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17.(临沂)计算$\sqrt{48} - 9\sqrt{\frac{1}{3}}$得到的结果是…………………………【 】
A.$-\sqrt{3}$
B.$\sqrt{3}$
C.$-\frac{11}{3}\sqrt{3}$
D.$\frac{11}{3}\sqrt{3}$
A.$-\sqrt{3}$
B.$\sqrt{3}$
C.$-\frac{11}{3}\sqrt{3}$
D.$\frac{11}{3}\sqrt{3}$
答案
B
解析
【分析】
本题考查二次根式的加减运算，解题思路分为两步：第一步先将算式中的两个二次根式分别化为最简二次根式，第二步再合并同类二次根式得到最终结果。首先回忆最简二次根式的化简方法：被开方数含有能开得尽方的因数或因式时，要将其开方出来；被开方数是分数的，要利用二次根式的性质将分母有理化，最后合并被开方数相同的二次根式即可。
【解析】
解：先分别化简两个二次根式：
1. 化简$\sqrt{48}$：
$\sqrt{48}=\sqrt{16×3}=\sqrt{16}×\sqrt{3}=4\sqrt{3}$
2. 化简$9\sqrt{\frac{1}{3}}$：
$9\sqrt{\frac{1}{3}}=9×\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{3}}=9×\frac{\sqrt{3}}{3}=3\sqrt{3}$
3. 合并同类二次根式：
原式$=4\sqrt{3}-3\sqrt{3}=\sqrt{3}$
因此结果对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
最简二次根式化简；二次根式加减运算；同类二次根式合并
【点评】
本题属于二次根式运算的基础题型，主要考查学生对二次根式化简规则和加减运算法则的掌握程度，熟练掌握最简二次根式的化简方法是解题的关键，整体计算量小，难度较低。
【难度系数】
0.8
本题考查二次根式的加减运算，解题思路分为两步：第一步先将算式中的两个二次根式分别化为最简二次根式，第二步再合并同类二次根式得到最终结果。首先回忆最简二次根式的化简方法：被开方数含有能开得尽方的因数或因式时，要将其开方出来；被开方数是分数的，要利用二次根式的性质将分母有理化，最后合并被开方数相同的二次根式即可。
【解析】
解：先分别化简两个二次根式：
1. 化简$\sqrt{48}$：
$\sqrt{48}=\sqrt{16×3}=\sqrt{16}×\sqrt{3}=4\sqrt{3}$
2. 化简$9\sqrt{\frac{1}{3}}$：
$9\sqrt{\frac{1}{3}}=9×\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{3}}=9×\frac{\sqrt{3}}{3}=3\sqrt{3}$
3. 合并同类二次根式：
原式$=4\sqrt{3}-3\sqrt{3}=\sqrt{3}$
因此结果对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
最简二次根式化简；二次根式加减运算；同类二次根式合并
【点评】
本题属于二次根式运算的基础题型，主要考查学生对二次根式化简规则和加减运算法则的掌握程度，熟练掌握最简二次根式的化简方法是解题的关键，整体计算量小，难度较低。
【难度系数】
0.8
18.(佛山)化简$\sqrt{2} ÷ (\sqrt{2} - 1)$得到的结果是 …………………………………………【 】
A.$2\sqrt{2} - 1$
B.$2 - \sqrt{2}$
C.$1 - \sqrt{2}$
D.$2 + \sqrt{2}$
A.$2\sqrt{2} - 1$
B.$2 - \sqrt{2}$
C.$1 - \sqrt{2}$
D.$2 + \sqrt{2}$
答案
D
解析
【分析】
