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8. 如图，$△ ABC$ 与 $△ DEF$ 的顶点均在正方形网格的格点上，则 $∠ DEF$ 的度数为
$135°$
。答案
8. $135°$
解析
【分析】
要求∠DEF的度数，可借助相似三角形的性质求解。首先设每个小正方形的边长为1，利用勾股定理分别计算△ABC和△DEF的各边长度，验证两个三角形三边对应成比例即可证明二者相似，再求出∠ABC的度数，利用相似三角形对应角相等的性质就能得到∠DEF的度数。
【解析】
设每个小正方形的边长为1。
1. 计算△ABC的各边长度：
由网格可得AB=3，
由勾股定理计算得：$BC=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$，$AC=\sqrt{3^2+1^2}=\sqrt{10}$。
观察∠ABC：BC与AB的延长线夹角为45°，因此$∠ ABC=180°-45°=135°$。
2. 计算△DEF的各边长度：
由勾股定理计算得：$DE=2\sqrt{10}$，$EF=2\sqrt{2}$，$DF=6$。
可得$\frac{AB}{EF}=\frac{BC}{DE}=\frac{AC}{DF}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，即△ABC与△EFD三边对应成比例，因此$△ ABC ∽ △ EFD$。
根据相似三角形对应角相等，可得$∠ DEF=∠ ABC=135°$。
【答案】
$135°$
【知识点】
勾股定理；相似三角形的判定；相似三角形的性质
【点评】
本题结合网格图形考查角度求解，解题关键是利用勾股定理计算各边长度，通过相似三角形的性质将未知角转化为易求的角，体现了数形结合的解题思想。
【难度系数】
0.7
要求∠DEF的度数，可借助相似三角形的性质求解。首先设每个小正方形的边长为1，利用勾股定理分别计算△ABC和△DEF的各边长度，验证两个三角形三边对应成比例即可证明二者相似，再求出∠ABC的度数，利用相似三角形对应角相等的性质就能得到∠DEF的度数。
【解析】
设每个小正方形的边长为1。
1. 计算△ABC的各边长度：
由网格可得AB=3，
由勾股定理计算得：$BC=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$，$AC=\sqrt{3^2+1^2}=\sqrt{10}$。
观察∠ABC：BC与AB的延长线夹角为45°，因此$∠ ABC=180°-45°=135°$。
2. 计算△DEF的各边长度：
由勾股定理计算得：$DE=2\sqrt{10}$，$EF=2\sqrt{2}$，$DF=6$。
可得$\frac{AB}{EF}=\frac{BC}{DE}=\frac{AC}{DF}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，即△ABC与△EFD三边对应成比例，因此$△ ABC ∽ △ EFD$。
根据相似三角形对应角相等，可得$∠ DEF=∠ ABC=135°$。
【答案】
$135°$
【知识点】
勾股定理；相似三角形的判定；相似三角形的性质
【点评】
本题结合网格图形考查角度求解，解题关键是利用勾股定理计算各边长度，通过相似三角形的性质将未知角转化为易求的角，体现了数形结合的解题思想。
【难度系数】
0.7
9. 如图，在$△ ABC$中，$∠ ACB=90°$，$BC=8\mathrm{cm}$，$AC=6\mathrm{cm}$，点$P$从点$B$出发，以$2\mathrm{cm/s}$的速度向点$C$移动，同时点$Q$从点$C$出发，以$1\mathrm{cm/s}$的速度向点$A$移动，设运动时间为$t\ \mathrm{s}$，当$t=\_\_\_\_\_\_$时，$△ CPQ$与$△ ABC$相似。
答案
$\dfrac{12}{5}$或$\dfrac{32}{11}$
解析
【分析】
这是一道动点结合相似三角形的求解问题，解题思路如下：1. 先根据点的运动速度和时间，用含t的代数式表示出△CPQ的两条直角边CP、CQ的长度；2. 由于△CPQ和△ABC都以∠C为直角，因此直角为公共对应角，相似时剩余两组角的对应关系有两种情况，需要分类讨论；3. 针对每种相似情况，根据相似三角形对应边成比例列方程，求解t后验证t是否符合运动的取值范围（保证点P、Q在线段BC、AC上）即可。
【解析】
解：运动t秒时，由题意得：
$BP = 2t\ \mathrm{cm}$，$CQ = t\ \mathrm{cm}$，
∴ $CP = BC - BP = (8 - 2t)\ \mathrm{cm}$，
∵ $∠ ACB = ∠ PCQ = 90°$，两个三角形的直角为对应公共角，分两种情况讨论相似：
① 当$△ CPQ ∽ △ CBA$时，对应边成比例：$\frac{CP}{CB}=\frac{CQ}{CA}$，
代入得：$\frac{8-2t}{8}=\frac{t}{6}$，
交叉相乘得：$6(8-2t)=8t$，
整理得：$48-12t=8t$，
解得：$t=\frac{12}{5}$，此时$0＜\frac{12}{5}＜4$，符合题意；
② 当$△ CPQ ∽ △ CAB$时，对应边成比例：$\frac{CP}{CA}=\frac{CQ}{CB}$，
代入得：$\frac{8-2t}{6}=\frac{t}{8}$，
交叉相乘得：$8(8-2t)=6t$，
