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1.(南宁)若二次根式$\sqrt{x-2}$有意义，则x的取值范围是
x≥2
。答案
1. x≥2
解析
【分析】
要解决二次根式有意义的取值范围问题，首先回忆二次根式的相关规则：二次根式有意义的核心条件是被开方数为非负数（即大于等于0）。本题中二次根式的被开方数是x-2，因此只需让x-2≥0，解这个一元一次不等式就能得到x的取值范围。
【解析】
解：要使二次根式$\sqrt{x-2}$有意义，需满足被开方数为非负数，据此列不等式：
$x-2 ≥ 0$
移项解得：$x ≥ 2$
【答案】
$x≥2$
【知识点】
二次根式有意义的条件；解一元一次不等式
【点评】
本题是基础常考题型，考查二次根式的基本性质，只要牢记被开方数的非负性，结合简单的不等式运算即可快速解题。
【难度系数】
0.9
要解决二次根式有意义的取值范围问题，首先回忆二次根式的相关规则：二次根式有意义的核心条件是被开方数为非负数（即大于等于0）。本题中二次根式的被开方数是x-2，因此只需让x-2≥0，解这个一元一次不等式就能得到x的取值范围。
【解析】
解：要使二次根式$\sqrt{x-2}$有意义，需满足被开方数为非负数，据此列不等式：
$x-2 ≥ 0$
移项解得：$x ≥ 2$
【答案】
$x≥2$
【知识点】
二次根式有意义的条件；解一元一次不等式
【点评】
本题是基础常考题型，考查二次根式的基本性质，只要牢记被开方数的非负性，结合简单的不等式运算即可快速解题。
【难度系数】
0.9
2.(烟台)在函数$y=\frac{\sqrt{1-x}}{x+2}$中，自变量x的取值范围是
x≤1且x≠-2
。答案
2. x≤1且x≠-2
解析
【分析】
要确定函数自变量x的取值范围，需结合函数的组成部分分析限制条件：①函数含二次根式，根据二次根式的性质，被开方数必须为非负数；②函数含分式，根据分式的定义，分母不能为0。分别列出两个限制条件对应的不等式，求解后取两个解集的公共部分，就是自变量的取值范围。
【解析】
根据函数有意义的条件，可列不等式组：
$\begin{cases}1-x≥0 & \mathrm{（二次根式被开方数非负）} \\x+2≠0 & \mathrm{（分式分母不为0）}\end{cases}$
解不等式$1-x≥0$，移项得：$x≤1$；
解不等式$x+2≠0$，得：$x≠-2$；
综上，自变量x的取值范围是$x≤1$且$x≠-2$。
【答案】
x≤1且x≠-2
【知识点】
函数自变量取值范围；二次根式有意义的条件；分式有意义的条件
【点评】
本题是基础题型，解题的关键是明确不同代数式有意义的限制条件，需注意当多个限制条件同时存在时，取值范围要同时满足所有条件，避免遗漏分母不为0的限制。
【难度系数】
0.8
要确定函数自变量x的取值范围，需结合函数的组成部分分析限制条件：①函数含二次根式，根据二次根式的性质，被开方数必须为非负数；②函数含分式，根据分式的定义，分母不能为0。分别列出两个限制条件对应的不等式，求解后取两个解集的公共部分，就是自变量的取值范围。
【解析】
根据函数有意义的条件，可列不等式组：
$\begin{cases}1-x≥0 & \mathrm{（二次根式被开方数非负）} \\x+2≠0 & \mathrm{（分式分母不为0）}\end{cases}$
解不等式$1-x≥0$，移项得：$x≤1$；
解不等式$x+2≠0$，得：$x≠-2$；
综上，自变量x的取值范围是$x≤1$且$x≠-2$。
【答案】
x≤1且x≠-2
【知识点】
函数自变量取值范围；二次根式有意义的条件；分式有意义的条件
【点评】
本题是基础题型，解题的关键是明确不同代数式有意义的限制条件，需注意当多个限制条件同时存在时，取值范围要同时满足所有条件，避免遗漏分母不为0的限制。
【难度系数】
0.8
3.(白银)已知$x,y$都是实数，并且满足等式$y = \sqrt{x^2 - 9} - \sqrt{9 - x^2} + 4$，那么$x - y$的值是
-1或-7
。答案
3. -1或-7
解析
【分析】
要解决这道题，首先回忆二次根式有意义的条件：被开方数必须为非负数。等式右侧包含两个二次根式$\sqrt{x^2-9}$和$\sqrt{9-x^2}$，因此两个被开方数都需要满足非负要求，联立不等式即可求出$x$的取值，再代入原式求出$y$的值，最后分情况计算$x-y$即可。
【解析】
根据二次根式有意义的条件，被开方数非负，可得：
$\begin{cases}x^2 - 9 ≥ 0 \\9 - x^2 ≥ 0\end{cases}$
由第一个不等式得$x^2 ≥ 9$，第二个不等式得$x^2 ≤ 9$，因此$x^2=9$，解得$x=3$或$x=-3$。
将$x^2=9$代入原式$y = \sqrt{x^2 - 9} - \sqrt{9 - x^2} + 4$，得：
$y = \sqrt{0} - \sqrt{0} + 4 = 4$
当$x=3$时，$x-y=3-4=-1$；
当$x=-3$时，$x-y=-3-4=-7$。
【答案】
-1或-7
【知识点】
二次根式有意义的条件、代数式求值、平方根的性质
【点评】
本题重点考查二次根式有意义条件的应用，解题关键是通过被开方数的非负性锁定$x$的取值，易错点是容易遗漏$x=-3$的情况，导致少算一个解。
【难度系数】
0.7
要解决这道题，首先回忆二次根式有意义的条件：被开方数必须为非负数。等式右侧包含两个二次根式$\sqrt{x^2-9}$和$\sqrt{9-x^2}$，因此两个被开方数都需要满足非负要求，联立不等式即可求出$x$的取值，再代入原式求出$y$的值，最后分情况计算$x-y$即可。