本题是二次根式的除法化简题，解题核心是对分母进行有理化：首先观察到分母是含有二次根式的减法式$\sqrt{2}-1$，根据平方差公式的特点，它的有理化因式是$\sqrt{2}+1$，将分子分母同时乘这个有理化因式，就可以消去分母中的根号，再分别计算分子、分母的结果就能得到最终化简值，对照选项选出答案即可。
【解析】
首先将除法写成分数形式，再对分母有理化：
$\begin{aligned}\sqrt{2}÷(\sqrt{2}-1)&=\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}-1}\\&=\frac{\sqrt{2}(\sqrt{2}+1)}{(\sqrt{2}-1)(\sqrt{2}+1)}\\&=\frac{\sqrt{2}×\sqrt{2}+\sqrt{2}×1}{(\sqrt{2})^2 - 1^2}\\&=\frac{2+\sqrt{2}}{2-1}\\&=2+\sqrt{2}\end{aligned}$
因此选D选项。
【答案】
D
【知识点】
二次根式化简，分母有理化，平方差公式
【点评】
本题属于二次根式运算的基础题型，解题关键是准确找到分母的有理化因式，借助平方差公式消去分母中的根号，运算过程中要注意乘法分配律的正确应用，避免出现符号或计算错误。
【难度系数】
0.8
本题是二次根式的除法化简题，解题核心是对分母进行有理化：首先观察到分母是含有二次根式的减法式$\sqrt{2}-1$，根据平方差公式的特点，它的有理化因式是$\sqrt{2}+1$，将分子分母同时乘这个有理化因式，就可以消去分母中的根号，再分别计算分子、分母的结果就能得到最终化简值，对照选项选出答案即可。
【解析】
首先将除法写成分数形式，再对分母有理化：
$\begin{aligned}\sqrt{2}÷(\sqrt{2}-1)&=\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}-1}\\&=\frac{\sqrt{2}(\sqrt{2}+1)}{(\sqrt{2}-1)(\sqrt{2}+1)}\\&=\frac{\sqrt{2}×\sqrt{2}+\sqrt{2}×1}{(\sqrt{2})^2 - 1^2}\\&=\frac{2+\sqrt{2}}{2-1}\\&=2+\sqrt{2}\end{aligned}$
因此选D选项。
【答案】
D
【知识点】
二次根式化简，分母有理化，平方差公式
【点评】
本题属于二次根式运算的基础题型，解题关键是准确找到分母的有理化因式，借助平方差公式消去分母中的根号，运算过程中要注意乘法分配律的正确应用，避免出现符号或计算错误。
【难度系数】
0.8
19.(荆州)若x为实数，在“$(\sqrt{3}+1)□x$”的“”中添上一种运算符号(在“+，-，×，÷”中选择)后，运算结果为有理数，则x不可能是 ……………………【 】
A.$\sqrt{3}+1$
B.$\sqrt{3}-1$
C.$2\sqrt{3}$
D.$1-\sqrt{3}$
A.$\sqrt{3}+1$
B.$\sqrt{3}-1$
C.$2\sqrt{3}$
D.$1-\sqrt{3}$
答案
C
解析
【分析】
要判断x不可能是哪个选项，解题思路是：对每个选项给出的x，依次尝试在“”中填入+、-、×、÷四种运算符号，计算结果是否为有理数。若某选项的x无论填入哪种运算符号，结果都是无理数，则该选项即为所求。其中有理数是整数和分数的统称，运算后若无理数部分（含√3的项）能完全抵消或开方得整数，则结果为有理数。
【解析】
我们逐个验证选项：
1. 验证选项A：$x=\sqrt{3}+1$
若填“-”：$(\sqrt{3}+1)-(\sqrt{3}+1)=0$，0是有理数，因此A可能，排除。
2. 验证选项B：$x=\sqrt{3}-1$
若填“×”：根据平方差公式，$(\sqrt{3}+1)(\sqrt{3}-1)=(\sqrt{3})^2-1^2=3-1=2$，2是有理数，因此B可能，排除。
3. 验证选项C：$x=2\sqrt{3}$
