【典例 1】（1）已知函数 $ f(x) = \begin{cases}\dfrac{1}{x} + x - 3, & x＞0, \\ x + 2, & x≤0,\end{cases}$ 则方程 $ f(x) - 3^{-|x|} = 0 $ 的解的个数是 （ ）
A.0 B.1 C.2 D.3
（2）函数 $ f(x) = x - \dfrac{6}{x} + 1 $ 的零点个数为。
解题指导（1）将方程 $ f(x) - 3^{-|x|} = 0 $ 的解的个数问题转化为函数 $ y=f(x) $ 与 $ g(x)=3^{-|x|} $ 的图象的交点个数问题，数形结合，可得答案。（2）根据零点的定义可转化为方程解的问题，直接解方程即可。
解析（1）由题意可知，方程 $ f(x) - 3^{-|x|} = 0 $ 的解的个数即为函数 $ y=f(x) $ 与 $ g(x)=3^{-|x|} $ 的图象的交点个数，作出函数 $ y=f(x),g(x)=3^{-|x|} $ 的图象，
由图象，知函数 $ y=f(x) $ 与 $ g(x)=3^{-|x|} $ 的图象有3个交点，故方程 $ f(x) - 3^{-|x|} = 0 $ 的解的个数是3。
（2）令 $ f(x)=x - \dfrac{6}{x} +1=0 $，即 $ x^2 +x -6=0 $，$ x≠0 $，即 $ (x+3)(x-2)=0,x≠0 $，解得 $ x=-3 $ 或 $ x=2 $，即函数 $ f(x)=x - \dfrac{6}{x} +1 $ 的零点为-3和2，个数为2。
答案（1）D （2）2

(1) $\boldsymbol{D}$；(2) $\boldsymbol{2}$

解：
(1) 方程 $f(x)-3^{-|x|}=0$ 的解的个数等价于函数 $y=f(x)$ 与 $g(x)=3^{-|x|}$ 的图象的交点个数。
在同一平面直角坐标系中作出两个函数的图象，观察可得两函数图象共有3个交点，因此方程 $f(x)-3^{-|x|}=0$ 的解的个数为3，答案选D。
(2) 令 $f(x)=0$，即 $x-\dfrac{6}{x}+1=0$，函数定义域为 $x≠0$，
方程两边同乘 $x$ 整理得：$x^2 + x -6 = 0$，
因式分解得 $(x+3)(x-2)=0$，
解得 $x=-3$ 或 $x=2$，均满足定义域要求，
因此函数 $f(x)$ 的零点个数为2。

【变式1】(1)方程$\log_{2}x + x - 2 = 0$的实根个数是（）

A.0
B.1
C.2
D.3

(1)B
因为$\log_2 x +x -2=0$，所以$\log_2 x=2-x$。
令$y_1=\log_2 x$，$y_2=2-x$，则方程$\log_2 x +x -2=0$的实根个数就是两个函数$y_1,y_2$的图象的交点个数。
画出两个函数的图象如图所示。

由图可知，两个函数的图象的交点个数是1，
所以方程$\log_2 x +x -2=0$的实根个数是1。

(2)(一题多解)已知$f(x)=\begin{cases}x^3, & x≥0, \\ |\lg (-x)|, & x＜0,\end{cases}$则函数$y=2f^2(x)-3f(x)$的零点个数为 ______ 。

5
方法1：令$2f^2(x)-3f(x)=0$，得$f(x)=0$或$f(x)=\frac{3}{2}$。
当$x＜0$时，$|\lg (-x)|=0$或$|\lg (-x)|=\frac{3}{2}$，解得$x=-1$或$x=-10\sqrt{10}$或$x=-\frac{\sqrt{10}}{100}$；
当$x≥0$时，$x^3=0$或$x^3=\frac{3}{2}$，解得$x=0$或$x=\frac{\sqrt[3]{12}}{2}$。
综上，函数$y=2f^2(x)-3f(x)$的零点个数为5。
方法2：令$2f^2(x)-3f(x)=0$，得$f(x)=0$或$f(x)=\frac{3}{2}$。
作出$f(x)$的大致图象如图所示。

由图可知，$f(x)$的图象与$x$轴有2个交点，与直线$y=\frac{3}{2}$有3个交点，所以$f(x)=0$有2个根，$f(x)=\frac{3}{2}$有3个根，故函数$y=2f^2(x)-3f(x)$的零点个数为5。

