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25.(滨州)计算：
$\frac{3}{\sqrt{3}} - (\sqrt{3})^2 + (π + \sqrt{3})^0 - \sqrt{27} + |\sqrt{3} - 2|.$
$\frac{3}{\sqrt{3}} - (\sqrt{3})^2 + (π + \sqrt{3})^0 - \sqrt{27} + |\sqrt{3} - 2|.$
答案
$-3\sqrt{3}$
解析
【分析】
本题属于实数的混合运算题，解题思路是先将原式中每一项分别根据对应运算法则化简，再合并同类二次根式和常数项即可得到结果。思考步骤：1. 先处理二次根式相关运算：分母有理化计算$\frac{3}{\sqrt{3}}$、乘方计算$(\sqrt{3})^2$、化简$\sqrt{27}$；2. 计算零指数幂，注意零指数幂的底数不为0时结果为1；3. 化简绝对值，先判断绝对值内$\sqrt{3}-2$的正负，再去绝对值符号；4. 最后把所有化简后的项合并，计算最终结果。
【解析】
分别化简原式的每一项：
1. 分母有理化：$\frac{3}{\sqrt{3}}=\frac{3\sqrt{3}}{\sqrt{3}×\sqrt{3}}=\sqrt{3}$；
2. 二次根式乘方：$(\sqrt{3})^2=3$；
3. 零指数幂：$π+\sqrt{3}≠0$，故$(π+\sqrt{3})^0=1$；
4. 二次根式化简：$\sqrt{27}=\sqrt{9×3}=3\sqrt{3}$；
5. 绝对值化简：$\because\sqrt{3}＜2$，即$\sqrt{3}-2＜0$，$\therefore|\sqrt{3}-2|=2-\sqrt{3}$。
将化简后的项代入原式计算：
$\begin{aligned}原式&=\sqrt{3} - 3 + 1 - 3\sqrt{3} + 2 - \sqrt{3}\\&=(\sqrt{3}-3\sqrt{3}-\sqrt{3}) + (-3+1+2)\\&=-3\sqrt{3}+0\\&=-3\sqrt{3}\end{aligned}$
【答案】
$-3\sqrt{3}$
【知识点】
二次根式运算，零指数幂，绝对值化简
【点评】
本题是实数混合运算的基础题型，解题的核心是熟练掌握各类运算的法则，尤其要注意去绝对值时先判断内部式子的正负性，化简二次根式时要化为最简二次根式，最后合并同类项即可得到正确结果。
【难度系数】
0.7
本题属于实数的混合运算题，解题思路是先将原式中每一项分别根据对应运算法则化简，再合并同类二次根式和常数项即可得到结果。思考步骤：1. 先处理二次根式相关运算：分母有理化计算$\frac{3}{\sqrt{3}}$、乘方计算$(\sqrt{3})^2$、化简$\sqrt{27}$；2. 计算零指数幂，注意零指数幂的底数不为0时结果为1；3. 化简绝对值，先判断绝对值内$\sqrt{3}-2$的正负，再去绝对值符号；4. 最后把所有化简后的项合并，计算最终结果。
【解析】
分别化简原式的每一项：
1. 分母有理化：$\frac{3}{\sqrt{3}}=\frac{3\sqrt{3}}{\sqrt{3}×\sqrt{3}}=\sqrt{3}$；
2. 二次根式乘方：$(\sqrt{3})^2=3$；
3. 零指数幂：$π+\sqrt{3}≠0$，故$(π+\sqrt{3})^0=1$；
4. 二次根式化简：$\sqrt{27}=\sqrt{9×3}=3\sqrt{3}$；
5. 绝对值化简：$\because\sqrt{3}＜2$，即$\sqrt{3}-2＜0$，$\therefore|\sqrt{3}-2|=2-\sqrt{3}$。
将化简后的项代入原式计算：
$\begin{aligned}原式&=\sqrt{3} - 3 + 1 - 3\sqrt{3} + 2 - \sqrt{3}\\&=(\sqrt{3}-3\sqrt{3}-\sqrt{3}) + (-3+1+2)\\&=-3\sqrt{3}+0\\&=-3\sqrt{3}\end{aligned}$
【答案】
$-3\sqrt{3}$
【知识点】
二次根式运算，零指数幂，绝对值化简
【点评】
本题是实数混合运算的基础题型，解题的核心是熟练掌握各类运算的法则，尤其要注意去绝对值时先判断内部式子的正负性，化简二次根式时要化为最简二次根式，最后合并同类项即可得到正确结果。
【难度系数】
0.7
26.(连云港)已知$x=\sqrt{2}-1$，求$x^2+3x-1$的值.
