登录
8.洄游型大西洋鲑鱼每年都要逆流而上，游回产地产卵，研究发现鲑鱼的游速(单位：m/s)可以表示为$v=\frac{1}{2}\log_{3}\frac{O}{100}$，其中O表示鲑鱼的耗氧量的单位数.
(1)当一条鲑鱼的游速是3 m/s时，求它的耗氧量.
(2)现有甲、乙两条鲑鱼均由A地向B地直线游动，其中鲑鱼乙在鲑鱼甲正后方10 m处，已知鲑鱼甲的耗氧量为8 100个单位，鲑鱼乙的耗氧量为24 300个单位.若这两条鱼的耗氧量均不变，且游的方向不变，则鲑鱼乙将在多少秒后追上鲑鱼甲？
(1)当一条鲑鱼的游速是3 m/s时，求它的耗氧量.
(2)现有甲、乙两条鲑鱼均由A地向B地直线游动，其中鲑鱼乙在鲑鱼甲正后方10 m处，已知鲑鱼甲的耗氧量为8 100个单位，鲑鱼乙的耗氧量为24 300个单位.若这两条鱼的耗氧量均不变，且游的方向不变，则鲑鱼乙将在多少秒后追上鲑鱼甲？
答案
8.解:(1)当$v=3$时，$\frac{1}{2}\log_3\frac{O}{100}=3$，即$\log_3\frac{O}{100}=6$，
则$\frac{O}{100}=3^6$，得$O=72900$，即耗氧量为72 900个单位。
(2)当$O=8100$时，$v=\frac{1}{2}\log_3\frac{8100}{100}=\frac{1}{2}\log_3 81=2$，
当$O=24300$时，$v=\frac{1}{2}\log_3\frac{24300}{100}=\frac{1}{2}\log_3 243=\frac{5}{2}$，
即鲑鱼甲的速度为2 m/s，鲑鱼乙的速度为$\frac{5}{2}$ m/s，速度差为$\frac{1}{2}$ m/s。
因为两条鱼相差10 m，所以鲑鱼乙将在20 s后追上鲑鱼甲。
则$\frac{O}{100}=3^6$，得$O=72900$，即耗氧量为72 900个单位。
(2)当$O=8100$时，$v=\frac{1}{2}\log_3\frac{8100}{100}=\frac{1}{2}\log_3 81=2$，
当$O=24300$时，$v=\frac{1}{2}\log_3\frac{24300}{100}=\frac{1}{2}\log_3 243=\frac{5}{2}$，
即鲑鱼甲的速度为2 m/s，鲑鱼乙的速度为$\frac{5}{2}$ m/s，速度差为$\frac{1}{2}$ m/s。
因为两条鱼相差10 m，所以鲑鱼乙将在20 s后追上鲑鱼甲。
9.已知$f(x)=\begin{cases} |\ln x|, & x＞0, \\ -x^2 -2x +1, & x≤0, \end{cases}$
则函数$y=4[f(x)]^2 -8f(x)+3$
的零点个数为 （
A.8
B.7
C.5
D.3
则函数$y=4[f(x)]^2 -8f(x)+3$
的零点个数为 （
B
）A.8
B.7
C.5
D.3
答案
9.B
令$y=4[f(x)]^2 -8f(x)+3=0$，得$f(x)=\frac{1}{2}$或$f(x)=\frac{3}{2}$。
作出函数$f(x)$的图象如图所示。
由图可知，函数$f(x)$的图象与直线$y=\frac{1}{2},y=\frac{3}{2}$一共有7个交点，
所以函数$y=4[f(x)]^2 -8f(x)+3$有7个零点。
10.已知函数$f(x)=\begin{cases} |\ln x|, & x＞0, \\ 2^x, & x＜0, \end{cases}$
$g(x)=f(x)-m$，若函数$g(x)$有3个零点$a,b,c(a＜b＜c)$，则$abc$的取值范围是
$g(x)=f(x)-m$，若函数$g(x)$有3个零点$a,b,c(a＜b＜c)$，则$abc$的取值范围是
(-∞,0)
。答案
10.$(-∞,0)$
画出$f(x)$的图象如图所示。
由函数$g(x)=f(x)-m$有3个零点，得函数$y=f(x)$的图象与直线$y=m$有3个交点。
观察函数图象，得$0＜m＜1$，$a＜0＜b＜1＜c$，$|\ln b|=|\ln c|$，
所以$-\ln b=\ln c$，即$\ln(bc)=0$，解得$bc=1$，则$abc=a＜0$，
所以$abc$的取值范围是$(-∞,0)$。
11.汉川市汈汊湖国家湿地公园的某位工作人员今年以来一直在研究公园内一池塘里某种水生植物的覆盖面积的变化情况.已知今年前3个月底此种水生植物的覆盖面积如下表所示：
(1)依据表中数据,从下列三种函数模型中选择一个恰当的模型估算第$x(x\in \mathbf{N}^*)$个月月底该水生植物的覆盖面积$y(\mathrm{m}^2)$,并求出你选择模型的解析式.
