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【变式2】方程$2^x + 4x - 3 = 0$的解所在的区间为（
A.$(0,\dfrac{1}{4})$
B.$(\dfrac{1}{4},\dfrac{1}{3})$
C.$(\dfrac{1}{3},\dfrac{1}{2})$
D.$(\dfrac{1}{2},\dfrac{3}{4})$
C
）A.$(0,\dfrac{1}{4})$
B.$(\dfrac{1}{4},\dfrac{1}{3})$
C.$(\dfrac{1}{3},\dfrac{1}{2})$
D.$(\dfrac{1}{2},\dfrac{3}{4})$
答案
C
因为$y=2^x$和$y=4x-3$都是$\mathbb{R}$上的增函数，所以$f(x)=2^x+4x-3$是$\mathbb{R}$上的增函数。
又$f(0)=1+0-3=-2＜0$，$f(\frac{1}{4})=2^{\frac{1}{4}}-2＜0$，$f(\frac{1}{3})=2^{\frac{1}{3}}-\frac{5}{3}＜0$，$f(\frac{1}{2})=2^{\frac{1}{2}}-1＞0$，
所以根据函数零点存在定理可知，$f(x)=2^x+4x-3$的零点所在的区间为$(\frac{1}{3},\frac{1}{2})$，
即方程$2^x+4x-3=0$的解所在的区间为$(\frac{1}{3},\frac{1}{2})$。
因为$y=2^x$和$y=4x-3$都是$\mathbb{R}$上的增函数，所以$f(x)=2^x+4x-3$是$\mathbb{R}$上的增函数。
又$f(0)=1+0-3=-2＜0$，$f(\frac{1}{4})=2^{\frac{1}{4}}-2＜0$，$f(\frac{1}{3})=2^{\frac{1}{3}}-\frac{5}{3}＜0$，$f(\frac{1}{2})=2^{\frac{1}{2}}-1＞0$，
所以根据函数零点存在定理可知，$f(x)=2^x+4x-3$的零点所在的区间为$(\frac{1}{3},\frac{1}{2})$，
即方程$2^x+4x-3=0$的解所在的区间为$(\frac{1}{3},\frac{1}{2})$。
【典例3】按照国务院节能减排综合工作方案的通知要求,到2030年,某地区化学需氧量排放总量要控制在80万吨,要比2020年下降20%.假设这期间每一年化学需氧量排放总量下降的百分率都相等,2020年后第$t(t=0,1,2,3,4,5,···)$年的化学需氧量排放总量为$f(t)$万吨.
(1)求$f(t)$的解析式；
(2)按此计划,最早到哪一年可以将该地区的化学需氧量排放总量控制在45万吨以内?
(参考数据:$\lg 2\approx0.301,\lg 3\approx0.477$)
解题指导 (1)先求出2020年化学需氧量排放总量,然后利用指数的运算即可求解.
(2)由题意,得不等式$100×0.8^{\frac{t}{10}}≤45$,解不等式即可.
答案 解:(1)设自2020年起,每一年化学需氧量排放总量下降的百分率为$x$,2020年化学需氧量排放总量为$a$万吨.
根据题意,得$a(1-20\%)=80$,解得$a=100$.
又每一年化学需氧量排放总量下降的百分率为$x$,所以$a(1-x)^{10}=80$,即$(1-x)^{10}=0.8$,
所以$f(t)=a(1-x)^t=100×[(1-x)^{10}]^{\frac{t}{10}}=100×0.8^{\frac{t}{10}}(t=0,1,2,3,4,5,···)$.
(2)由(1),知$f(t)=100×0.8^{\frac{t}{10}}(t=0,1,2,3,4,5,···)$,
所以$f(t)=100×0.8^{\frac{t}{10}}≤45$,即$\frac{t}{10}≥\frac{\lg 45 - 2}{\lg 0.8}$,
所以$t≥10×\frac{\lg 45 - 2}{\lg 0.8}=10×\frac{2\lg 3 - \lg 2 - 1}{3\lg 2 - 1}\approx35.77$,
所以最早到2020年后的第36年,即2056年可以将该地区的化学需氧量排放总量控制在45万吨以内.
(1)求$f(t)$的解析式；
(2)按此计划,最早到哪一年可以将该地区的化学需氧量排放总量控制在45万吨以内?
(参考数据:$\lg 2\approx0.301,\lg 3\approx0.477$)
解题指导 (1)先求出2020年化学需氧量排放总量,然后利用指数的运算即可求解.
(2)由题意,得不等式$100×0.8^{\frac{t}{10}}≤45$,解不等式即可.