答案
26. 方法一:把 $x$ 的值直接代入,得
原式$= (\sqrt{2}-1)^2 + 3(\sqrt{2}-1) - 1 = \sqrt{2}-1.$
方法二:将代数式配方后再代入 $x$ 的值,得
原式$= (x+1)^2 + x - 2 = \sqrt{2}-1.$
原式$= (\sqrt{2}-1)^2 + 3(\sqrt{2}-1) - 1 = \sqrt{2}-1.$
方法二:将代数式配方后再代入 $x$ 的值,得
原式$= (x+1)^2 + x - 2 = \sqrt{2}-1.$
解析
【分析】
本题是已知含二次根式的x的值，求代数式的值，有两种常见解题思路：
1. 直接代入法：这是代数式求值的最基础方法，已知字母取值时，可直接将x的值代入原式，按照二次根式的运算规则展开计算即可得到结果。
2. 配方法简化计算：观察x的取值为$\sqrt{2}-1$，可得$x+1=\sqrt{2}$，$(x+1)^2$为整数，因此可以先将原式配方变形为含有$(x+1)^2$的形式，再代入计算，能减少根式运算量，降低出错概率。
【解析】
方法一：直接代入计算
将$x=\sqrt{2}-1$代入$x^2+3x-1$，得：
$\begin{aligned}原式&= (\sqrt{2}-1)^2 + 3(\sqrt{2}-1) - 1 \\&= [(\sqrt{2})^2 - 2×\sqrt{2}×1 + 1^2] + (3\sqrt{2} - 3) - 1 \\&= (2 - 2\sqrt{2} + 1) + 3\sqrt{2} - 3 - 1 \\&= 3 - 2\sqrt{2} + 3\sqrt{2} - 4 \\&= \sqrt{2} - 1\end{aligned}$
方法二：配方后代入计算
先对原式变形配方：
$\begin{aligned}x^2+3x-1&= x^2 + 2x + 1 + x - 2 \\&= (x+1)^2 + x - 2\end{aligned}$
由$x=\sqrt{2}-1$得$x+1=\sqrt{2}$，代入上式：
$\begin{aligned}原式&= (\sqrt{2})^2 + (\sqrt{2} - 1) - 2 \\&= 2 + \sqrt{2} -1 -2 \\&= \sqrt{2} -1\end{aligned}$
【答案】
$\sqrt{2}-1$
【知识点】
1. 二次根式运算
2. 代数式求值
3. 配方法应用
【点评】
本题考查代数式求值的常用方法，直接代入法是通用基础方法，配方法可针对含根式的已知条件简化运算，解题时可根据式子特征灵活选择方法，提升计算准确率和效率。
【难度系数】
0.8
本题是已知含二次根式的x的值，求代数式的值，有两种常见解题思路：
1. 直接代入法：这是代数式求值的最基础方法，已知字母取值时，可直接将x的值代入原式，按照二次根式的运算规则展开计算即可得到结果。
2. 配方法简化计算：观察x的取值为$\sqrt{2}-1$，可得$x+1=\sqrt{2}$，$(x+1)^2$为整数，因此可以先将原式配方变形为含有$(x+1)^2$的形式，再代入计算，能减少根式运算量，降低出错概率。
【解析】
方法一：直接代入计算
将$x=\sqrt{2}-1$代入$x^2+3x-1$，得：
$\begin{aligned}原式&= (\sqrt{2}-1)^2 + 3(\sqrt{2}-1) - 1 \\&= [(\sqrt{2})^2 - 2×\sqrt{2}×1 + 1^2] + (3\sqrt{2} - 3) - 1 \\&= (2 - 2\sqrt{2} + 1) + 3\sqrt{2} - 3 - 1 \\&= 3 - 2\sqrt{2} + 3\sqrt{2} - 4 \\&= \sqrt{2} - 1\end{aligned}$
方法二：配方后代入计算
先对原式变形配方：