【解析】
根据二次根式有意义的条件，被开方数非负，可得：
$\begin{cases}x^2 - 9 ≥ 0 \\9 - x^2 ≥ 0\end{cases}$
由第一个不等式得$x^2 ≥ 9$，第二个不等式得$x^2 ≤ 9$，因此$x^2=9$，解得$x=3$或$x=-3$。
将$x^2=9$代入原式$y = \sqrt{x^2 - 9} - \sqrt{9 - x^2} + 4$，得：
$y = \sqrt{0} - \sqrt{0} + 4 = 4$
当$x=3$时，$x-y=3-4=-1$；
当$x=-3$时，$x-y=-3-4=-7$。
【答案】
-1或-7
【知识点】
二次根式有意义的条件、代数式求值、平方根的性质
【点评】
本题重点考查二次根式有意义条件的应用，解题关键是通过被开方数的非负性锁定$x$的取值，易错点是容易遗漏$x=-3$的情况，导致少算一个解。
【难度系数】
0.7
4.(广东)如果实数$a,b$满足$|a+2|+\sqrt{b-4}=0$，那么$\dfrac{a^2}{b}=$
1
.答案
4. 1
解析
【分析】
已知等式是绝对值与算术平方根的和为0的形式，我们学过绝对值和算术平方根都具有非负性（即运算结果≥0），两个非负数相加得0，说明每个非负数的取值都为0，据此可分别列方程求出a、b的取值，再代入所求分式计算即可得到结果。
【解析】
解：
∵ 绝对值和算术平方根均为非负数，即$|a+2|≥0$，$\sqrt{b-4}≥0$，且$|a+2|+\sqrt{b-4}=0$
∴ $\begin{cases}a+2=0 \\ b-4=0\end{cases}$
解得 $\begin{cases}a=-2 \\ b=4\end{cases}$
将$a=-2$，$b=4$代入$\dfrac{a^2}{b}$得：
$\dfrac{a^2}{b}=\dfrac{(-2)^2}{4}=\dfrac{4}{4}=1$
【答案】
1
【知识点】
非负数的性质；代数式求值
【点评】
本题是基础计算题，核心考查非负数的性质，熟练掌握“若几个非负数的和为0，则每个非负数均为0”是解题的关键，计算时注意平方运算的符号规则即可。
【难度系数】
0.8
已知等式是绝对值与算术平方根的和为0的形式，我们学过绝对值和算术平方根都具有非负性（即运算结果≥0），两个非负数相加得0，说明每个非负数的取值都为0，据此可分别列方程求出a、b的取值，再代入所求分式计算即可得到结果。
【解析】
解：
∵ 绝对值和算术平方根均为非负数，即$|a+2|≥0$，$\sqrt{b-4}≥0$，且$|a+2|+\sqrt{b-4}=0$
∴ $\begin{cases}a+2=0 \\ b-4=0\end{cases}$
解得 $\begin{cases}a=-2 \\ b=4\end{cases}$
将$a=-2$，$b=4$代入$\dfrac{a^2}{b}$得：
$\dfrac{a^2}{b}=\dfrac{(-2)^2}{4}=\dfrac{4}{4}=1$
【答案】
1
【知识点】
非负数的性质；代数式求值
【点评】
本题是基础计算题，核心考查非负数的性质，熟练掌握“若几个非负数的和为0，则每个非负数均为0”是解题的关键，计算时注意平方运算的符号规则即可。
【难度系数】
0.8
5.(黄石)最简根式$\sqrt[a+b]{3a}$与$\sqrt{a+2b}$是同类二次根式，则$ab=$
1
.答案
5. 1
解析
【分析】
要解决这道题，首先明确同类二次根式的核心判定条件：①都是二次根式，即根指数为2；②化为最简二次根式后，被开方数完全相同。题目已经说明两个根式是最简根式，因此直接根据两个判定条件列二元一次方程组，求解出a、b的值后，即可计算ab的结果。
【解析】
解：
∵最简根式$\sqrt[a+b]{3a}$与$\sqrt{a+2b}$是同类二次根式
∴根据同类二次根式的定义可列方程组：
$\begin{cases}a+b=2\quad(\mathrm{二次根式的根指数为2})\\3a=a+2b\quad(\mathrm{最简二次根式的被开方数相同})\end{cases}$
整理第二个方程得：$2a=2b$，即$a=b$
将$a=b$代入$a+b=2$，得$2a=2$，解得$a=1$
∴$b=a=1$
∴$ab=1×1=1$
【答案】
1
【知识点】
同类二次根式的定义；二元一次方程组的解法；最简二次根式的定义
【点评】
本题属于基础概念应用题，核心是对同类二次根式概念的准确理解，容易出错的点是容易忽略“根指数为2”这个隐含条件，只要掌握同类二次根式的两个判定要求，就能顺利列方程求解。
【难度系数】
0.7
要解决这道题，首先明确同类二次根式的核心判定条件：①都是二次根式，即根指数为2；②化为最简二次根式后，被开方数完全相同。题目已经说明两个根式是最简根式，因此直接根据两个判定条件列二元一次方程组，求解出a、b的值后，即可计算ab的结果。
【解析】
解：
∵最简根式$\sqrt[a+b]{3a}$与$\sqrt{a+2b}$是同类二次根式
∴根据同类二次根式的定义可列方程组：
$\begin{cases}a+b=2\quad(\mathrm{二次根式的根指数为2})\\3a=a+2b\quad(\mathrm{最简二次根式的被开方数相同})\end{cases}$
整理第二个方程得：$2a=2b$，即$a=b$
将$a=b$代入$a+b=2$，得$2a=2$，解得$a=1$
∴$b=a=1$
