8. 对于任意实数a,b,定义$a▼b= a(a+b)+b$.若$a▼(-1)= 0$,则a的值为____.

$\frac{1\pm\sqrt{5}}{2}$

9. 已知$x= 1是一元二次方程(m+2)x^{2}+4x-m^{2}= 0$的一个根,则m的值为____.

3

10. 等腰三角形的其中两边长是方程$x^{2}-2\sqrt {2}x+1= 0$的两根,则它的周长为____.

$3\sqrt{2}+1$

11. 用适当的方法解下列方程：
(1)(2025信阳)$9x^{2}-1= 0$；
(2)$x^{2}+4x= -3$；
(3)$5x^{2}+2x-1= 0$.

解：(1) $9x^{2}=1$，$x^{2}=\frac{1}{9}$，
$\therefore x_{1}=\frac{1}{3}$，$x_{2}=-\frac{1}{3}$；
(2) 配方，得 $x^{2}+4x + 4 = -3 + 4$，
$(x + 2)^{2}=1$，
$\therefore x + 2=\pm1$，
$\therefore x_{1}=-1$，$x_{2}=-3$；
(3) $\because a = 5$，$b = 2$，$c = -1$，
$\therefore \Delta = b^{2}-4ac = 4 - 4\times5\times(-1)$
$= 24＞0$，
$\therefore x=\frac{-2\pm\sqrt{24}}{2\times5}=\frac{-2\pm2\sqrt{6}}{10}$，
$\therefore x_{1}=\frac{-1+\sqrt{6}}{5}$，$x_{2}=\frac{-1-\sqrt{6}}{5}$。

12. 已知关于x的一元二次方程$x^{2}-4mx+3m^{2}= 0$.
(1)求证：该方程总有两个实数根；
(2)若$m＞0$,且该方程的两个实数根的差为2,求m的值.

解：(1) $\Delta=(4m)^{2}-4\times3m^{2}=16m^{2}-12m^{2}=4m^{2}\geq0$，
$\therefore$ 该方程总有两个实数根；
(2) 一元二次方程的根为 $x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{-(-4m)\pm\sqrt{4m^{2}}}{2}=\frac{4m\pm2m}{2}$，
$\therefore x_{1}=3m$，$x_{2}=m$。
$\because m＞0$，且该方程的两个实数根的差为2，
$\therefore 3m - m = 2$，$\therefore m = 1$。

13. 关于x的方程$x^{2}-(m-1)x+m-2= 0$.
(1)求证：无论m取何值,该方程总有两个实数根；
(2)若该方程有一根大于2且小于5,求m的取值范围.

解：(1) $\because a = 1$，$b = -(m - 1)$，$c = m - 2$，
$\therefore \Delta=[-(m - 1)]^{2}-4(m - 2)$
$=m^{2}-6m + 9$
$=(m - 3)^{2}\geq0$，
$\therefore$ 无论 $m$ 取何值，
该方程总有两个实数根；
(2) $\because \Delta\geq0$，
$\therefore x=\frac{(m - 1)\pm\sqrt{(m - 3)^{2}}}{2}$
$=\frac{(m - 1)\pm(m - 3)}{2}$，
$\therefore x_{1}=m - 2$，$x_{2}=1$。
$\because$ 该方程有一根大于2且小于5，且 $x_{2}=1$，
$\therefore\begin{cases}m - 2＞2\\m - 2＜5\end{cases}$，$\therefore 4＜m＜7$。