9. 下图中的三个三角形相似，$△ A'B'C'$、$△ A''B''C''$由$△ ABC$放大所得。

现在请你看图思考两个方面的问题：
（1）角。
$∠ A=∠ A'=∠ A''$，$∠ B=∠ B'=∠ B''$，$∠ C=∠ C'=∠ C''$成立吗？
（2）线和面。
①$A'B':AB=B'C':BC=A'C':AC=A'D':AD=(\ ):(\ )$，
$△ A'B'C'$的面积$:△ ABC$的面积$=(\ ):(\ )$。
②$A''B'':AB=B''C'':BC=A''C'':AC=A''D'':AD=(\ ):(\ )$，
$△ A''B''C''$的面积$:△ ABC$的面积$=(\ ):(\ )$。
确定三角形的面积之比时可参考下图：

想一想:两个相似图形的面积之比与它们对应边的长度之比有怎样的关系？

（1）
因为三个三角形相似，相似三角形对应角相等，所以$∠ A=∠ A'=∠ A''$，$∠ B=∠ B'=∠ B''$，$∠ C=∠ C'=∠ C''$成立。
（2）
①
数方格得：$AB=2$格，$A'B'=4$格，$BC=2$格，$B'C'=4$格，$AD=2$格，$A'D'=4$格，所以$A'B':AB=B'C':BC=A'C':AC=A'D':AD=2:1$；
$△ ABC$面积：$\frac{1}{2}×2×2=2$，$△ A'B'C'$面积：$\frac{1}{2}×4×4=8$，所以$△ A'B'C'$的面积$:△ ABC$的面积$=4:1$。
②
数方格得：$A''B''=6$格，$B''C''=6$格，$A''D''=6$格，所以$A''B'':AB=B''C'':BC=A''C'':AC=A''D'':AD=3:1$；
$△ A''B''C''$面积：$\frac{1}{2}×6×6=18$，所以$△ A''B''C''$的面积$:△ ABC$的面积$=9:1$。
想一想：两个相似图形的面积之比等于对应边长度之比的平方。

【分析】
解决第一问时，首先回忆图形缩放和相似图形的基本特征：图形放大或缩小时角的大小不变，相似图形的对应角相等，结合题目给出的“三个三角形相似”的条件，就能判断角的等量关系是否成立。解决第二问时，第一步先通过数方格的方式确定原三角形和两个放大后三角形的对应边、对应高的长度，计算出边长的比值；再用已经学过的三角形面积公式“面积=底×高÷2”分别计算三个三角形的面积，算出面积比；最后对比边长比和面积比的数值，就能总结出二者的关联规律。
【解析】
（1）判断角的关系：
已知三个三角形相似，图形缩放时角的大小不变，相似三角形对应角相等，因此$∠ A=∠ A'=∠ A''$，$∠ B=∠ B'=∠ B''$，$∠ C=∠ C'=∠ C''$成立。
（2）线和面的计算：
① 数方格得：$△ ABC$中$AB=2$格，$BC=2$格，高$AD=2$格；$△ A'B'C'$中$A'B'=4$格，$B'C'=4$格，高$A'D'=4$格。
对应边的比：$A'B':AB=4:2=2:1$，同理可得$B'C':BC=A'C':AC=A'D':AD=2:1$。
计算面积：$△ ABC$的面积$=\frac{1}{2}×2×2=2$，$△ A'B'C'$的面积$=\frac{1}{2}×4×4=8$，因此面积比$=8:2=4:1$。
② 数方格得：$△ A''B''C''$中$A''B''=6$格，$B''C''=6$格，高$A''D''=6$格。
对应边的比：$A''B'':AB=6:2=3:1$，同理可得$B''C'':BC=A''C'':AC=A''D'':AD=3:1$。
计算面积：$△ A''B''C''$的面积$=\frac{1}{2}×6×6=18$，因此面积比$=18:2=9:1$。
想一想：对比边长比和面积比可发现，$2:1$的平方对应$4:1$，$3:1$的平方对应$9:1$，因此两个相似图形的面积之比等于对应边长度之比的平方。
【答案】
（1）成立；
（2）①$2:1$，$4:1$；②$3:1$，$9:1$；
想一想：两个相似图形的面积之比等于对应边长度之比的平方。
【知识点】
1.相似图形性质 2.三角形面积计算 3.图形缩放规律
【点评】
本题结合图形缩放的实例考查相似图形的基本特征，通过数格、计算的方式引导学生自主推导相似图形边长比和面积比的关系，有助于强化对图形缩放规律的理解，培养动手计算和归纳总结的能力。
【难度系数】
0.8