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12. 如图，嘉嘉同学正在使用手电筒进行物理光学实验，地面上从左往右依次是墙、木板和平面镜，手电筒的灯泡位于点G处，手电筒的光从平面镜上点B处反射后，恰好经过木板的边缘点F，落在墙上的点E处. 点E到地面的高度$ED=4\ \mathrm{m}$，点F到地面的高度$FC=1.5\ \mathrm{m}$，灯泡到木板的水平距离$AC=5.8\ \mathrm{m}$，墙到木板的水平距离$CD=5\ \mathrm{m}$. 已知光在镜面反射中的入射角等于反射角，点A、B、C、D在同一条直线上. 求：
（1）BC的长；
（2）灯泡到地面的高度AG.
（1）BC的长；
（2）灯泡到地面的高度AG.
答案
12. （1）$\because FC ⊥ BD$, $ED ⊥ BD$,$\therefore FC // ED$. $\therefore △ BCF ∽ △ BDE$. 设$BC=x\ \mathrm{m}$. 由$△ BCF ∽ △ BDE$,得$\dfrac{CF}{DE}=\dfrac{BC}{BD}$,即$\dfrac{1.5}{4}=\dfrac{x}{x+5}$. 解得$x=3$. $\therefore BC$的长为$3\ \mathrm{m}$
（2）$\because BC=3\ \mathrm{m}$, $AC=5.8\ \mathrm{m}$,$\therefore AB=AC-BC=2.8\ \mathrm{m}$. $\because$ 光在镜面反射中的入射角等于反射角,$\therefore ∠ CBF = ∠ ABG$. 又$\because ∠ FCB = ∠ GAB$,$\therefore △ CBF ∽ △ ABG$. $\therefore \dfrac{CF}{AG}=\dfrac{BC}{BA}$,即$\dfrac{1.5}{AG}=\dfrac{3}{2.8}$. 解得$AG=1.4\ \mathrm{m}$. $\therefore$灯泡到地面的高度$AG$为$1.4\ \mathrm{m}$
（2）$\because BC=3\ \mathrm{m}$, $AC=5.8\ \mathrm{m}$,$\therefore AB=AC-BC=2.8\ \mathrm{m}$. $\because$ 光在镜面反射中的入射角等于反射角,$\therefore ∠ CBF = ∠ ABG$. 又$\because ∠ FCB = ∠ GAB$,$\therefore △ CBF ∽ △ ABG$. $\therefore \dfrac{CF}{AG}=\dfrac{BC}{BA}$,即$\dfrac{1.5}{AG}=\dfrac{3}{2.8}$. 解得$AG=1.4\ \mathrm{m}$. $\therefore$灯泡到地面的高度$AG$为$1.4\ \mathrm{m}$
解析
【分析】
（1）求BC的长度时，观察图形可知FC、ED均垂直于地面BD，可得FC//ED，进而推出△BCF∽△BDE，利用相似三角形对应边成比例的性质，设BC为x m，BD的长度可表示为(x+5)m，代入已知边的长度列方程即可求解。
（2）求AG的高度时，先根据AC和已求出的BC的长度计算AB的长度；再根据光的反射定律中入射角等于反射角，可得∠CBF=∠ABG，结合∠FCB和∠GAB均为直角，可证明△CBF∽△ABG，再利用相似三角形对应边成比例列方程求解AG即可。
【解析】
（1）$\because FC⊥ BD$，$ED⊥ BD$，
$\therefore ∠ FCB=∠ EDB=90°$，
$\therefore FC// ED$，
$\therefore △ BCF ∽ △ BDE$。
设$BC=x\ \mathrm{m}$，根据相似三角形的性质得：
$\dfrac{CF}{DE}=\dfrac{BC}{BD}$，
已知$CF=1.5\ \mathrm{m}$，$DE=4\ \mathrm{m}$，$BD=BC+CD=(x+5)\ \mathrm{m}$，代入得：
$\dfrac{1.5}{4}=\dfrac{x}{x+5}$，
交叉相乘得$1.5(x+5)=4x$，
解得$x=3$，
即$BC$的长为$3\ \mathrm{m}$。
（2）已知$AC=5.8\ \mathrm{m}$，$BC=3\ \mathrm{m}$，