∴$ab=1×1=1$
【答案】
1
【知识点】
同类二次根式的定义；二元一次方程组的解法；最简二次根式的定义
【点评】
本题属于基础概念应用题，核心是对同类二次根式概念的准确理解，容易出错的点是容易忽略“根指数为2”这个隐含条件，只要掌握同类二次根式的两个判定要求，就能顺利列方程求解。
【难度系数】
0.7
6.(南京)计算：$\frac{3}{\sqrt{2}} - \sqrt{\frac{1}{2}} =$
$\sqrt{2}$
.答案
6. $\sqrt{2}$
解析
【分析】
这是二次根式的减法运算，解题思路清晰：首先需要将算式中的两个二次根式都化为最简二次根式，其中分母含有根号的项要先做分母有理化处理；之后再合并化简后得到的同类二次根式，即可算出结果。
【解析】
解：先对原式中的两项分别化简：
1. 化简$\frac{3}{\sqrt{2}}$：对其做分母有理化，分子、分母同乘$\sqrt{2}$，可得$\frac{3×\sqrt{2}}{\sqrt{2}×\sqrt{2}}=\frac{3\sqrt{2}}{2}$；
2. 化简$\sqrt{\frac{1}{2}}$：根据二次根式的性质可得$\sqrt{\frac{1}{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$；
3. 代入原式计算：$\frac{3}{\sqrt{2}} - \sqrt{\frac{1}{2}}=\frac{3\sqrt{2}}{2}-\frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{2\sqrt{2}}{2}=\sqrt{2}$。
【答案】
$\sqrt{2}$
【知识点】
二次根式化简、分母有理化、同类二次根式合并
【点评】
本题是二次根式运算的基础题型，核心考查最简二次根式的化简规则和同类二次根式的合并方法，计算时遵循“先化简、再运算”的原则即可顺利解答。
【难度系数】
0.8
这是二次根式的减法运算，解题思路清晰：首先需要将算式中的两个二次根式都化为最简二次根式，其中分母含有根号的项要先做分母有理化处理；之后再合并化简后得到的同类二次根式，即可算出结果。
【解析】
解：先对原式中的两项分别化简：
1. 化简$\frac{3}{\sqrt{2}}$：对其做分母有理化，分子、分母同乘$\sqrt{2}$，可得$\frac{3×\sqrt{2}}{\sqrt{2}×\sqrt{2}}=\frac{3\sqrt{2}}{2}$；
2. 化简$\sqrt{\frac{1}{2}}$：根据二次根式的性质可得$\sqrt{\frac{1}{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$；
3. 代入原式计算：$\frac{3}{\sqrt{2}} - \sqrt{\frac{1}{2}}=\frac{3\sqrt{2}}{2}-\frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{2\sqrt{2}}{2}=\sqrt{2}$。
【答案】
$\sqrt{2}$
【知识点】
二次根式化简、分母有理化、同类二次根式合并
【点评】
本题是二次根式运算的基础题型，核心考查最简二次根式的化简规则和同类二次根式的合并方法，计算时遵循“先化简、再运算”的原则即可顺利解答。
【难度系数】
0.8
7.(益阳)若计算$\sqrt{12} × m$的结果是正整数，则无理数$m$的值可以是
如$\sqrt{3}$等
.答案
7. 如$\sqrt{3}$等
解析
【分析】
解题时先对已知的二次根式$\sqrt{12}$进行化简，得到最简形式后，结合“乘积为正整数、$m$为无理数”两个要求推导$m$的特征：化简后$\sqrt{12}=2\sqrt{3}$，要让$2\sqrt{3}$与$m$的乘积是正整数，需要相乘后消去根号，且$m$本身是无理数，因此$m$只需是含有$\sqrt{3}$的无理数即可，最简单的取值就是$\sqrt{3}$。
【解析】
第一步先化简二次根式：
$\sqrt{12} = \sqrt{4 × 3} = 2\sqrt{3}$
第二步结合要求确定$m$的取值：
若$2\sqrt{3} × m$的结果为正整数，且$m$为无理数，则$m$需满足与$\sqrt{3}$相乘后可消去根号，例如取$m=\sqrt{3}$，此时计算得：
$\sqrt{12} × \sqrt{3} = 2\sqrt{3} × \sqrt{3} = 2 × 3 = 6$
6是正整数，且$\sqrt{3}$是无理数，符合题意。（答案不唯一，$2\sqrt{3}$等也符合要求）
【答案】
$\sqrt{3}$（答案不唯一）
【知识点】
二次根式化简；二次根式乘法运算；无理数的概念
【点评】
本题属于开放性基础题，解题的核心是先将已知二次根式化为最简形式，再根据运算结果的要求和无理数的限制确定$m$的取值，答案不唯一，满足条件即可。
【难度系数】
0.7
解题时先对已知的二次根式$\sqrt{12}$进行化简，得到最简形式后，结合“乘积为正整数、$m$为无理数”两个要求推导$m$的特征：化简后$\sqrt{12}=2\sqrt{3}$，要让$2\sqrt{3}$与$m$的乘积是正整数，需要相乘后消去根号，且$m$本身是无理数，因此$m$只需是含有$\sqrt{3}$的无理数即可，最简单的取值就是$\sqrt{3}$。
【解析】
第一步先化简二次根式：
$\sqrt{12} = \sqrt{4 × 3} = 2\sqrt{3}$