【典例2】(1)(天津卷)函数$f(x)=0.3^x - \sqrt{x}$的零点所在区间是（）

A.$(0,0.3)$
B.$(0.3,0.5)$
C.$(0.5,1)$
D.$(1,2)$

B

函数$f(x)=0.3^x - \sqrt{x}$的定义域为$[0,+∞)$，其中$y=0.3^x$和$y=-\sqrt{x}$均在$[0,+∞)$上单调递减，因此$f(x)$是定义域上的单调递减函数。
计算特殊点的函数值：
1. $f(0.3)=0.3^{0.3}-\sqrt{0.3}＞0$
2. $f(0.5)=0.3^{0.5}-\sqrt{0.5}=\sqrt{0.3}-\sqrt{0.5}＜0$
根据零点存在性定理，单调连续函数满足$f(0.3)· f(0.5)＜0$，因此$f(x)$的零点所在区间为$(0.3,0.5)$。

(2)(一题多解)函数$f(x)=x\ln(x-1)+x-3$的零点所在的大致区间为 （）
A.$(1,2)$ B.$(3,4)$ C.$(2,3)$ D.$(4,5)$
解题指导 (1)根据指数函数与幂函数的单调性,结合函数零点存在定理计算判断.
(2)方法1:先计算出各个区间端点的符号,再利用函数零点存在定理即可求解.
方法2:$f(x)=x\ln(x-1)+x-3=0$可化为$\ln(x-1)=\frac{3}{x}-1$,作出$g(x)=\ln(x-1)$和$h(x)=\frac{3}{x}-1$的图象,即可得图象交点的横坐标所在的大致区间.
解析 (1)由指数函数、幂函数的单调性可知,$y=0.3^x$在$\mathbb{R}$上单调递减,$y=\sqrt{x}$在$[0,+∞)$上单调递增,所以$f(x)=0.3^x-\sqrt{x}$在定义域上单调递减.
因为$f(0)=1＞0,f(0.3)=0.3^{0.3}-0.3^{0.5}＞0$,$f(0.5)=0.3^{0.5}-0.5^{0.5}＜0$,
所以根据函数零点存在定理可知,$f(x)$的零点所在区间是$(0.3,0.5)$.
(2)(一题多解)方法1:因为当$x$接近于1时,$f(x)$趋向于$-∞$,
$f(2)=2\ln1+2-3=-1＜0$,
$f(3)=3\ln2+3-3=3\ln2＞0$,
$f(4)=4\ln3+1＞0$,
$f(5)=5\ln4+2＞0$,
所以$f(x)$的零点所在的大致区间为$(2,3)$.
方法2:$f(x)=x\ln(x-1)+x-3=0⇔\ln(x-1)=\frac{3}{x}-1$.令$g(x)=\ln(x-1)$,$h(x)=\frac{3}{x}-1$,作出$g(x),h(x)$的函数图象如图所示.
由图可知,函数图象的交点在区间$(2,3)$内,故
$f(x)$的零点所在的大致区间为$(2,3)$.
答案 (1)B (2)C

解：
方法1：
函数$f(x)=x\ln(x-1)+x-3$的定义域为$(1,+∞)$，且$f(x)$是定义域上的连续函数。
计算各点函数值：
$f(2)=2\ln1 + 2 - 3 = -1 ＜ 0$，
$f(3)=3\ln2 + 3 - 3 = 3\ln2 ＞ 0$，
$f(4)=4\ln3 + 4 - 3 = 4\ln3 + 1 ＞ 0$，
$f(5)=5\ln4 + 5 - 3 = 5\ln4 + 2 ＞ 0$，
根据函数零点存在定理，连续函数$f(x)$满足$f(2)· f(3)＜0$，因此$f(x)$的零点所在的大致区间为$(2,3)$。
方法2：
将$f(x)=0$变形可得：
$x\ln(x-1)+x-3=0 \iff \ln(x-1)=\frac{3}{x}-1$
令$g(x)=\ln(x-1)$，$h(x)=\frac{3}{x}-1$，
$g(x)$在$(1,+∞)$上单调递增，$h(x)$在$(1,+∞)$上单调递减，
代入端点得：$g(2)=0 ＜ h(2)=\frac{1}{2}$，$g(3)=\ln2 ＞ h(3)=0$，
可知两个函数图象的交点横坐标落在区间$(2,3)$内，即$f(x)$的零点所在的大致区间为$(2,3)$。
综上，答案选C。