填“+”：$(\sqrt{3}+1)+2\sqrt{3}=3\sqrt{3}+1$，含未消去的$\sqrt{3}$，是无理数；
填“-”：$(\sqrt{3}+1)-2\sqrt{3}=1-\sqrt{3}$，含未消去的$\sqrt{3}$，是无理数；
填“×”：$(\sqrt{3}+1)×2\sqrt{3}=6+2\sqrt{3}$，含未消去的$\sqrt{3}$，是无理数；
填“÷”：$(\sqrt{3}+1)÷2\sqrt{3}=\frac{\sqrt{3}(\sqrt{3}+1)}{2×3}=\frac{3+\sqrt{3}}{6}$，含未消去的$\sqrt{3}$，是无理数。
四种运算结果均为无理数，因此C不可能。
4. 验证选项D：$x=1-\sqrt{3}$
若填“+”：$(\sqrt{3}+1)+(1-\sqrt{3})=2$，2是有理数，因此D可能，排除。
【答案】
C
【知识点】
实数的运算；有理数与无理数的概念；平方差公式
【点评】
本题属于基础运算类题型，核心考查对实数运算规则的掌握和有理数、无理数的区分能力，解题时通过逐个验证选项即可快速得出结论，运算中结合平方差公式能提高判断效率。
【难度系数】
0.7
要判断x不可能是哪个选项，解题思路是：对每个选项给出的x，依次尝试在“”中填入+、-、×、÷四种运算符号，计算结果是否为有理数。若某选项的x无论填入哪种运算符号，结果都是无理数，则该选项即为所求。其中有理数是整数和分数的统称，运算后若无理数部分（含√3的项）能完全抵消或开方得整数，则结果为有理数。
【解析】
我们逐个验证选项：
1. 验证选项A：$x=\sqrt{3}+1$
若填“-”：$(\sqrt{3}+1)-(\sqrt{3}+1)=0$，0是有理数，因此A可能，排除。
2. 验证选项B：$x=\sqrt{3}-1$
若填“×”：根据平方差公式，$(\sqrt{3}+1)(\sqrt{3}-1)=(\sqrt{3})^2-1^2=3-1=2$，2是有理数，因此B可能，排除。
3. 验证选项C：$x=2\sqrt{3}$
填“+”：$(\sqrt{3}+1)+2\sqrt{3}=3\sqrt{3}+1$，含未消去的$\sqrt{3}$，是无理数；
填“-”：$(\sqrt{3}+1)-2\sqrt{3}=1-\sqrt{3}$，含未消去的$\sqrt{3}$，是无理数；
填“×”：$(\sqrt{3}+1)×2\sqrt{3}=6+2\sqrt{3}$，含未消去的$\sqrt{3}$，是无理数；
填“÷”：$(\sqrt{3}+1)÷2\sqrt{3}=\frac{\sqrt{3}(\sqrt{3}+1)}{2×3}=\frac{3+\sqrt{3}}{6}$，含未消去的$\sqrt{3}$，是无理数。
四种运算结果均为无理数，因此C不可能。
4. 验证选项D：$x=1-\sqrt{3}$
若填“+”：$(\sqrt{3}+1)+(1-\sqrt{3})=2$，2是有理数，因此D可能，排除。
【答案】
C
【知识点】
实数的运算；有理数与无理数的概念；平方差公式
【点评】
本题属于基础运算类题型，核心考查对实数运算规则的掌握和有理数、无理数的区分能力，解题时通过逐个验证选项即可快速得出结论，运算中结合平方差公式能提高判断效率。
【难度系数】
0.7
20.(济宁)如果$ab＞0$，$a+b＜0$，那么下面各式：①$\sqrt{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$；②$\sqrt{\frac{a}{b}}·\sqrt{\frac{b}{a}}=1$；③$\sqrt{ab}÷\sqrt{\frac{a}{b}}=-b$。正确的是……【 】
A.①②
B.②③
C.①③
D.①②③
A.①②
B.②③
C.①③
D.①②③
答案
B
解析
【分析】
首先根据已知条件判断a、b的符号：由ab＞0可知a、b同号，结合a+b＜0可推出a、b均为负数。再结合二次根式的性质和运算法则逐一验证三个式子：①中$\sqrt{a}$、$\sqrt{b}$的被开方数为负数，二次根式无意义，可直接判定错误；②利用二次根式乘法法则，计算被开方数的乘积再开方即可验证；③利用二次根式除法法则化简后，结合b为负数去绝对值，就能判断是否正确。