①$y=\frac{t}{x}+b(t＞0)$；
②$y=d\log_r x+s(r＞0,且r≠1)$；
③$y=ma^x+n(a＞0,且a≠1)$.
(2)求至少要到第几个月月底,该水生植物的覆盖面积可超过$500\ \mathrm{m}^2$.(参考数据：$\lg 2\approx0.301,\lg 3\approx0.477$)
答案 P47
(1)依据表中数据,从下列三种函数模型中选择一个恰当的模型估算第$x(x\in \mathbf{N}^*)$个月月底该水生植物的覆盖面积$y(\mathrm{m}^2)$,并求出你选择模型的解析式.
①$y=\frac{t}{x}+b(t＞0)$；
②$y=d\log_r x+s(r＞0,且r≠1)$；
③$y=ma^x+n(a＞0,且a≠1)$.
(2)求至少要到第几个月月底,该水生植物的覆盖面积可超过$500\ \mathrm{m}^2$.(参考数据：$\lg 2\approx0.301,\lg 3\approx0.477$)
答案 P47
答案
11.解:(1)由题表中数据可知，函数为一个增函数，且函数的增长速度越来越快，所以函数模型③$y=ma^x +n(a＞0$，且$a≠1)$符合要求。
将表格中的三组数据代入，得$\begin{cases}36=ma +n,\\44=ma^2 +n,\\56=ma^3 +n,\end{cases}$
解得$\begin{cases}m=\frac{32}{3},\\n=20,\\a=\frac{3}{2},\end{cases}$
所以该函数模型的解析式是$y=\frac{32}{3}×(\frac{3}{2})^x +20$，$x\in \mathbf{N}^*$。
(2)令$\frac{32}{3}×(\frac{3}{2})^x +20＞500$，得$(\frac{3}{2})^x＞45$，
所以$x＞\log_{\frac{3}{2}}45=\frac{\lg 45}{\lg \frac{3}{2}}=\frac{2\lg 3 +1 -\lg 2}{\lg 3 -\lg 2}$。
因为$\frac{2\lg 3 +1 -\lg 2}{\lg 3 -\lg 2}\approx\frac{2×0.477 +1 -0.301}{0.477 -0.301}=\frac{1.653}{0.176}\approx9.39$，
且$x\in \mathbf{N}^*$，所以$x≥10$，
所以至少要到第10个月月底，该水生植物的覆盖面积可超过$500\ \mathrm{m}^2$。
将表格中的三组数据代入，得$\begin{cases}36=ma +n,\\44=ma^2 +n,\\56=ma^3 +n,\end{cases}$
解得$\begin{cases}m=\frac{32}{3},\\n=20,\\a=\frac{3}{2},\end{cases}$
所以该函数模型的解析式是$y=\frac{32}{3}×(\frac{3}{2})^x +20$，$x\in \mathbf{N}^*$。
(2)令$\frac{32}{3}×(\frac{3}{2})^x +20＞500$，得$(\frac{3}{2})^x＞45$，
所以$x＞\log_{\frac{3}{2}}45=\frac{\lg 45}{\lg \frac{3}{2}}=\frac{2\lg 3 +1 -\lg 2}{\lg 3 -\lg 2}$。
因为$\frac{2\lg 3 +1 -\lg 2}{\lg 3 -\lg 2}\approx\frac{2×0.477 +1 -0.301}{0.477 -0.301}=\frac{1.653}{0.176}\approx9.39$，
且$x\in \mathbf{N}^*$，所以$x≥10$，
所以至少要到第10个月月底，该水生植物的覆盖面积可超过$500\ \mathrm{m}^2$。
