15. 数学兴趣小组在完成一道数学题：
如图，$AC ⊥ BC$，$BD ⊥ AD$，$AD=BC$，求证：$BD=AC$。
小丽说：“我可以根据全等三角形的判定定理AAS证明两个三角形全等，从而得到$BD=AC$。”
小贾说：“我可以根据直角三角形全等的判定定理HL证明两个三角形全等，从而得到$BD=AC$。”
小雨说：“我可以根据三角形的面积相等，来证明$BD=AC$。”
你认为他们的办法可行吗？并试着证明。

15. 都可行. 根据AAS(小丽的说法)证明: $\because AC ⊥ BC, BD ⊥ AD,\therefore ∠ D = ∠ C = 90°$. 在$△ AOD$和$△ BOC$中,$\because \begin{cases} ∠ D = ∠ C, \\ ∠ AOD = ∠ BOC, \\ AD = BC, \end{cases} \therefore △ AOD ≌ △ BOC. \therefore AO = BO, DO = CO. \therefore AO + CO = BO + DO,$即$BD = AC$. 根据HL(小贾的说法)证明:连结AB. $\because AC ⊥ BC, BD ⊥ AD,\therefore ∠ D = ∠ C = 90°$. 在Rt△ABD和Rt△BAC中,$\because \begin{cases} AD = BC, \\ AB = BA, \end{cases} \therefore \mathrm{Rt}△ ABD ≌ \mathrm{Rt}△ BAC. \therefore BD = AC$. 根据面积相等(小雨的说法)证明:连结AB. 根据AAS证明得知$△ AOD ≌ △ BOC, \therefore S_{△ AOD} = S_{△ BOC}. \therefore S_{△ AOD} + S_{△ AOB} = S_{△ BOC} + S_{△ AOB},$即$S_{△ ABD} = S_{△ ABC}$. 又$\because S_{△ ABD} = \frac{1}{2}AD · BD, S_{△ ABC} = \frac{1}{2}BC · AC,\therefore \frac{1}{2}AD · BD = \frac{1}{2}BC · AC. \because AD = BC,\therefore BD = AC$

