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【例1】根据一元二次方程的根与系数的关系，求下列方程两个根$x_1,x_2$的和与积.
(1)$x^2 - x =12$;
(2)$2x^2 -3x=27$;
(3)$x^2 +2x=0$;
(4)$\sqrt{5}x^2 -3x=7$.
(1)$x^2 - x =12$;
(2)$2x^2 -3x=27$;
(3)$x^2 +2x=0$;
(4)$\sqrt{5}x^2 -3x=7$.
答案
(1) 方程化为一般形式为 $x^2 -x -12=0$，$\therefore x_1+x_2=1$，$x_1x_2=-12$.
(2) 方程化为一般形式为 $2x^2 -3x -27=0$，$\therefore x_1+x_2=\frac{3}{2}$，$x_1x_2=-\frac{27}{2}$.
(3) $x_1+x_2=-2$，$x_1x_2=0$.
(4) 方程化为一般形式为$\sqrt{5}x^2 -3x -7=0$，$\therefore x_1+x_2=\frac{3\sqrt{5}}{5}$，$x_1x_2=-\frac{7\sqrt{5}}{5}$.
(2) 方程化为一般形式为 $2x^2 -3x -27=0$，$\therefore x_1+x_2=\frac{3}{2}$，$x_1x_2=-\frac{27}{2}$.
(3) $x_1+x_2=-2$，$x_1x_2=0$.
(4) 方程化为一般形式为$\sqrt{5}x^2 -3x -7=0$，$\therefore x_1+x_2=\frac{3\sqrt{5}}{5}$，$x_1x_2=-\frac{7\sqrt{5}}{5}$.
【变式】已知点$(m,n)$在第四象限，若$m,n$分别为一元二次方程的两根之和与两根之积，则这个一元二次方程可以是（
A.$x^2 + x - 2026 = 0$
B.$x^2 + x + 2026 = 0$
C.$x^2 - x + 2026 = 0$
D.$x^2 - x - 2026 = 0$
D
）A.$x^2 + x - 2026 = 0$
B.$x^2 + x + 2026 = 0$
C.$x^2 - x + 2026 = 0$
D.$x^2 - x - 2026 = 0$
答案
D
【例2】若$x_1$，$x_2$是方程$x^2 - 5x - 11 = 0$的两个实数根，求下列代数式的值：
(1)$(x_1 - 1)(x_2 - 1)$；
(2)$\frac{x_2}{x_1} + \frac{x_1}{x_2}$。
(1)$(x_1 - 1)(x_2 - 1)$；
(2)$\frac{x_2}{x_1} + \frac{x_1}{x_2}$。
答案
(1) $\because x_1,x_2$ 是 $x^2 -5x -11=0$ 的两个实数根，$\therefore x_1+x_2=5$，$x_1x_2=-11$，$\therefore (x_1-1)(x_2-1)=x_1x_2-(x_1+x_2)+1=-11-5+1=-15$.
(2) $\because x_1+x_2=5$，$x_1x_2=-11$，$\therefore \frac{x_2}{x_1} + \frac{x_1}{x_2} = \frac{x_1^2+x_2^2}{x_1x_2} = \frac{(x_1+x_2)^2-2x_1x_2}{x_1x_2} = \frac{5^2-2×(-11)}{-11}=-\frac{47}{11}$.
(2) $\because x_1+x_2=5$，$x_1x_2=-11$，$\therefore \frac{x_2}{x_1} + \frac{x_1}{x_2} = \frac{x_1^2+x_2^2}{x_1x_2} = \frac{(x_1+x_2)^2-2x_1x_2}{x_1x_2} = \frac{5^2-2×(-11)}{-11}=-\frac{47}{11}$.
【变式】(1)已知$m$和$n$是一元二次方程$x^2 -6x +5=0$的两个实数根，则$\frac{1}{m}+\frac{1}{n}=$
(2)若$x_1,x_2$是方程$x^2 -5x +3=0$的两个根，则$x_1^2x_2 +x_1x_2^2$的值是
$\frac{6}{5}$
.(2)若$x_1,x_2$是方程$x^2 -5x +3=0$的两个根，则$x_1^2x_2 +x_1x_2^2$的值是
15
.答案
(1) $\frac{6}{5}$
(2) 15
(2) 15
【例3】已知关于$x$的一元二次方程$x^2 -6x +2m -1=0$有$x_1,x_2$两个实数根.若$x_1=1$,求$x_2$及$m$的值.
答案
(法一)将 $x_1=1$ 代入原方程，得$1^2-6×1+2m-1=0$，解得 $m=3$，$\therefore$原方程化为 $x^2-6x+5=0$.
由根与系数的关系，得 $x_1+x_2=6$，$\therefore x_2=6-x_1=6-1=5$.
(法二)根据题意，得 $x_1+x_2=6$，$x_1x_2=2m-1$，
$\because x_1=1$，
$\therefore x_2=5$，$2m-1=5$，
$\therefore m=3$.
由根与系数的关系，得 $x_1+x_2=6$，$\therefore x_2=6-x_1=6-1=5$.
(法二)根据题意，得 $x_1+x_2=6$，$x_1x_2=2m-1$，
$\because x_1=1$，
$\therefore x_2=5$，$2m-1=5$，
$\therefore m=3$.
【变式】(2026河北)已知关于$x$的一元二次方程$x^2 + \frac{1}{4}x + m = 0$有两个实数根，其中一个根是另一个根的平方，则$m=$
$-\frac{1}{8}$
。答案
$-\frac{1}{8}$
1. (2026 绥化)已知 $ x_1, x_2 $ 是一元二次方程 $ x^2 + 2x - 9 = 0 $ 的两个根，则 $ x_1 + x_2 - 2x_1x_2 $ 的值为 (
A.16
B.-16
C.20
D.-20
A
)A.16
B.-16
C.20
D.-20
答案
A