$\begin{aligned}x^2+3x-1&= x^2 + 2x + 1 + x - 2 \\&= (x+1)^2 + x - 2\end{aligned}$
由$x=\sqrt{2}-1$得$x+1=\sqrt{2}$，代入上式：
$\begin{aligned}原式&= (\sqrt{2})^2 + (\sqrt{2} - 1) - 2 \\&= 2 + \sqrt{2} -1 -2 \\&= \sqrt{2} -1\end{aligned}$
【答案】
$\sqrt{2}-1$
【知识点】
1. 二次根式运算
2. 代数式求值
3. 配方法应用
【点评】
本题考查代数式求值的常用方法，直接代入法是通用基础方法，配方法可针对含根式的已知条件简化运算，解题时可根据式子特征灵活选择方法，提升计算准确率和效率。
【难度系数】
0.8
27.(黔西南州)阅读材料：
小明发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如，$3 + 2\sqrt{2} = (1 + \sqrt{2})^2$。于是小明进行了以下探索：
设$a + \sqrt{2}b = (m + \sqrt{2}n)^2$（其中$a,b,m,n$均为整数），则有
$a + \sqrt{2}b = m^2 + 2n^2 + 2\sqrt{2}mn$。
∴ $a = m^2 + 2n^2$，$b = 2mn$。
这样可以把类似$a + \sqrt{2}b$的式子化为平方式。请仿照小明的方法解决下列问题：
（1）当$a,b,m,n$均为正整数时，若$a + \sqrt{3}b = (m + \sqrt{3}n)^2$，用含$m,n$的式子分别表示$a,b$得：$a =$ ，$b =$ 。
（2）利用探索的结论，找一组正整数$a,b,m,n$填空，使下列等式成立：
+ $\sqrt{3}$
$= (\_\_\_\_\_\_\sqrt{3})^2$。
（3）若$a + 4\sqrt{3} = (m + \sqrt{3}n)^2$，且$a,m,n$均为正整数，求$a$的值。
小明发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如，$3 + 2\sqrt{2} = (1 + \sqrt{2})^2$。于是小明进行了以下探索：
设$a + \sqrt{2}b = (m + \sqrt{2}n)^2$（其中$a,b,m,n$均为整数），则有
$a + \sqrt{2}b = m^2 + 2n^2 + 2\sqrt{2}mn$。
∴ $a = m^2 + 2n^2$，$b = 2mn$。
这样可以把类似$a + \sqrt{2}b$的式子化为平方式。请仿照小明的方法解决下列问题：
（1）当$a,b,m,n$均为正整数时，若$a + \sqrt{3}b = (m + \sqrt{3}n)^2$，用含$m,n$的式子分别表示$a,b$得：$a =$ ，$b =$ 。
（2）利用探索的结论，找一组正整数$a,b,m,n$填空，使下列等式成立：
+ $\sqrt{3}$
$= (\_\_\_\_\_\_\sqrt{3})^2$。
（3）若$a + 4\sqrt{3} = (m + \sqrt{3}n)^2$，且$a,m,n$均为正整数，求$a$的值。
答案
27. (1)$a = m^2 + 3n^2$，$b = 2mn$.
(2) 如 $m = 3,n = 4,a = 57,b = 24$ 等.
(3) 由 $mn = 2$,且 $m,n$ 是正整数知
$m = 1,n = 2,a = 13$;
或 $m = 2,n = 1,a = 7$.
(2) 如 $m = 3,n = 4,a = 57,b = 24$ 等.
(3) 由 $mn = 2$,且 $m,n$ 是正整数知
$m = 1,n = 2,a = 13$;
或 $m = 2,n = 1,a = 7$.