第二步结合要求确定$m$的取值：
若$2\sqrt{3} × m$的结果为正整数，且$m$为无理数，则$m$需满足与$\sqrt{3}$相乘后可消去根号，例如取$m=\sqrt{3}$，此时计算得：
$\sqrt{12} × \sqrt{3} = 2\sqrt{3} × \sqrt{3} = 2 × 3 = 6$
6是正整数，且$\sqrt{3}$是无理数，符合题意。（答案不唯一，$2\sqrt{3}$等也符合要求）
【答案】
$\sqrt{3}$（答案不唯一）
【知识点】
二次根式化简；二次根式乘法运算；无理数的概念
【点评】
本题属于开放性基础题，解题的核心是先将已知二次根式化为最简形式，再根据运算结果的要求和无理数的限制确定$m$的取值，答案不唯一，满足条件即可。
【难度系数】
0.7
8.(泰安)化简：$\sqrt{3}(\sqrt{2}-\sqrt{3}) - |\sqrt{6}-3| - \sqrt{24} = \_\_\_\_\_\_.$
答案
8. -6
解析
【分析】
本题属于二次根式的混合运算类题目，解题思路可分为三步：第一步利用乘法分配律计算二次根式的乘法，第二步先判断绝对值内式子的正负，再根据绝对值的性质去绝对值符号，第三步化简所有二次根式，最后合并同类二次根式得到结果。
【解析】
解：
1. 展开乘法项：
$\sqrt{3}(\sqrt{2}-\sqrt{3})=\sqrt{3}×\sqrt{2}-\sqrt{3}×\sqrt{3}=\sqrt{6}-3$
2. 化简绝对值：
$\because\sqrt{6}\approx2.45＜3$，$\therefore\sqrt{6}-3＜0$，故$|\sqrt{6}-3|=3-\sqrt{6}$
3. 化简二次根式：
$\sqrt{24}=\sqrt{4×6}=2\sqrt{6}$
4. 代入原式合并计算：
$\begin{aligned}原式&=\sqrt{6}-3-(3-\sqrt{6})-2\sqrt{6}\\&=\sqrt{6}-3-3+\sqrt{6}-2\sqrt{6}\\&=(\sqrt{6}+\sqrt{6}-2\sqrt{6})+(-3-3)\\&=0-6\\&=-6\end{aligned}$
【答案】
-6
【知识点】
二次根式混合运算，绝对值化简，二次根式化简
【点评】
本题是基础运算题，解题的关键是先判断绝对值内表达式的正负，去绝对值时注意符号变化，同时要准确化简二次根式，合并同类项时不要漏项或算错符号。
【难度系数】
0.7
本题属于二次根式的混合运算类题目，解题思路可分为三步：第一步利用乘法分配律计算二次根式的乘法，第二步先判断绝对值内式子的正负，再根据绝对值的性质去绝对值符号，第三步化简所有二次根式，最后合并同类二次根式得到结果。
【解析】
解：
1. 展开乘法项：
$\sqrt{3}(\sqrt{2}-\sqrt{3})=\sqrt{3}×\sqrt{2}-\sqrt{3}×\sqrt{3}=\sqrt{6}-3$
2. 化简绝对值：
$\because\sqrt{6}\approx2.45＜3$，$\therefore\sqrt{6}-3＜0$，故$|\sqrt{6}-3|=3-\sqrt{6}$
3. 化简二次根式：
$\sqrt{24}=\sqrt{4×6}=2\sqrt{6}$
4. 代入原式合并计算：
$\begin{aligned}原式&=\sqrt{6}-3-(3-\sqrt{6})-2\sqrt{6}\\&=\sqrt{6}-3-3+\sqrt{6}-2\sqrt{6}\\&=(\sqrt{6}+\sqrt{6}-2\sqrt{6})+(-3-3)\\&=0-6\\&=-6\end{aligned}$
【答案】
-6
【知识点】
二次根式混合运算，绝对值化简，二次根式化简
【点评】
本题是基础运算题，解题的关键是先判断绝对值内表达式的正负，去绝对值时注意符号变化，同时要准确化简二次根式，合并同类项时不要漏项或算错符号。
【难度系数】
0.7
9.(包头)计算：
$6\sqrt{\dfrac{1}{3}} - (\sqrt{3} + 1)^2 = \_\_\_\_\_\_.$
$6\sqrt{\dfrac{1}{3}} - (\sqrt{3} + 1)^2 = \_\_\_\_\_\_.$
答案
9. -4
解析
【分析】
本题属于二次根式的混合运算题，解题思路可分为三步：第一步先将第一项的非最简二次根式化为最简二次根式；第二步利用完全平方公式展开第二项的完全平方式；第三步去括号后合并同类二次根式即可得到结果，注意去括号时如果括号前是负号，括号内各项要变号。
【解析】
解：先分别化简各项：
1. 化简$6\sqrt{\dfrac{1}{3}}$：
$6\sqrt{\dfrac{1}{3}} = 6× \dfrac{\sqrt{3}}{3} = 2\sqrt{3}$
2. 展开$(\sqrt{3}+1)^2$，利用完全平方公式$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$：
$(\sqrt{3}+1)^2 = (\sqrt{3})^2 + 2×\sqrt{3}×1 + 1^2 = 3 + 2\sqrt{3} + 1 = 4 + 2\sqrt{3}$
3. 代入原式计算：
$\begin{aligned}原式 &= 2\sqrt{3} - (4 + 2\sqrt{3}) \\&= 2\sqrt{3} - 4 - 2\sqrt{3} \\&= -4\end{aligned}$
【答案】
$-4$
【知识点】