$\therefore AB=AC-BC=5.8-3=2.8\ \mathrm{m}$，
$\because$光在镜面反射中的入射角等于反射角，
$\therefore ∠ CBF=∠ ABG$，
又$\because FC⊥ BD$，$AG⊥ BD$，
$\therefore ∠ FCB=∠ GAB=90°$，
$\therefore △ CBF ∽ △ ABG$，
根据相似三角形的性质得：
$\dfrac{CF}{AG}=\dfrac{BC}{AB}$，
代入数值得$\dfrac{1.5}{AG}=\dfrac{3}{2.8}$，
解得$AG=1.4$，
即灯泡到地面的高度$AG$为$1.4\ \mathrm{m}$。
【答案】
（1）$\boxed{3\ \mathrm{m}}$；（2）$\boxed{1.4\ \mathrm{m}}$
【知识点】
相似三角形的判定与性质；平行线的性质；光的反射定律
【点评】
本题是结合物理光学知识的实际应用类题型，核心考查相似三角形相关知识的应用，解题的关键是根据平行关系或角的等量关系准确识别相似三角形，理清各线段的数量关系后代入计算即可，对跨学科知识的结合应用有一定要求。
【难度系数】
0.7
（1）求BC的长度时，观察图形可知FC、ED均垂直于地面BD，可得FC//ED，进而推出△BCF∽△BDE，利用相似三角形对应边成比例的性质，设BC为x m，BD的长度可表示为(x+5)m，代入已知边的长度列方程即可求解。
（2）求AG的高度时，先根据AC和已求出的BC的长度计算AB的长度；再根据光的反射定律中入射角等于反射角，可得∠CBF=∠ABG，结合∠FCB和∠GAB均为直角，可证明△CBF∽△ABG，再利用相似三角形对应边成比例列方程求解AG即可。
【解析】
（1）$\because FC⊥ BD$，$ED⊥ BD$，
$\therefore ∠ FCB=∠ EDB=90°$，
$\therefore FC// ED$，
$\therefore △ BCF ∽ △ BDE$。
设$BC=x\ \mathrm{m}$，根据相似三角形的性质得：
$\dfrac{CF}{DE}=\dfrac{BC}{BD}$，
已知$CF=1.5\ \mathrm{m}$，$DE=4\ \mathrm{m}$，$BD=BC+CD=(x+5)\ \mathrm{m}$，代入得：
$\dfrac{1.5}{4}=\dfrac{x}{x+5}$，
交叉相乘得$1.5(x+5)=4x$，
解得$x=3$，
即$BC$的长为$3\ \mathrm{m}$。
（2）已知$AC=5.8\ \mathrm{m}$，$BC=3\ \mathrm{m}$，
$\therefore AB=AC-BC=5.8-3=2.8\ \mathrm{m}$，
$\because$光在镜面反射中的入射角等于反射角，
$\therefore ∠ CBF=∠ ABG$，
又$\because FC⊥ BD$，$AG⊥ BD$，
$\therefore ∠ FCB=∠ GAB=90°$，
$\therefore △ CBF ∽ △ ABG$，
根据相似三角形的性质得：
$\dfrac{CF}{AG}=\dfrac{BC}{AB}$，
代入数值得$\dfrac{1.5}{AG}=\dfrac{3}{2.8}$，
解得$AG=1.4$，
即灯泡到地面的高度$AG$为$1.4\ \mathrm{m}$。
【答案】
（1）$\boxed{3\ \mathrm{m}}$；（2）$\boxed{1.4\ \mathrm{m}}$
【知识点】
相似三角形的判定与性质；平行线的性质；光的反射定律
【点评】
本题是结合物理光学知识的实际应用类题型，核心考查相似三角形相关知识的应用，解题的关键是根据平行关系或角的等量关系准确识别相似三角形，理清各线段的数量关系后代入计算即可，对跨学科知识的结合应用有一定要求。
【难度系数】
0.7
13. 阳光明媚的一天，在实践课上，亮亮准备用所学的知识测量教学楼前一座假山AB的高度.如图，亮亮在地面上的点F处，眼睛贴地观察，看到假山顶端A、教学楼顶端C在同一条直线上.此时他起身在点F处站直，发现自己的影子末端和教学楼的影子末端恰好重合于点G处，测得FG=1.5m，亮亮的身高EF为1.6m.假山的底部B处因有花园围栏，无法到达，但经询问和进行部分测量后得知，BF=6m，点D、B、F、G在同一条直线上，CD⊥DG，AB⊥DG，EF⊥DG，已知教学楼CD的高度为16m，请求出假山的高度AB.