解析
【分析】
本题是二次根式相关的阅读理解类题型，解题核心是仿照材料给出的方法，利用完全平方公式展开含根号的平方式，再将等式两边的有理部分、含根号的无理部分分别对应相等，建立等量关系求解。（1）直接展开右侧平方项，对应系数即可得到a、b的表达式；（2）任选正整数m、n，代入（1）的结论即可算出对应a、b的值；（3）先根据b的数值列等式求出m、n的所有正整数解，再代入a的表达式计算即可得到a的值。
【解析】
（1）将等式右侧展开：
$(m+\sqrt{3}n)^2 = m^2 + 2mn\sqrt{3} + (\sqrt{3}n)^2 = m^2 + 3n^2 + 2\sqrt{3}mn$
对比左侧$a+\sqrt{3}b$，有理部分对应a，$\sqrt{3}$的系数对应b，因此得：
$a=m^2+3n^2$，$b=2mn$。
（2）任选正整数m、n代入上述结论即可，例如取$m=3$，$n=4$：
$a=3^2 + 3×4^2=9+48=57$，$b=2×3×4=24$，
可得等式$57+24\sqrt{3}=(3+4\sqrt{3})^2$，答案不唯一，符合公式即可。
（3）由题意结合（1）的结论可知，$b=2mn=4$，因此$mn=2$。
已知m、n均为正整数，分两种情况讨论：
①当$m=1$，$n=2$时，$a=1^2 + 3×2^2=1+12=13$；
②当$m=2$，$n=1$时，$a=2^2 + 3×1^2=4+3=7$。
综上，a的值为7或13。
【答案】
(1) $m^2 + 3n^2$，$2mn$
(2) 示例：57，24，$3+4$（答案不唯一）
(3) 7或13
【知识点】
完全平方公式，二次根式运算，分类讨论思想
【点评】
本题属于信息迁移类题目，重点考查对新知识的模仿应用能力，解题的关键是理解材料中“有理部分与无理部分分别对应相等”的对应规则，第三问需要注意对m、n的所有正整数取值进行分类讨论，避免漏解。
【难度系数】
0.7
本题是二次根式相关的阅读理解类题型，解题核心是仿照材料给出的方法，利用完全平方公式展开含根号的平方式，再将等式两边的有理部分、含根号的无理部分分别对应相等，建立等量关系求解。（1）直接展开右侧平方项，对应系数即可得到a、b的表达式；（2）任选正整数m、n，代入（1）的结论即可算出对应a、b的值；（3）先根据b的数值列等式求出m、n的所有正整数解，再代入a的表达式计算即可得到a的值。
【解析】
（1）将等式右侧展开：
$(m+\sqrt{3}n)^2 = m^2 + 2mn\sqrt{3} + (\sqrt{3}n)^2 = m^2 + 3n^2 + 2\sqrt{3}mn$
对比左侧$a+\sqrt{3}b$，有理部分对应a，$\sqrt{3}$的系数对应b，因此得：
$a=m^2+3n^2$，$b=2mn$。
（2）任选正整数m、n代入上述结论即可，例如取$m=3$，$n=4$：
$a=3^2 + 3×4^2=9+48=57$，$b=2×3×4=24$，
可得等式$57+24\sqrt{3}=(3+4\sqrt{3})^2$，答案不唯一，符合公式即可。
（3）由题意结合（1）的结论可知，$b=2mn=4$，因此$mn=2$。
已知m、n均为正整数，分两种情况讨论：
①当$m=1$，$n=2$时，$a=1^2 + 3×2^2=1+12=13$；
②当$m=2$，$n=1$时，$a=2^2 + 3×1^2=4+3=7$。
综上，a的值为7或13。
【答案】
(1) $m^2 + 3n^2$，$2mn$
(2) 示例：57，24，$3+4$（答案不唯一）
(3) 7或13
【知识点】
完全平方公式，二次根式运算，分类讨论思想
【点评】
本题属于信息迁移类题目，重点考查对新知识的模仿应用能力，解题的关键是理解材料中“有理部分与无理部分分别对应相等”的对应规则，第三问需要注意对m、n的所有正整数取值进行分类讨论，避免漏解。
【难度系数】
0.7