【解析】
解：$\because ab＞0$，$a+b＜0$
$\therefore a＜0$，$b＜0$
①$\sqrt{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$中，$\sqrt{a}$和$\sqrt{b}$的被开方数a、b均为负数，二次根式无意义，故①错误；
②$\sqrt{\frac{a}{b}}·\sqrt{\frac{b}{a}}=\sqrt{\frac{a}{b}·\frac{b}{a}}=\sqrt{1}=1$，故②正确；
③$\sqrt{ab}÷\sqrt{\frac{a}{b}}=\sqrt{ab÷\frac{a}{b}}=\sqrt{ab·\frac{b}{a}}=\sqrt{b^2}=|b|$，
$\because b＜0$，$\therefore |b|=-b$，故③正确。
综上，②③正确，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
二次根式有意义的条件；二次根式的乘除运算；绝对值的化简
【点评】
本题解题的核心是先根据不等式确定a、b的符号，再结合二次根式的非负性和运算法则逐一验证结论，要特别注意二次根式的被开方数必须非负，化简结果也为非负数。
【难度系数】
0.65
首先根据已知条件判断a、b的符号：由ab＞0可知a、b同号，结合a+b＜0可推出a、b均为负数。再结合二次根式的性质和运算法则逐一验证三个式子：①中$\sqrt{a}$、$\sqrt{b}$的被开方数为负数，二次根式无意义，可直接判定错误；②利用二次根式乘法法则，计算被开方数的乘积再开方即可验证；③利用二次根式除法法则化简后，结合b为负数去绝对值，就能判断是否正确。
【解析】
解：$\because ab＞0$，$a+b＜0$
$\therefore a＜0$，$b＜0$
①$\sqrt{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$中，$\sqrt{a}$和$\sqrt{b}$的被开方数a、b均为负数，二次根式无意义，故①错误；
②$\sqrt{\frac{a}{b}}·\sqrt{\frac{b}{a}}=\sqrt{\frac{a}{b}·\frac{b}{a}}=\sqrt{1}=1$，故②正确；
③$\sqrt{ab}÷\sqrt{\frac{a}{b}}=\sqrt{ab÷\frac{a}{b}}=\sqrt{ab·\frac{b}{a}}=\sqrt{b^2}=|b|$，
$\because b＜0$，$\therefore |b|=-b$，故③正确。
综上，②③正确，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
二次根式有意义的条件；二次根式的乘除运算；绝对值的化简
【点评】
本题解题的核心是先根据不等式确定a、b的符号，再结合二次根式的非负性和运算法则逐一验证结论，要特别注意二次根式的被开方数必须非负，化简结果也为非负数。
【难度系数】
0.65
21.(张家界)实数$a,b$在数轴上的位置如图1-2-1,且$|a|＞|b|$,化简$\sqrt{a^2} - |a + b|$的结果为 …………………………【 】
A.$2a + b$
B.$-2a + b$
C.$b$
D.$2a - b$
A.$2a + b$
B.$-2a + b$
C.$b$
D.$2a - b$
答案
C
解析
【分析】
解题时首先观察数轴可得a是负数、b是正数，结合已知$|a|＞|b|$可判断出$a+b$的结果为负数；再根据二次根式的性质$\sqrt{a^2}=|a|$，将原式转化为$|a|-|a+b|$；最后根据绝对值的化简规则：正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，去掉绝对值符号后合并同类项即可得到化简结果。
【解析】
由数轴可知：$a＜0$，$b＞0$，
