1}{4}}+4×\frac{1}{4}-3=e^{\frac{1}{4}}-2＜0$，$f(\frac{1}{2})=e^{\frac{1}{2}}+4×\frac{1}{2}-3=e^{\frac{1}{2}}-1＞0$，
所以函数的零点在区间$(\frac{1}{4},\frac{1}{2})$内。
因为函数$f(x)=e^x +4x -3$在$\mathbb{R}$上连续单调递增，
且$f(\frac{1}{4})=e^{\frac{1}{4}}+4×\frac{1}{4}-3=e^{\frac{1}{4}}-2＜0$，$f(\frac{1}{2})=e^{\frac{1}{2}}+4×\frac{1}{2}-3=e^{\frac{1}{2}}-1＞0$，
所以函数的零点在区间$(\frac{1}{4},\frac{1}{2})$内。
2.函数$f(x)=\begin{cases}x-10, & x≥0, \\ x-\dfrac{1}{x}, & x＜0\end{cases}$的零点个数为（ ）
A.1
B.2
C.3
D.4
A.1
B.2
C.3
D.4
答案
2.B
令$x-10=0$，则$x=10＞0$，符合题意；
令$x-\frac{1}{x}=0$，则$x=1$(舍去)或$x=-1$。
综上，函数$f(x)$的零点个数为2。
令$x-10=0$，则$x=10＞0$，符合题意；
令$x-\frac{1}{x}=0$，则$x=1$(舍去)或$x=-1$。
综上，函数$f(x)$的零点个数为2。
3.用二分法求方程$2^x + x - 8 = 0$在$[1,5]$上的近似解时，经过两次二分后，可确定近似解所在区间为（
A.$(1,2)$或$(2,3)$
B.$(2,3)$
C.$(1,2)$
D.不能确定
B
）A.$(1,2)$或$(2,3)$
B.$(2,3)$
C.$(1,2)$
D.不能确定
答案
3.B
设$f(x)=2^x +x -8$，则$f(1)=2+1-8=-5＜0$，$f(5)=2^5+5-8=29＞0$。
因为$f(1)f(5)＜0$，所以第一次取$x_1=\frac{1+5}{2}=3$，有$f(3)=2^3+3-8=3＞0$。
因为$f(1)f(3)＜0$，所以第二次取$x_2=\frac{1+3}{2}=2$，有$f(2)=2^2+2-8=-2＜0$。
故此时可确定近似解所在区间为$(2,3)$。
设$f(x)=2^x +x -8$，则$f(1)=2+1-8=-5＜0$，$f(5)=2^5+5-8=29＞0$。
因为$f(1)f(5)＜0$，所以第一次取$x_1=\frac{1+5}{2}=3$，有$f(3)=2^3+3-8=3＞0$。
因为$f(1)f(3)＜0$，所以第二次取$x_2=\frac{1+3}{2}=2$，有$f(2)=2^2+2-8=-2＜0$。
故此时可确定近似解所在区间为$(2,3)$。
4.若方程$x+\lg x=8$在区间$(n,n+1)(n\in \mathbf{N}^*)$上有解，则$n=$（
A.5
B.6
C.7
D.8
C
）A.5
B.6
C.7
D.8
答案
4.C
易知函数$f(x)=x-8+\lg x$在$(0,+∞)$上单调递增。
又$f(8)=\lg 8＞0$，$f(7)=\lg 7 -1＜0$，
所以函数$f(x)$有且仅有一个零点$x_0$，且$x_0\in(7,8)$，所以$n=7$。
易知函数$f(x)=x-8+\lg x$在$(0,+∞)$上单调递增。
又$f(8)=\lg 8＞0$，$f(7)=\lg 7 -1＜0$，
所以函数$f(x)$有且仅有一个零点$x_0$，且$x_0\in(7,8)$，所以$n=7$。
5.陈同学利用信息技术拟合了“艾宾浩斯遗忘曲线”，得到记忆率$y$与初次记忆经过的时间$x$(单位:h)的大致关系为$y=1-0.6x^{0.06}$。若陈同学需要在明天15时的语文考试中拥有复习背诵记忆的42%，则他复习背诵时间需大约在（
（参考数据：$0.5^{0.06}\approx0.959\ 3$，$1.5^{0.06}\approx1.024\ 6$，$2^{0.06}\approx1.042\ 5$）