二次根式的化简；完全平方公式；二次根式的混合运算
【点评】
本题是二次根式运算的常规基础题，解题的核心是熟练掌握二次根式的化简方法和整式运算公式，计算时注意去括号的符号规则，避免因符号错误丢分。
【难度系数】
0.7
本题属于二次根式的混合运算题，解题思路可分为三步：第一步先将第一项的非最简二次根式化为最简二次根式；第二步利用完全平方公式展开第二项的完全平方式；第三步去括号后合并同类二次根式即可得到结果，注意去括号时如果括号前是负号，括号内各项要变号。
【解析】
解：先分别化简各项：
1. 化简$6\sqrt{\dfrac{1}{3}}$：
$6\sqrt{\dfrac{1}{3}} = 6× \dfrac{\sqrt{3}}{3} = 2\sqrt{3}$
2. 展开$(\sqrt{3}+1)^2$，利用完全平方公式$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$：
$(\sqrt{3}+1)^2 = (\sqrt{3})^2 + 2×\sqrt{3}×1 + 1^2 = 3 + 2\sqrt{3} + 1 = 4 + 2\sqrt{3}$
3. 代入原式计算：
$\begin{aligned}原式 &= 2\sqrt{3} - (4 + 2\sqrt{3}) \\&= 2\sqrt{3} - 4 - 2\sqrt{3} \\&= -4\end{aligned}$
【答案】
$-4$
【知识点】
二次根式的化简；完全平方公式；二次根式的混合运算
【点评】
本题是二次根式运算的常规基础题，解题的核心是熟练掌握二次根式的化简方法和整式运算公式，计算时注意去括号的符号规则，避免因符号错误丢分。
【难度系数】
0.7
10.(青岛)计算：$( \sqrt{8} + \sqrt{\frac{1}{2}} )$
$\sqrt{2} =$
$\sqrt{2} =$ 5
答案
10. 5
解析
【分析】
本题考查二次根式的混合运算，解题时可利用乘法分配律简化计算：首先将括号外的$\sqrt{2}$分别与括号内的两个二次根式相乘，再根据二次根式的乘法法则分别计算每一项的结果，最后将所得结果相加即可得到最终答案。
【解析】
根据乘法分配律展开计算：
$\begin{aligned}(\sqrt{8}+\sqrt{\frac{1}{2}})×\sqrt{2}&=\sqrt{8}×\sqrt{2}+\sqrt{\frac{1}{2}}×\sqrt{2}\\&=\sqrt{8×2}+\sqrt{\frac{1}{2}×2}\\&=\sqrt{16}+\sqrt{1}\\&=4+1\\&=5\end{aligned}$
【答案】
5
【知识点】
二次根式乘法运算、乘法分配律、二次根式化简
【点评】
本题是二次根式运算的基础题型，重点考查运算律在二次根式计算中的应用，熟练掌握二次根式的运算法则就能快速求解。
【难度系数】
0.8
本题考查二次根式的混合运算，解题时可利用乘法分配律简化计算：首先将括号外的$\sqrt{2}$分别与括号内的两个二次根式相乘，再根据二次根式的乘法法则分别计算每一项的结果，最后将所得结果相加即可得到最终答案。
【解析】
根据乘法分配律展开计算：
$\begin{aligned}(\sqrt{8}+\sqrt{\frac{1}{2}})×\sqrt{2}&=\sqrt{8}×\sqrt{2}+\sqrt{\frac{1}{2}}×\sqrt{2}\\&=\sqrt{8×2}+\sqrt{\frac{1}{2}×2}\\&=\sqrt{16}+\sqrt{1}\\&=4+1\\&=5\end{aligned}$
【答案】
5
【知识点】
二次根式乘法运算、乘法分配律、二次根式化简
【点评】
本题是二次根式运算的基础题型，重点考查运算律在二次根式计算中的应用，熟练掌握二次根式的运算法则就能快速求解。
【难度系数】
0.8
11.(凉山)已知$x_1=\sqrt{3}+\sqrt{2},x_2=\sqrt{3}-\sqrt{2}$,则$x_1^2 + x_2^2 =$
10
.答案
11. 10
解析
【分析】
遇到求两个数的平方和的问题，若直接代入两个含二次根式的数计算，运算量较大易出错。我们可以利用完全平方公式的变形：$x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2$，先分别求出两个数的和与积，再代入变形后的公式计算，能大幅简化运算步骤。
【解析】
首先利用完全平方公式将待求式变形：
$x_1^2 + x_2^2=(x_1+x_2)^2 - 2x_1x_2$
1. 计算$x_1+x_2$：
$x_1+x_2=(\sqrt{3}+\sqrt{2})+(\sqrt{3}-\sqrt{2})=2\sqrt{3}$
2. 计算$x_1x_2$，利用平方差公式简化运算：
$x_1x_2=(\sqrt{3}+\sqrt{2})(\sqrt{3}-\sqrt{2})=(\sqrt{3})^2 - (\sqrt{2})^2=3-2=1$
3. 代入变形后的式子计算：
$(2\sqrt{3})^2 - 2×1=12 - 2=10$
【答案】
10
【知识点】
完全平方公式变形，二次根式运算，平方差公式
【点评】
本题考查代数式的化简求值，选择合适的公式进行变形是解题的关键，能有效避免直接代入计算的繁琐，是代数求值类问题的常用技巧。
【难度系数】
0.8
遇到求两个数的平方和的问题，若直接代入两个含二次根式的数计算，运算量较大易出错。我们可以利用完全平方公式的变形：$x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2$，先分别求出两个数的和与积，再代入变形后的公式计算，能大幅简化运算步骤。