【分析】
要证明BD=AC，结合已知条件AC⊥BC、BD⊥AD得∠C=∠D=90°，AD=BC，三种方法的思考路径如下：
1. AAS法：AC与BD交于点O，存在对顶角∠AOD=∠BOC，结合已知的两角相等、一组对边相等，可先证△AOD≌△BOC，得到对应边相等后通过线段和的关系推导结论；
2. HL法：连接公共边AB，构造两个直角三角形Rt△ABD和Rt△BAC，二者斜边AB公共，一组直角边AD=BC，符合HL判定条件，证全等后直接得到对应边BD=AC；
3. 面积法：先证△AOD≌△BOC得二者面积相等，同时加上公共△AOB的面积可得△ABD与△ABC面积相等，再代入三角形面积公式，结合AD=BC的条件约去相等量，即可推导BD=AC。
【解析】
三人的办法都可行，分别证明如下：
1. 小丽的AAS证明：
∵$AC ⊥ BC$，$BD ⊥ AD$，
∴$∠ D = ∠ C = 90°$。
在$△ AOD$和$△ BOC$中：
$\begin{cases}∠ D = ∠ C \\∠ AOD = ∠ BOC \\AD = BC\end{cases}$
∴$△ AOD ≌ △ BOC$（AAS），
∴$AO = BO$，$DO = CO$，
∴$AO + CO = BO + DO$，即$BD = AC$。
2. 小贾的HL证明：
连接AB，
∵$AC ⊥ BC$，$BD ⊥ AD$，
∴$∠ D = ∠ C = 90°$，$△ ABD$和$△ BAC$均为直角三角形。
在$\mathrm{Rt}△ ABD$和$\mathrm{Rt}△ BAC$中：
$\begin{cases}AD = BC \\AB = BA\end{cases}$
∴$\mathrm{Rt}△ ABD ≌ \mathrm{Rt}△ BAC$（HL），
∴$BD = AC$。
3. 小雨的面积法证明：
连接AB，先由AAS证得$△ AOD ≌ △ BOC$，
∴$S_{△ AOD} = S_{△ BOC}$，
∴$S_{△ AOD} + S_{△ AOB} = S_{△ BOC} + S_{△ AOB}$，即$S_{△ ABD} = S_{△ ABC}$。
又
∵$S_{△ ABD} = \frac{1}{2}AD · BD$，$S_{△ ABC} = \frac{1}{2}BC · AC$，
∴$\frac{1}{2}AD · BD = \frac{1}{2}BC · AC$，
已知$AD = BC$，等式两边同时约去$\frac{1}{2}AD$，得$BD = AC$。
【答案】
三人的办法都可行，证明如下：
根据AAS(小丽的说法)证明: $\because AC ⊥ BC, BD ⊥ AD,\therefore ∠ D = ∠ C = 90°$. 在$△ AOD$和$△ BOC$中,$\because \begin{cases} ∠ D = ∠ C, \\ ∠ AOD = ∠ BOC, \\ AD = BC, \end{cases} \therefore △ AOD ≌ △ BOC. \therefore AO = BO, DO = CO. \therefore AO + CO = BO + DO,$即$BD = AC$. 根据HL(小贾的说法)证明:连结AB. $\because AC ⊥ BC, BD ⊥ AD,\therefore ∠ D = ∠ C = 90°$. 在Rt△ABD和Rt△BAC中,$\because \begin{cases} AD = BC, \\ AB = BA, \end{cases} \therefore \mathrm{Rt}△ ABD ≌ \mathrm{Rt}△ BAC. \therefore BD = AC$. 根据面积相等(小雨的说法)证明:连结AB. 根据AAS证明得知$△ AOD ≌ △ BOC, \therefore S_{△ AOD} = S_{△ BOC}. \therefore S_{△ AOD} + S_{△ AOB} = S_{△ BOC} + S_{△ AOB},$即$S_{△ ABD} = S_{△ ABC}$. 又$\because S_{△ ABD} = \frac{1}{2}AD · BD, S_{△ ABC} = \frac{1}{2}BC · AC,\therefore \frac{1}{2}AD · BD = \frac{1}{2}BC · AC. \because AD = BC,\therefore BD = AC$

【知识点】
全等三角形的判定；直角三角形全等判定；三角形面积计算
【点评】
本题通过一题多解的形式，考查了全等三角形判定定理、面积法在几何证明中的应用，能够引导学生发散思维，灵活运用所学知识从不同角度解决问题，加深对几何证明方法的理解。
【难度系数】
0.7

1. 在$△ ABC$中，$AB=AC$，$∠ B=65°$，则$∠ A=$ 【 】

A.$25°$
B.$50°$
C.$65°$
D.$115°$

B

【分析】
解题时首先根据已知条件AB=AC判断△ABC是等腰三角形，回忆等腰三角形“等边对等角”的性质，可得两个底角∠B和∠C相等；再结合三角形内角和为180°的定理，用内角和减去两个底角的度数即可求出顶角∠A的度数。
【解析】
解：
∵ $AB=AC$，
∴ $△ ABC$是等腰三角形，$∠ B=∠ C$（等腰三角形等边对等角），
∵ $∠ B=65°$，
∴ $∠ C=65°$，
又
∵ 三角形内角和为$180°$，
∴ $∠ A=180°-∠ B-∠ C=180°-65°-65°=50°$。
故选B。
【答案】
B
【知识点】
等腰三角形的性质，三角形内角和定理
【点评】
本题属于基础题，核心考查等腰三角形的基本性质和三角形内角和的应用，熟练掌握相关基础性质即可快速求解。
【难度系数】
0.9