答案
13. 由题意,得$\dfrac{CD}{DG}=\dfrac{EF}{FG}$. $\therefore \dfrac{16}{DG}=\dfrac{1.6}{1.5}$. $\therefore DG=15\ \mathrm{m}$. $\therefore DF=DG-FG=13.5\ \mathrm{m}$. $\because AB ⊥ DG$, $CD ⊥ DG$,$\therefore AB // CD$. $\therefore △ ABF ∽ △ CDF$. $\therefore \dfrac{AB}{CD}=\dfrac{BF}{DF}$,即$\dfrac{AB}{16}=\dfrac{6}{13.5}$. $\therefore AB=\dfrac{64}{9}\ \mathrm{m}$
解析
【分析】
首先观察图形特征，CD、AB、EF均垂直于水平直线DG，因此三者互相平行，可推得两组相似三角形：第一步，由EF//CD可得△EFG∽△CDG，结合已知的EF、FG、CD的长度，先求出DG的长度，进一步计算得到DF的长度；第二步，由AB//CD可得△ABF∽△CDF，此时BF、CD、DF的长度均为已知量，利用相似三角形对应边成比例的性质即可列式求出假山AB的高度。
【解析】
解：
∵ $CD⊥ DG$，$EF⊥ DG$，
∴ $CD// EF$，
∴ $△ CDG ∽ △ EFG$，
∴ $\frac{CD}{EF}=\frac{DG}{FG}$，
将$CD=16\ \mathrm{m}$，$EF=1.6\ \mathrm{m}$，$FG=1.5\ \mathrm{m}$代入得：
$\frac{16}{1.6}=\frac{DG}{1.5}$，解得$DG=15\ \mathrm{m}$，
∴ $DF=DG-FG=15-1.5=13.5\ \mathrm{m}$，
又
∵ $AB⊥ DG$，$CD⊥ DG$，
∴ $AB// CD$，
∴ $△ ABF ∽ △ CDF$，
∴ $\frac{AB}{CD}=\frac{BF}{DF}$，
将$CD=16\ \mathrm{m}$，$BF=6\ \mathrm{m}$，$DF=13.5\ \mathrm{m}$代入得：
$\frac{AB}{16}=\frac{6}{13.5}$，
解得$AB=\frac{16×6}{13.5}=\frac{64}{9}\ \mathrm{m}$。
【答案】
假山的高度AB为$\frac{64}{9}\ \mathrm{m}$
【知识点】
相似三角形的判定；相似三角形的性质；相似三角形的实际应用
【点评】
本题结合实际测量场景考查相似三角形的应用，解题核心是通过平行线找到相似三角形，利用对应边成比例建立等式求解，贴近生活实际，能很好地锻炼学生将数学知识应用到实际问题的能力。
【难度系数】
0.7
首先观察图形特征，CD、AB、EF均垂直于水平直线DG，因此三者互相平行，可推得两组相似三角形：第一步，由EF//CD可得△EFG∽△CDG，结合已知的EF、FG、CD的长度，先求出DG的长度，进一步计算得到DF的长度；第二步，由AB//CD可得△ABF∽△CDF，此时BF、CD、DF的长度均为已知量，利用相似三角形对应边成比例的性质即可列式求出假山AB的高度。
【解析】
解：
∵ $CD⊥ DG$，$EF⊥ DG$，
∴ $CD// EF$，
∴ $△ CDG ∽ △ EFG$，
∴ $\frac{CD}{EF}=\frac{DG}{FG}$，
将$CD=16\ \mathrm{m}$，$EF=1.6\ \mathrm{m}$，$FG=1.5\ \mathrm{m}$代入得：
$\frac{16}{1.6}=\frac{DG}{1.5}$，解得$DG=15\ \mathrm{m}$，
∴ $DF=DG-FG=15-1.5=13.5\ \mathrm{m}$，
又
∵ $AB⊥ DG$，$CD⊥ DG$，
∴ $AB// CD$，
∴ $△ ABF ∽ △ CDF$，
∴ $\frac{AB}{CD}=\frac{BF}{DF}$，
将$CD=16\ \mathrm{m}$，$BF=6\ \mathrm{m}$，$DF=13.5\ \mathrm{m}$代入得：
$\frac{AB}{16}=\frac{6}{13.5}$，
解得$AB=\frac{16×6}{13.5}=\frac{64}{9}\ \mathrm{m}$。
【答案】
假山的高度AB为$\frac{64}{9}\ \mathrm{m}$
【知识点】
相似三角形的判定；相似三角形的性质；相似三角形的实际应用
【点评】
本题结合实际测量场景考查相似三角形的应用，解题核心是通过平行线找到相似三角形，利用对应边成比例建立等式求解，贴近生活实际，能很好地锻炼学生将数学知识应用到实际问题的能力。
【难度系数】
0.7