【解析】
首先利用完全平方公式将待求式变形：
$x_1^2 + x_2^2=(x_1+x_2)^2 - 2x_1x_2$
1. 计算$x_1+x_2$：
$x_1+x_2=(\sqrt{3}+\sqrt{2})+(\sqrt{3}-\sqrt{2})=2\sqrt{3}$
2. 计算$x_1x_2$，利用平方差公式简化运算：
$x_1x_2=(\sqrt{3}+\sqrt{2})(\sqrt{3}-\sqrt{2})=(\sqrt{3})^2 - (\sqrt{2})^2=3-2=1$
3. 代入变形后的式子计算：
$(2\sqrt{3})^2 - 2×1=12 - 2=10$
【答案】
10
【知识点】
完全平方公式变形，二次根式运算，平方差公式
【点评】
本题考查代数式的化简求值，选择合适的公式进行变形是解题的关键，能有效避免直接代入计算的繁琐，是代数求值类问题的常用技巧。
【难度系数】
0.8
12.(潍坊)若代数式$\frac{\sqrt{x+1}}{(x-3)^2}$有意义，则实数$x$的取值范围是 ……………………【 】
A.$x≥ -1$
B.$x≥ -1$且$x≠3$
C.$x＞ -1$
D.$x＞ -1$且$x≠3$
A.$x≥ -1$
B.$x≥ -1$且$x≠3$
C.$x＞ -1$
D.$x＞ -1$且$x≠3$
答案
B
解析
【分析】
要确定代数式有意义时x的取值范围，需分别分析代数式中各部分的限制条件：首先，代数式包含二次根式，根据二次根式的定义，被开方数必须是非负数；其次，代数式是分式形式，分母不能为0。最后取两个限制条件的公共解集，就是x的取值范围。
【解析】
要使代数式$\frac{\sqrt{x+1}}{(x-3)^2}$有意义，需同时满足以下两个条件：
1. 二次根式的被开方数非负：$x+1≥0$，解得$x≥-1$；
2. 分式的分母不为0：$(x-3)^2≠0$，即$x-3≠0$，解得$x≠3$。
综合两个条件，实数$x$的取值范围是$x≥-1$且$x≠3$。
【答案】
B
【知识点】
二次根式有意义的条件，分式有意义的条件
【点评】
本题是代数式有意义的常规考查题，解题时需注意要同时满足所有限制条件，不要遗漏分母不为0的要求，也不要混淆二次根式被开方数的非负条件。
【难度系数】
0.8
要确定代数式有意义时x的取值范围，需分别分析代数式中各部分的限制条件：首先，代数式包含二次根式，根据二次根式的定义，被开方数必须是非负数；其次，代数式是分式形式，分母不能为0。最后取两个限制条件的公共解集，就是x的取值范围。
【解析】
要使代数式$\frac{\sqrt{x+1}}{(x-3)^2}$有意义，需同时满足以下两个条件：
1. 二次根式的被开方数非负：$x+1≥0$，解得$x≥-1$；
2. 分式的分母不为0：$(x-3)^2≠0$，即$x-3≠0$，解得$x≠3$。
综合两个条件，实数$x$的取值范围是$x≥-1$且$x≠3$。
【答案】
B
【知识点】
二次根式有意义的条件，分式有意义的条件
【点评】
本题是代数式有意义的常规考查题，解题时需注意要同时满足所有限制条件，不要遗漏分母不为0的要求，也不要混淆二次根式被开方数的非负条件。
【难度系数】
0.8
13.(上海)下列式子中，是最简二次根式的是……………………【 】
A.$\sqrt{9}$
B.$\sqrt{7}$
C.$\sqrt{20}$
D.$\sqrt{\dfrac{1}{3}}$
A.$\sqrt{9}$
B.$\sqrt{7}$
C.$\sqrt{20}$
D.$\sqrt{\dfrac{1}{3}}$
答案
B
解析
【分析】
要判断哪个是最简二次根式，首先要明确最简二次根式需满足两个条件：①被开方数不含分母；②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。解题时我们只要对照这两个条件，逐个分析选项即可选出正确答案。
【解析】
我们根据最简二次根式的判定条件逐一分析选项：
选项A：$\sqrt{9}$的被开方数9是$3^2$，属于能开得尽方的因数，$\sqrt{9}=3$，因此不是最简二次根式；
选项B：$\sqrt{7}$的被开方数7是质数，不含能开得尽方的因数，也不含分母，符合最简二次根式的条件；
选项C：$\sqrt{20}$的被开方数$20=4×5$，其中4是$2^2$，属于能开得尽方的因数，$\sqrt{20}=2\sqrt{5}$，因此不是最简二次根式；
选项D：$\sqrt{\dfrac{1}{3}}$的被开方数含有分母，化简后为$\dfrac{\sqrt{3}}{3}$，因此不是最简二次根式。
综上，符合条件的是选项B。
【答案】
B
【知识点】
最简二次根式的判定，二次根式的化简
【点评】
本题属于基础题型，核心考查对最简二次根式概念的理解与应用，只要熟练掌握最简二次根式的两个判定条件，就能快速准确答题，是二次根式章节的高频基础考点。
【难度系数】
0.85
要判断哪个是最简二次根式，首先要明确最简二次根式需满足两个条件：①被开方数不含分母；②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。解题时我们只要对照这两个条件，逐个分析选项即可选出正确答案。
【解析】
我们根据最简二次根式的判定条件逐一分析选项：
选项A：$\sqrt{9}$的被开方数9是$3^2$，属于能开得尽方的因数，$\sqrt{9}=3$，因此不是最简二次根式；
