14. 如图,在平面直角坐标系中,△ABC与△DEF是以坐标原点O为位似中心的位似图形.若$A(-1,0)$,$D(2,0)$,$EF=3$,则线段$BC$的长度为 【 】

A.2
B.$\frac{9}{2}$
C.3
D.$\frac{3}{2}$

D

【分析】
解决本题首先回忆位似图形的性质：位似图形是特殊的相似图形，对应边的比等于位似比，且位似比等于对应点到位似中心的距离之比。第一步先找对应点：点A和点D是一组对应点，先计算两点到原点O的距离，即可得到两个三角形的位似比；第二步根据位似图形对应边成比例，代入已知EF的长度，就能求出BC的长度。
【解析】
∵△ABC与△DEF是以坐标原点O为位似中心的位似图形，$A(-1,0)$，$D(2,0)$，
∴两个图形的位似比$k=OA:OD=\vert-1\vert:2=1:2$。
根据位似图形的性质，对应边的比等于位似比，可得$\frac{BC}{EF}=\frac{1}{2}$。
已知$EF=3$，代入得$BC=\frac{1}{2}× EF=\frac{1}{2}×3=\frac{3}{2}$。
【答案】
D
【知识点】
位似图形的性质，位似比计算
【点评】
本题考查位似图形的相关应用，解题的核心是通过对应点到位似中心的距离求出位似比，再利用位似图形对应边成比例列式计算，整体解题思路清晰，属于基础类考题。
【难度系数】
0.8

15. 如图,在正方形网格中,每个小正方形的边长是1个单位长度,以点O为位似中心,在网格中画$△ OA_1B_1$,使$△ OA_1B_1$与$△ OAB$位似,A、B的对应点分别为$A_1$、$B_1$,且$△ OA_1B_1$与$△ OAB$的位似比为$2:1$,则下列说法中不正确的是 【 】

A.点$B_1$的坐标为$(4,0)$
B.$A_1B_1 // AB$
C.$△ OA_1B_1$与$△ OAB$的周长之比为$2:1$
D.$△ OA_1B_1$与$△ OAB$的面积之比为$\sqrt{2}:1$

D

【分析】
解题时首先明确位似图形的相关性质：以原点为位似中心的位似图形，对应点坐标的比等于位似比；位似图形对应边互相平行；位似图形的周长比等于位似比，面积比等于位似比的平方。先确定原△OAB各顶点的坐标，再结合位似比2:1求出△OA₁B₁对应点坐标，再逐一判断四个选项的正误即可。
【解析】
首先由网格可得△OAB各点坐标：O(0,0)，A(1,1)，B(2,0)。
∵ 以O为位似中心，△OA₁B₁与△OAB的位似比为2:1，
∴ 对应点坐标为原坐标乘以2，即A₁(1×2,1×2)=(2,2)，B₁(2×2,0×2)=(4,0)。
逐一判断选项：
A. 点B₁的坐标为(4,0)，该说法正确；
B. 位似图形的对应边互相平行，故A₁B₁//AB，该说法正确；
C. 位似图形的周长比等于位似比，故△OA₁B₁与△OAB的周长之比为2:1，该说法正确；
D. 位似图形的面积比等于位似比的平方，故△OA₁B₁与△OAB的面积之比为4:1，不是√2:1，该说法错误。
题目要求选不正确的，故选D。
【答案】
D
【知识点】
位似的性质；相似三角形的性质
【点评】
本题属于基础题，主要考查位似图形的相关性质，解题的关键是牢记位似比与周长比、面积比的关系，结合坐标特征即可快速判断。
【难度系数】
0.8

16. 如图,在平面直角坐标系中,完成下列任务:
（1）作出一个以点 B 为位似中心的图形$△ A_{1}B_{1}C_{1}$,使$△ A_{1}B_{1}C_{1}$与$△ ABC$的位似比为$2:1$;
（2）在第三象限内,以原点 O 为位似中心,作出$△ A_{2}B_{2}C_{2}$,使$△ A_{2}B_{2}C_{2}$与$△ ABC$的位似比为$1:1$;
（3）写出$△ ABC$与$△ A_{1}B_{1}C_{1}$的周长比:________.

16. （1）略 （2）略 （3）1:2

【分析】
解题思路如下：
1. 解决第（1）问：首先明确位似中心是点B，位似比为2:1，即新图形的边长是原图形的2倍。作图时先连接位似中心B与原三角形的另外两个顶点A、C，再分别延长BA、BC，使延长后的线段长度为原线段的2倍，得到A、C的对应点A₁、C₁，点B的对应点与自身重合，最后顺次连接各对应点即可。
2. 解决第（2）问：明确位似中心是原点O，位似比1:1，且图形在第三象限，说明两个图形关于原点中心对称，只需将原三角形三个顶点的横、纵坐标都乘-1，得到对应点坐标，在第三象限描点连线即可。
3. 解决第（3）问：根据位似图形的性质，位似图形是相似图形，相似图形的周长比等于相似比（即位似比），结合已知的位似比即可直接得出结果。
【解析】
首先由平面直角坐标系可得△ABC三个顶点坐标：$A(0,3)$，$B(3,4)$，$C(2,2)$。
（1）作图步骤：
① 连接$BA$、$BC$；
② 延长$BA$至点$A_1$，使$BA_1=2BA$；延长$BC$至点$C_1$，使$BC_1=2BC$，点$B$的对应点$B_1$与点$B$重合；
③ 顺次连接$A_1$、$B_1$、$C_1$，所得$△ A_1B_1C_1$即为所求作的图形。
（2）作图步骤：
① 因为以原点$O$为位似中心，位似比为$1:1$，且$△ A_2B_2C_2$在第三象限，所以各顶点的对应点坐标为原坐标乘$-1$，计算得：$A_2(0×(-1),3×(-1))=(0,-3)$，$B_2(3×(-1),4×(-1))=(-3,-4)$，$C_2(2×(-1),2×(-1))=(-2,-2)$；
② 在坐标系中描出$A_2$、$B_2$、$C_2$三个点，顺次连接，所得$△ A_2B_2C_2$即为所求作的图形。
（3）$\because$位似图形属于相似图形，相似图形的周长比等于相似比（位似比），
已知$△ A_1B_1C_1$与$△ ABC$的位似比为$2:1$，即$△ ABC$与$△ A_1B_1C_1$的相似比为$1:2$，
$\therefore △ ABC$与$△ A_1B_1C_1$的周长比为$1:2$。
【答案】
（1）略；（2）略；（3）$\boxed{1:2}$
【知识点】
位似图形作图，位似图形的性质，相似图形周长比性质
【点评】
本题考查位似图形的作图与性质应用，解题的关键是明确位似中心、位似比以及图形所处位置的要求，熟记相似图形周长比等于相似比的性质，作图时注意对应点的位置不要出错。
【难度系数】
0.7