A.$14:30$
B.$14:00$
C.$13:30$
D.$13:00$
A
）（参考数据：$0.5^{0.06}\approx0.959\ 3$，$1.5^{0.06}\approx1.024\ 6$，$2^{0.06}\approx1.042\ 5$）
A.$14:30$
B.$14:00$
C.$13:30$
D.$13:00$
答案
5.A
令$1-0.6x^{0.06}=0.42$，则$x^{0.06}=\frac{29}{30}\approx0.967$。
因为$0.5^{0.06}\approx0.9593$，$1.5^{0.06}\approx1.0246$，$2^{0.06}\approx1.0425$，
所以$x$的估计值可取0.5，即他复习背诵时间需大约在14:30。
令$1-0.6x^{0.06}=0.42$，则$x^{0.06}=\frac{29}{30}\approx0.967$。
因为$0.5^{0.06}\approx0.9593$，$1.5^{0.06}\approx1.0246$，$2^{0.06}\approx1.0425$，
所以$x$的估计值可取0.5，即他复习背诵时间需大约在14:30。
6.(多选) 已知函数 $ f(x)=\begin{cases}x^2 + 2x - 3, & x ≤ 0, \\ -2 + \ln x, & x ＞ 0,\end{cases}$ 令 $ h(x)=f(x)-k $，则下列说法正确的是（ ）
A.函数 $ f(x) $ 的单调递增区间为 $ (0, +∞) $
B.当 $ h(x) $ 有3个零点时，$ k \in (-4, -3] $
C.当 $ k=-2 $ 时，$ h(x) $ 的所有零点之和为 $-1$
D.当 $ k \in (-∞, -4) $ 时，$ h(x) $ 有1个零点
A.函数 $ f(x) $ 的单调递增区间为 $ (0, +∞) $
B.当 $ h(x) $ 有3个零点时，$ k \in (-4, -3] $
C.当 $ k=-2 $ 时，$ h(x) $ 的所有零点之和为 $-1$
D.当 $ k \in (-∞, -4) $ 时，$ h(x) $ 有1个零点
答案
6.BD
作出函数$f(x)=\begin{cases}x^2+2x-3,x≤0,\\-2+\ln x,x＞0\end{cases}$的图象如图所示。
由图象可知，函数$f(x)$的单调递增区间为$(-1,0]$和$(0,+∞)$，故A选项错误；
$h(x)$的零点是函数$y=f(x)$和$y=k$图象交点的横坐标，由图象可知，当$h(x)$有3个零点时，$k\in(-4,-3]$，故B选项正确；
由$\begin{cases}x＞0,\\-2+\ln x=-2\end{cases}$和$\begin{cases}x≤0,\\x^2+2x-3=-2,\end{cases}$得$x=1$和$x=-1-\sqrt{2}$，即当$k=-2$时，$h(x)$有2个零点，$-1-\sqrt{2}$和1，所以$h(x)$的所有零点之和为$-\sqrt{2}$，故C选项错误；
当$k\in(-∞,-4)$时，函数$y=f(x)$和$y=k$的图象有1个交点，即$h(x)$有1个零点，故D选项正确。
7.函数$y=-1+\log_{2}(x-1)+\log_{2}x$的零点为
2
。答案
7.2
因为$y=-1+\log_2(x-1)+\log_2 x$，
所以该函数的定义域为$(1,+∞)$。
令$y=-1+\log_2(x-1)+\log_2 x=0$，
得$\log_2[x(x-1)]=1$，
所以$x(x-1)=2$，解得$x=-1$(舍去)或$x=2$。
因为$y=-1+\log_2(x-1)+\log_2 x$，
所以该函数的定义域为$(1,+∞)$。
令$y=-1+\log_2(x-1)+\log_2 x=0$，
得$\log_2[x(x-1)]=1$，
所以$x(x-1)=2$，解得$x=-1$(舍去)或$x=2$。