选项B：$\sqrt{7}$的被开方数7是质数，不含能开得尽方的因数，也不含分母，符合最简二次根式的条件；
选项C：$\sqrt{20}$的被开方数$20=4×5$，其中4是$2^2$，属于能开得尽方的因数，$\sqrt{20}=2\sqrt{5}$，因此不是最简二次根式；
选项D：$\sqrt{\dfrac{1}{3}}$的被开方数含有分母，化简后为$\dfrac{\sqrt{3}}{3}$，因此不是最简二次根式。
综上，符合条件的是选项B。
【答案】
B
【知识点】
最简二次根式的判定，二次根式的化简
【点评】
本题属于基础题型，核心考查对最简二次根式概念的理解与应用，只要熟练掌握最简二次根式的两个判定条件，就能快速准确答题，是二次根式章节的高频基础考点。
【难度系数】
0.85
14.(泰州)下列各组二次根式中，化简后是同类二次根式的是 ………………【 】
A.$\sqrt{8}$与$\sqrt{3}$
B.$\sqrt{2}$与$\sqrt{12}$
C.$\sqrt{5}$与$\sqrt{15}$
D.$\sqrt{75}$与$\sqrt{27}$
A.$\sqrt{8}$与$\sqrt{3}$
B.$\sqrt{2}$与$\sqrt{12}$
C.$\sqrt{5}$与$\sqrt{15}$
D.$\sqrt{75}$与$\sqrt{27}$
答案
D
解析
【分析】要判断各组是否为同类二次根式，首先明确同类二次根式的定义：几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式叫做同类二次根式。因此解题思路为：先将每个选项中不是最简形式的二次根式化简为最简二次根式，再对比化简后的被开方数是否相同，被开方数相同的即为正确选项。
【解析】逐个分析各选项：
A选项：$\sqrt{8}=\sqrt{4×2}=2\sqrt{2}$，与$\sqrt{3}$化简后被开方数分别为2和3，不相同，不是同类二次根式；
B选项：$\sqrt{12}=\sqrt{4×3}=2\sqrt{3}$，与$\sqrt{2}$化简后被开方数分别为3和2，不相同，不是同类二次根式；
C选项：$\sqrt{5}$和$\sqrt{15}$均为最简二次根式，被开方数分别为5和15，不相同，不是同类二次根式；
D选项：$\sqrt{75}=\sqrt{25×3}=5\sqrt{3}$，$\sqrt{27}=\sqrt{9×3}=3\sqrt{3}$，化简后被开方数均为3，是同类二次根式。
【答案】D
【知识点】1.同类二次根式的定义 2.二次根式的化简
【点评】本题属于基础题型，解题的关键是牢记判断同类二次根式前必须先将二次根式化为最简形式，不能直接对比原式根号内的数字，避免因未化简出现判断错误。
【难度系数】0.8
【解析】逐个分析各选项：
A选项：$\sqrt{8}=\sqrt{4×2}=2\sqrt{2}$，与$\sqrt{3}$化简后被开方数分别为2和3，不相同，不是同类二次根式；
B选项：$\sqrt{12}=\sqrt{4×3}=2\sqrt{3}$，与$\sqrt{2}$化简后被开方数分别为3和2，不相同，不是同类二次根式；
C选项：$\sqrt{5}$和$\sqrt{15}$均为最简二次根式，被开方数分别为5和15，不相同，不是同类二次根式；
D选项：$\sqrt{75}=\sqrt{25×3}=5\sqrt{3}$，$\sqrt{27}=\sqrt{9×3}=3\sqrt{3}$，化简后被开方数均为3，是同类二次根式。
【答案】D
【知识点】1.同类二次根式的定义 2.二次根式的化简
【点评】本题属于基础题型，解题的关键是牢记判断同类二次根式前必须先将二次根式化为最简形式，不能直接对比原式根号内的数字，避免因未化简出现判断错误。
【难度系数】0.8
15.(大连)下列计算正确的是…【 】
A.$(-\sqrt{3})^2 = -3$
B.$\sqrt{12} = 2\sqrt{3}$
C.$\sqrt[3]{-1} = 1$
D.$(\sqrt{2}+1)(\sqrt{2}-1) = 3$
A.$(-\sqrt{3})^2 = -3$
B.$\sqrt{12} = 2\sqrt{3}$
C.$\sqrt[3]{-1} = 1$
D.$(\sqrt{2}+1)(\sqrt{2}-1) = 3$
答案
B
解析
【分析】
本题考查根式运算及乘法公式的应用，解题时可逐个分析每个选项，结合对应运算法则判断计算是否正确，最终选出正确选项。具体思考路径：对于涉及平方的选项利用平方的非负性和二次根式的平方运算规则判断；二次根式化简的选项利用二次根式的性质拆分化简；立方根选项结合立方根的符号性质判断；含乘法的选项利用平方差公式计算验证。
【解析】
我们对每个选项逐一计算验证：
选项A：根据平方运算的性质，负数的平方为正数，因此$(-\sqrt{3})^2=(\sqrt{3})^2=3$，该选项计算错误。
选项B：化简二次根式，$\sqrt{12}=\sqrt{4×3}=\sqrt{4}×\sqrt{3}=2\sqrt{3}$，该选项计算正确。
选项C：负数的立方根仍为负数，因为$(-1)^3=-1$，所以$\sqrt[3]{-1}=-1$，该选项计算错误。
选项D：利用平方差公式$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$计算，$(\sqrt{2}+1)(\sqrt{2}-1)=(\sqrt{2})^2-1^2=2-1=1$，该选项计算错误。
综上，计算正确的是选项B。
【答案】
B
【知识点】
二次根式的运算，立方根的运算，平方差公式