∵$|a|＞|b|$，
∴$a+b＜0$，
根据二次根式的性质可得$\sqrt{a^2}=|a|$，
则原式$=|a|-|a+b|$
$=-a - [-(a+b)]$
$=-a + a + b$
$=b$
【答案】
C
【知识点】
数轴的应用，二次根式的性质，绝对值化简
【点评】
本题是代数式化简的常见题型，解题关键是结合数轴和已知条件判断出相关代数式的正负，再根据二次根式和绝对值的性质正确去绝对值符号，计算时注意去括号的符号变化规则。
【难度系数】
0.7
解题时首先观察数轴可得a是负数、b是正数，结合已知$|a|＞|b|$可判断出$a+b$的结果为负数；再根据二次根式的性质$\sqrt{a^2}=|a|$，将原式转化为$|a|-|a+b|$；最后根据绝对值的化简规则：正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，去掉绝对值符号后合并同类项即可得到化简结果。
【解析】
由数轴可知：$a＜0$，$b＞0$，
∵$|a|＞|b|$，
∴$a+b＜0$，
根据二次根式的性质可得$\sqrt{a^2}=|a|$，
则原式$=|a|-|a+b|$
$=-a - [-(a+b)]$
$=-a + a + b$
$=b$
【答案】
C
【知识点】
数轴的应用，二次根式的性质，绝对值化简
【点评】
本题是代数式化简的常见题型，解题关键是结合数轴和已知条件判断出相关代数式的正负，再根据二次根式和绝对值的性质正确去绝对值符号，计算时注意去括号的符号变化规则。
【难度系数】
0.7
22.(湖州)计算：$\sqrt{8} + |\sqrt{2} - 1|$
答案
$3\sqrt{2}-1$
解析
【分析】
解题时需分两步处理原式的两个部分：第一步先化简二次根式$\sqrt{8}$为最简二次根式；第二步处理绝对值运算，先判断绝对值内$\sqrt{2}-1$的正负性，因为$\sqrt{2}\approx1.414＞1$，可知$\sqrt{2}-1$为正数，根据正数的绝对值等于它本身去掉绝对值符号，最后合并同类二次根式即可得到结果。
【解析】
解：$\begin{aligned}原式&=2\sqrt{2}+(\sqrt{2}-1)\\&=2\sqrt{2}+\sqrt{2}-1\\&=3\sqrt{2}-1\end{aligned}$
【答案】
$3\sqrt{2}-1$
【知识点】
二次根式化简、绝对值的性质、同类二次根式合并
【点评】
本题属于基础运算类题目，核心考查二次根式化简规则和绝对值性质的应用，解题的关键是正确判断绝对值内代数式的正负，熟练掌握同类二次根式的合并方法。
【难度系数】
0.85
解题时需分两步处理原式的两个部分：第一步先化简二次根式$\sqrt{8}$为最简二次根式；第二步处理绝对值运算，先判断绝对值内$\sqrt{2}-1$的正负性，因为$\sqrt{2}\approx1.414＞1$，可知$\sqrt{2}-1$为正数，根据正数的绝对值等于它本身去掉绝对值符号，最后合并同类二次根式即可得到结果。
【解析】
解：$\begin{aligned}原式&=2\sqrt{2}+(\sqrt{2}-1)\\&=2\sqrt{2}+\sqrt{2}-1\\&=3\sqrt{2}-1\end{aligned}$
【答案】
$3\sqrt{2}-1$
【知识点】
二次根式化简、绝对值的性质、同类二次根式合并
【点评】
本题属于基础运算类题目，核心考查二次根式化简规则和绝对值性质的应用，解题的关键是正确判断绝对值内代数式的正负，熟练掌握同类二次根式的合并方法。
【难度系数】
0.85
23.(南通)计算：
$\sqrt{48} ÷ \sqrt{3} - \sqrt{\dfrac{1}{2}} × \sqrt{12} + \sqrt{24}.$
$\sqrt{48} ÷ \sqrt{3} - \sqrt{\dfrac{1}{2}} × \sqrt{12} + \sqrt{24}.$
答案
$4+\sqrt{6}$
解析
【分析】