整理得：$64-16t=6t$，
解得：$t=\frac{32}{11}$，此时$0＜\frac{32}{11}＜4$，符合题意。
【答案】
$\dfrac{12}{5}$或$\dfrac{32}{11}$
【知识点】
相似三角形的性质，动点问题求解，分类讨论思想
【点评】
本题是相似三角形与动点结合的典型题型，解题的核心是抓住两个直角三角形的公共直角，分情况讨论对应边的比例关系，求解后注意验证结果是否符合点的运动范围，避免出现错解、漏解。
【难度系数】
0.6
这是一道动点结合相似三角形的求解问题，解题思路如下：1. 先根据点的运动速度和时间，用含t的代数式表示出△CPQ的两条直角边CP、CQ的长度；2. 由于△CPQ和△ABC都以∠C为直角，因此直角为公共对应角，相似时剩余两组角的对应关系有两种情况，需要分类讨论；3. 针对每种相似情况，根据相似三角形对应边成比例列方程，求解t后验证t是否符合运动的取值范围（保证点P、Q在线段BC、AC上）即可。
【解析】
解：运动t秒时，由题意得：
$BP = 2t\ \mathrm{cm}$，$CQ = t\ \mathrm{cm}$，
∴ $CP = BC - BP = (8 - 2t)\ \mathrm{cm}$，
∵ $∠ ACB = ∠ PCQ = 90°$，两个三角形的直角为对应公共角，分两种情况讨论相似：
① 当$△ CPQ ∽ △ CBA$时，对应边成比例：$\frac{CP}{CB}=\frac{CQ}{CA}$，
代入得：$\frac{8-2t}{8}=\frac{t}{6}$，
交叉相乘得：$6(8-2t)=8t$，
整理得：$48-12t=8t$，
解得：$t=\frac{12}{5}$，此时$0＜\frac{12}{5}＜4$，符合题意；
② 当$△ CPQ ∽ △ CAB$时，对应边成比例：$\frac{CP}{CA}=\frac{CQ}{CB}$，
代入得：$\frac{8-2t}{6}=\frac{t}{8}$，
交叉相乘得：$8(8-2t)=6t$，
整理得：$64-16t=6t$，
解得：$t=\frac{32}{11}$，此时$0＜\frac{32}{11}＜4$，符合题意。
【答案】
$\dfrac{12}{5}$或$\dfrac{32}{11}$
【知识点】
相似三角形的性质，动点问题求解，分类讨论思想
【点评】
本题是相似三角形与动点结合的典型题型，解题的核心是抓住两个直角三角形的公共直角，分情况讨论对应边的比例关系，求解后注意验证结果是否符合点的运动范围，避免出现错解、漏解。
【难度系数】
0.6
10. 如图,在$□ ABCD$中,点E在边BC上,点F在边AD的延长线上,且$DF=BE$,EF与CD相交于点G.若$\frac{DG}{GC}=\frac{2}{3}$, $BE=4$,求EC的长.
答案
$\because$四边形$ABCD$是平行四边形，$\therefore AD // BC$. 已知$DF=BE=4$. $\because DF // EC$,$\therefore △ DFG ∽ △ CEG$. $\therefore \dfrac{DG}{CG}=\dfrac{DF}{CE}$. $\therefore CE=\dfrac{DF · CG}{DG}=4 × \dfrac{3}{2}=6$
解析
【分析】
解题时首先回忆平行四边形的性质，可得到AD和BC平行，进而推出DF与EC平行；结合EF与CD相交的结构，可根据平行得到的角相等判定△DFG和△CEG相似；最后利用相似三角形对应边成比例的性质，代入已知的线段比值和DF的长度，即可计算出EC的长。
【解析】
∵ 四边形$ABCD$是平行四边形，
∴ $AD // BC$，
∴ $DF // EC$，
∴ $△ DFG ∽ △ CEG$，
∴ $\dfrac{DG}{CG}=\dfrac{DF}{CE}$。
已知$DF=BE=4$，$\frac{DG}{GC}=\frac{2}{3}$，代入比例式得：
$\frac{2}{3}=\frac{4}{CE}$，
解得$CE=\frac{4×3}{2}=6$。
【答案】
$6$
【知识点】
平行四边形的性质；相似三角形的判定；相似三角形的性质
【点评】
本题属于几何基础常考题，核心是结合平行四边形的平行特征找到相似三角形，再借助相似的线段比例关系求解，对相似的基础应用考查较为典型。
【难度系数】
0.7
解题时首先回忆平行四边形的性质，可得到AD和BC平行，进而推出DF与EC平行；结合EF与CD相交的结构，可根据平行得到的角相等判定△DFG和△CEG相似；最后利用相似三角形对应边成比例的性质，代入已知的线段比值和DF的长度，即可计算出EC的长。
【解析】
∵ 四边形$ABCD$是平行四边形，
∴ $AD // BC$，
∴ $DF // EC$，
∴ $△ DFG ∽ △ CEG$，
∴ $\dfrac{DG}{CG}=\dfrac{DF}{CE}$。
已知$DF=BE=4$，$\frac{DG}{GC}=\frac{2}{3}$，代入比例式得：
$\frac{2}{3}=\frac{4}{CE}$，
解得$CE=\frac{4×3}{2}=6$。
【答案】
$6$
【知识点】
平行四边形的性质；相似三角形的判定；相似三角形的性质
【点评】
本题属于几何基础常考题，核心是结合平行四边形的平行特征找到相似三角形，再借助相似的线段比例关系求解，对相似的基础应用考查较为典型。
【难度系数】
0.7
11. 如图，在$△ ABC$中，$AD$是角平分线，点$E$是边$AC$上一点，且满足$∠ ADE=∠ B$.