答案 解:(1)设自2020年起,每一年化学需氧量排放总量下降的百分率为$x$,2020年化学需氧量排放总量为$a$万吨.
根据题意,得$a(1-20\%)=80$,解得$a=100$.
又每一年化学需氧量排放总量下降的百分率为$x$,所以$a(1-x)^{10}=80$,即$(1-x)^{10}=0.8$,
所以$f(t)=a(1-x)^t=100×[(1-x)^{10}]^{\frac{t}{10}}=100×0.8^{\frac{t}{10}}(t=0,1,2,3,4,5,···)$.
(2)由(1),知$f(t)=100×0.8^{\frac{t}{10}}(t=0,1,2,3,4,5,···)$,
所以$f(t)=100×0.8^{\frac{t}{10}}≤45$,即$\frac{t}{10}≥\frac{\lg 45 - 2}{\lg 0.8}$,
所以$t≥10×\frac{\lg 45 - 2}{\lg 0.8}=10×\frac{2\lg 3 - \lg 2 - 1}{3\lg 2 - 1}\approx35.77$,
所以最早到2020年后的第36年,即2056年可以将该地区的化学需氧量排放总量控制在45万吨以内.
答案
解：
(1) 设自2020年起，每一年化学需氧量排放总量下降的百分率为$x$，2020年化学需氧量排放总量为$a$万吨。
根据题意，2030年排放总量比2020年下降20%，可得：
$a(1-20\%)=80$
解得$a=100$。
又2030年对应$t=10$，因此$a(1-x)^{10}=80$，代入$a=100$得$(1-x)^{10}=0.8$，
所以：
$f(t)=a(1-x)^t=100×[(1-x)^{10}]^{\frac{t}{10}}=100×0.8^{\frac{t}{10}}$
即$f(t)$的解析式为$f(t)=100×0.8^{\frac{t}{10}}\quad(t=0,1,2,3,\dots)$。
(2) 令$f(t)≤45$，代入解析式得：
$100×0.8^{\frac{t}{10}}≤45$
整理得$0.8^{\frac{t}{10}}≤0.45$，两边同时取常用对数：
$\frac{t}{10}\lg 0.8≤\lg 0.45$
因为$\lg 0.8＜0$，不等号方向改变，得：
$\frac{t}{10}≥\frac{\lg 0.45}{\lg 0.8}=\frac{\lg 45-2}{\lg 0.8}$
将$\lg 45=2\lg 3+1-\lg 2$，$\lg 0.8=3\lg 2-1$代入得：
$t≥10×\frac{2\lg 3-\lg 2-1}{3\lg 2-1}$
代入$\lg 2\approx0.301$，$\lg 3\approx0.477$计算：
$t≥10×\frac{2×0.477-0.301-1}{3×0.301-1}\approx35.77$
由于$t$为非负整数，故最小正整数解为$t=36$，$2020+36=2056$。
答：最早到2056年可以将该地区的化学需氧量排放总量控制在45万吨以内。
(1) 设自2020年起，每一年化学需氧量排放总量下降的百分率为$x$，2020年化学需氧量排放总量为$a$万吨。
根据题意，2030年排放总量比2020年下降20%，可得：
$a(1-20\%)=80$
解得$a=100$。
又2030年对应$t=10$，因此$a(1-x)^{10}=80$，代入$a=100$得$(1-x)^{10}=0.8$，
所以：
$f(t)=a(1-x)^t=100×[(1-x)^{10}]^{\frac{t}{10}}=100×0.8^{\frac{t}{10}}$
即$f(t)$的解析式为$f(t)=100×0.8^{\frac{t}{10}}\quad(t=0,1,2,3,\dots)$。
(2) 令$f(t)≤45$，代入解析式得：
$100×0.8^{\frac{t}{10}}≤45$
整理得$0.8^{\frac{t}{10}}≤0.45$，两边同时取常用对数：
$\frac{t}{10}\lg 0.8≤\lg 0.45$
因为$\lg 0.8＜0$，不等号方向改变，得：
$\frac{t}{10}≥\frac{\lg 0.45}{\lg 0.8}=\frac{\lg 45-2}{\lg 0.8}$
将$\lg 45=2\lg 3+1-\lg 2$，$\lg 0.8=3\lg 2-1$代入得：
$t≥10×\frac{2\lg 3-\lg 2-1}{3\lg 2-1}$
代入$\lg 2\approx0.301$，$\lg 3\approx0.477$计算：
$t≥10×\frac{2×0.477-0.301-1}{3×0.301-1}\approx35.77$
由于$t$为非负整数，故最小正整数解为$t=36$，$2020+36=2056$。
答：最早到2056年可以将该地区的化学需氧量排放总量控制在45万吨以内。