本题是二次根式的混合运算，解题思路遵循有理数混合运算的顺序：先算乘除，后算加减。首先利用二次根式的乘除法则分别计算除法和乘法部分，再将所有二次根式化为最简二次根式，最后合并同类二次根式即可得到结果。
【解析】
解：原式$=\sqrt{48÷3} - \sqrt{\dfrac{1}{2}×12} + \sqrt{24}$
$=\sqrt{16} - \sqrt{6} + 2\sqrt{6}$
$=4 - \sqrt{6} + 2\sqrt{6}$
$=4 + \sqrt{6}$
【答案】
$4+\sqrt{6}$
【知识点】
二次根式乘除运算；最简二次根式化简；二次根式加减运算
【点评】
本题属于二次根式运算的基础常规题，核心考查二次根式的运算法则和化简能力，计算时需注意运算顺序，合并同类二次根式时要准确判断符号，避免计算失误。
【难度系数】
0.8
本题是二次根式的混合运算，解题思路遵循有理数混合运算的顺序：先算乘除，后算加减。首先利用二次根式的乘除法则分别计算除法和乘法部分，再将所有二次根式化为最简二次根式，最后合并同类二次根式即可得到结果。
【解析】
解：原式$=\sqrt{48÷3} - \sqrt{\dfrac{1}{2}×12} + \sqrt{24}$
$=\sqrt{16} - \sqrt{6} + 2\sqrt{6}$
$=4 - \sqrt{6} + 2\sqrt{6}$
$=4 + \sqrt{6}$
【答案】
$4+\sqrt{6}$
【知识点】
二次根式乘除运算；最简二次根式化简；二次根式加减运算
【点评】
本题属于二次根式运算的基础常规题，核心考查二次根式的运算法则和化简能力，计算时需注意运算顺序，合并同类二次根式时要准确判断符号，避免计算失误。
【难度系数】
0.8
24.(大连)计算:$(\sqrt{3}-2)^{2}+\sqrt{12}+6\sqrt{\frac{1}{3}}.$
答案
24. 7
解析
【分析】
解题时先观察式子结构，式子包含完全平方运算和二次根式的加减运算，解题思路分为三步：第一步利用完全平方公式展开平方项，第二步将所有二次根式化为最简二次根式，第三步合并同类二次根式和常数项即可得到结果。
【解析】
解：
$\begin{aligned}&(\sqrt{3}-2)^2+\sqrt{12}+6\sqrt{\frac{1}{3}}\\=&(\sqrt{3})^2 - 2×\sqrt{3}×2 + 2^2 + 2\sqrt{3} + 6×\frac{\sqrt{3}}{3}\\=&3 - 4\sqrt{3} + 4 + 2\sqrt{3} + 2\sqrt{3}\\=&(3+4) + (-4\sqrt{3}+2\sqrt{3}+2\sqrt{3})\\=&7 + 0\\=&7\end{aligned}$
【答案】
7
【知识点】
完全平方公式，二次根式化简，二次根式加减运算
【点评】
本题是二次根式混合运算的基础题型，核心是掌握完全平方公式的展开规则和二次根式的化简方法，计算时需注意符号判断，避免因展开错误或化简失误丢分。
【难度系数】
0.8
解题时先观察式子结构，式子包含完全平方运算和二次根式的加减运算，解题思路分为三步：第一步利用完全平方公式展开平方项，第二步将所有二次根式化为最简二次根式，第三步合并同类二次根式和常数项即可得到结果。
【解析】
解：
$\begin{aligned}&(\sqrt{3}-2)^2+\sqrt{12}+6\sqrt{\frac{1}{3}}\\=&(\sqrt{3})^2 - 2×\sqrt{3}×2 + 2^2 + 2\sqrt{3} + 6×\frac{\sqrt{3}}{3}\\=&3 - 4\sqrt{3} + 4 + 2\sqrt{3} + 2\sqrt{3}\\=&(3+4) + (-4\sqrt{3}+2\sqrt{3}+2\sqrt{3})\\=&7 + 0\\=&7\end{aligned}$
【答案】
7
【知识点】
完全平方公式，二次根式化简，二次根式加减运算
【点评】
本题是二次根式混合运算的基础题型，核心是掌握完全平方公式的展开规则和二次根式的化简方法，计算时需注意符号判断，避免因展开错误或化简失误丢分。
【难度系数】
0.8