【点评】
本题是基础运算类题型，核心考查根式相关的运算法则以及整式乘法公式在根式运算中的应用，只要熟练掌握对应运算规则，就能快速判断出正确结果，是考试中常见的基础题型。
【难度系数】
0.8
本题考查根式运算及乘法公式的应用，解题时可逐个分析每个选项，结合对应运算法则判断计算是否正确，最终选出正确选项。具体思考路径：对于涉及平方的选项利用平方的非负性和二次根式的平方运算规则判断；二次根式化简的选项利用二次根式的性质拆分化简；立方根选项结合立方根的符号性质判断；含乘法的选项利用平方差公式计算验证。
【解析】
我们对每个选项逐一计算验证：
选项A：根据平方运算的性质，负数的平方为正数，因此$(-\sqrt{3})^2=(\sqrt{3})^2=3$，该选项计算错误。
选项B：化简二次根式，$\sqrt{12}=\sqrt{4×3}=\sqrt{4}×\sqrt{3}=2\sqrt{3}$，该选项计算正确。
选项C：负数的立方根仍为负数，因为$(-1)^3=-1$，所以$\sqrt[3]{-1}=-1$，该选项计算错误。
选项D：利用平方差公式$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$计算，$(\sqrt{2}+1)(\sqrt{2}-1)=(\sqrt{2})^2-1^2=2-1=1$，该选项计算错误。
综上，计算正确的是选项B。
【答案】
B
【知识点】
二次根式的运算，立方根的运算，平方差公式
【点评】
本题是基础运算类题型，核心考查根式相关的运算法则以及整式乘法公式在根式运算中的应用，只要熟练掌握对应运算规则，就能快速判断出正确结果，是考试中常见的基础题型。
【难度系数】
0.8
16.(西宁)下列计算正确的是…【 】
A.$\sqrt{2} - 2\sqrt{2} = -\sqrt{2}$
B.$\sqrt{8a^2} = 4a(a ＞ 0)$
C.$\sqrt{(-4) × (-9)} = \sqrt{-4} × \sqrt{-9}$
D.$\sqrt{6} ÷ \sqrt{3} = \sqrt{3}$
A.$\sqrt{2} - 2\sqrt{2} = -\sqrt{2}$
B.$\sqrt{8a^2} = 4a(a ＞ 0)$
C.$\sqrt{(-4) × (-9)} = \sqrt{-4} × \sqrt{-9}$
D.$\sqrt{6} ÷ \sqrt{3} = \sqrt{3}$
答案
A
解析
【分析】
本题考查二次根式的相关性质与运算，解题时需逐个分析每个选项，结合二次根式的合并规则、化简方法、乘除运算法则以及被开方数的非负性判断对错，最终选出正确选项。
【解析】
我们对每个选项逐一验证：
A选项：$\sqrt{2}$和$2\sqrt{2}$是同类二次根式，合并时系数相减，被开方数不变，因此$\sqrt{2}-2\sqrt{2}=(1-2)\sqrt{2}=-\sqrt{2}$，该选项计算正确。
B选项：当$a＞0$时，$\sqrt{8a^2}=\sqrt{4a^2×2}=\sqrt{4a^2}×\sqrt{2}=2a\sqrt{2}≠4a$，该选项计算错误。
C选项：二次根式的被开方数必须为非负数，$\sqrt{-4}$和$\sqrt{-9}$在实数范围内无意义，正确运算应为$\sqrt{(-4)×(-9)}=\sqrt{36}=6$，该选项计算错误。
D选项：根据二次根式除法法则$\sqrt{a}÷\sqrt{b}=\sqrt{\frac{a}{b}}(a≥0,b＞0)$，可得$\sqrt{6}÷\sqrt{3}=\sqrt{\frac{6}{3}}=\sqrt{2}≠\sqrt{3}$，该选项计算错误。
综上，只有A选项计算正确。
【答案】
A
【知识点】
二次根式的合并；二次根式的化简；二次根式的乘除运算
【点评】
本题是二次根式相关的基础常考题，核心考查对二次根式运算法则和性质的掌握，解题时要特别注意二次根式的被开方数必须非负这一前提条件，避免出现运算规则误用的问题。
【难度系数】
0.8
本题考查二次根式的相关性质与运算，解题时需逐个分析每个选项，结合二次根式的合并规则、化简方法、乘除运算法则以及被开方数的非负性判断对错，最终选出正确选项。
【解析】
我们对每个选项逐一验证：
A选项：$\sqrt{2}$和$2\sqrt{2}$是同类二次根式，合并时系数相减，被开方数不变，因此$\sqrt{2}-2\sqrt{2}=(1-2)\sqrt{2}=-\sqrt{2}$，该选项计算正确。
B选项：当$a＞0$时，$\sqrt{8a^2}=\sqrt{4a^2×2}=\sqrt{4a^2}×\sqrt{2}=2a\sqrt{2}≠4a$，该选项计算错误。
C选项：二次根式的被开方数必须为非负数，$\sqrt{-4}$和$\sqrt{-9}$在实数范围内无意义，正确运算应为$\sqrt{(-4)×(-9)}=\sqrt{36}=6$，该选项计算错误。
D选项：根据二次根式除法法则$\sqrt{a}÷\sqrt{b}=\sqrt{\frac{a}{b}}(a≥0,b＞0)$，可得$\sqrt{6}÷\sqrt{3}=\sqrt{\frac{6}{3}}=\sqrt{2}≠\sqrt{3}$，该选项计算错误。
综上，只有A选项计算正确。
【答案】
A
【知识点】
二次根式的合并；二次根式的化简；二次根式的乘除运算
【点评】
本题是二次根式相关的基础常考题，核心考查对二次根式运算法则和性质的掌握，解题时要特别注意二次根式的被开方数必须非负这一前提条件，避免出现运算规则误用的问题。
【难度系数】
0.8