（1）求证：$△ ADB ∽ △ AED$；
（2）若$AE=4$，$AD=5$，求$AB$的长.
（1）求证：$△ ADB ∽ △ AED$；
（2）若$AE=4$，$AD=5$，求$AB$的长.
答案
（1）$\because AD$是角平分线，$\therefore ∠ BAD = ∠ DAE$. 又$\because ∠ B = ∠ ADE$,$\therefore △ ADB ∽ △ AED$
（2）$\because △ ADB ∽ △ AED$,$\therefore \dfrac{AB}{AD}=\dfrac{AD}{AE}$. $\therefore AB=\dfrac{AD^2}{AE}$. $\because AE=4$, $AD=5$,$\therefore AB=\dfrac{25}{4}$
（2）$\because △ ADB ∽ △ AED$,$\therefore \dfrac{AB}{AD}=\dfrac{AD}{AE}$. $\therefore AB=\dfrac{AD^2}{AE}$. $\because AE=4$, $AD=5$,$\therefore AB=\dfrac{25}{4}$
解析
【分析】
（1）要证明△ADB∽△AED，可利用“两角分别相等的两个三角形相似”的判定定理推导：首先根据AD是角平分线，可得一组对应角∠BAD=∠DAE，再结合题目给出的∠ADE=∠B，即可满足两角对应相等的相似判定条件。
（2）在证明两三角形相似后，利用相似三角形对应边成比例的性质，可列出AB、AD、AE的比例关系式，将已知的AE=4、AD=5代入比例式，即可求出AB的长度。
【解析】
（1）证明：
∵AD是△ABC的角平分线，
∴∠BAD = ∠DAE，
又
∵∠ADE = ∠B，
∴△ADB ∽ △AED（两角分别相等的两个三角形相似）。
（2）解：由（1）可知△ADB ∽ △AED，
根据相似三角形的性质，对应边成比例，可得：
$\dfrac{AB}{AD}=\dfrac{AD}{AE}$，
变形得$AB=\dfrac{AD^2}{AE}$，
将AE=4，AD=5代入上式，
得$AB=\dfrac{5^2}{4}=\dfrac{25}{4}$。
【答案】
（1）证明成立；（2）$\dfrac{25}{4}$
【知识点】
角平分线的定义；相似三角形的判定；相似三角形的性质
【点评】
本题是基础几何题，核心考查相似三角形的判定与性质的应用，解题时先通过已知条件找到对应相等的角证明相似，再利用相似的比例关系求解线段长度，思路清晰，容易掌握。
【难度系数】
0.8
（1）要证明△ADB∽△AED，可利用“两角分别相等的两个三角形相似”的判定定理推导：首先根据AD是角平分线，可得一组对应角∠BAD=∠DAE，再结合题目给出的∠ADE=∠B，即可满足两角对应相等的相似判定条件。
（2）在证明两三角形相似后，利用相似三角形对应边成比例的性质，可列出AB、AD、AE的比例关系式，将已知的AE=4、AD=5代入比例式，即可求出AB的长度。
【解析】
（1）证明：
∵AD是△ABC的角平分线，
∴∠BAD = ∠DAE，
又
∵∠ADE = ∠B，
∴△ADB ∽ △AED（两角分别相等的两个三角形相似）。
（2）解：由（1）可知△ADB ∽ △AED，
根据相似三角形的性质，对应边成比例，可得：
$\dfrac{AB}{AD}=\dfrac{AD}{AE}$，
变形得$AB=\dfrac{AD^2}{AE}$，
将AE=4，AD=5代入上式，
得$AB=\dfrac{5^2}{4}=\dfrac{25}{4}$。
【答案】
（1）证明成立；（2）$\dfrac{25}{4}$
【知识点】
角平分线的定义；相似三角形的判定；相似三角形的性质
【点评】
本题是基础几何题，核心考查相似三角形的判定与性质的应用，解题时先通过已知条件找到对应相等的角证明相似，再利用相似的比例关系求解线段长度，思路清晰，容易掌握。
【难度系数】
0.8
