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| 变式训练1 | 在平面直角坐标系中有$A(1,2),B(0,2),C(0,-1),D(2,0)$四个点。
(1)画出平面直角坐标系,描出这四个点,并顺次连接$A,B,C,D,A$,得到四边形$ABCD$;
(2)求四边形$ABCD$的面积。
(1)画出平面直角坐标系,描出这四个点,并顺次连接$A,B,C,D,A$,得到四边形$ABCD$;
(2)求四边形$ABCD$的面积。
答案
解:(1)如图所示。
(2)$S_{四边形ABCD}=S_{梯形ABOD}+S_{△ COD}$
$=\frac{1}{2}×(1+2)×2+\frac{1}{2}×1×2$
$=3+1$
$=4$。
解析
【分析】
(1) 第一问是平面直角坐标系基础操作，解题时先明确平面直角坐标系的x轴、y轴及原点，再根据各点的横坐标（对应x轴数值）、纵坐标（对应y轴数值）逐一描点，最后按要求顺次连接即可。
(2) 第二问求不规则四边形的面积，可采用割补法，将不规则图形拆分为已学过的规则图形（梯形、三角形），分别计算各规则图形的面积后求和即可。观察图形特征，可将四边形ABCD拆分为梯形ABOD和直角三角形COD，两个规则图形的边长都可通过点的坐标求出，代入对应面积公式计算即可。
【解析】
(1) 先画出平面直角坐标系，确定原点O、x轴正方向向右、y轴正方向向上；根据坐标特征描出A(1,2)、B(0,2)、C(0,-1)、D(2,0)四个点，再顺次连接A、B、C、D、A，得到四边形ABCD。
(2) 用分割法求面积：
将四边形ABCD分割为梯形ABOD和直角三角形COD两部分：
① 梯形ABOD的上底AB长为$1-0=1$，下底OD长为$2-0=2$，高为2，根据梯形面积公式$S_{梯形}=\frac{1}{2}×(上底+下底)×高$，可得$S_{梯形ABOD}=\frac{1}{2}×(1+2)×2=3$；
② 直角三角形COD的两条直角边OC长为1，OD长为2，根据三角形面积公式$S_{三角形}=\frac{1}{2}×底×高$，可得$S_{△COD}=\frac{1}{2}×1×2=1$；
③ 四边形ABCD的面积为两部分面积之和，相加即可得到最终结果。
【答案】
(1)如图所示。
(2)$S_{四边形ABCD}=S_{梯形ABOD}+S_{△ COD}$
$=\frac{1}{2}×(1+2)×2+\frac{1}{2}×1×2$
$=3+1$
$=4$
【知识点】
平面直角坐标系描点、割补法求面积、梯形与三角形面积计算
【点评】
本题考查平面直角坐标系的基础操作和不规则图形的面积求解，核心是利用割补法将不规则图形转化为熟悉的规则图形，再结合坐标求出对应边长代入公式计算，是平面直角坐标系与几何面积结合的基础题型。
【难度系数】
0.7
(1) 第一问是平面直角坐标系基础操作，解题时先明确平面直角坐标系的x轴、y轴及原点，再根据各点的横坐标（对应x轴数值）、纵坐标（对应y轴数值）逐一描点，最后按要求顺次连接即可。
(2) 第二问求不规则四边形的面积，可采用割补法，将不规则图形拆分为已学过的规则图形（梯形、三角形），分别计算各规则图形的面积后求和即可。观察图形特征，可将四边形ABCD拆分为梯形ABOD和直角三角形COD，两个规则图形的边长都可通过点的坐标求出，代入对应面积公式计算即可。
【解析】
(1) 先画出平面直角坐标系，确定原点O、x轴正方向向右、y轴正方向向上；根据坐标特征描出A(1,2)、B(0,2)、C(0,-1)、D(2,0)四个点，再顺次连接A、B、C、D、A，得到四边形ABCD。
(2) 用分割法求面积：
将四边形ABCD分割为梯形ABOD和直角三角形COD两部分：
① 梯形ABOD的上底AB长为$1-0=1$，下底OD长为$2-0=2$，高为2，根据梯形面积公式$S_{梯形}=\frac{1}{2}×(上底+下底)×高$，可得$S_{梯形ABOD}=\frac{1}{2}×(1+2)×2=3$；
② 直角三角形COD的两条直角边OC长为1，OD长为2，根据三角形面积公式$S_{三角形}=\frac{1}{2}×底×高$，可得$S_{△COD}=\frac{1}{2}×1×2=1$；
③ 四边形ABCD的面积为两部分面积之和，相加即可得到最终结果。
【答案】
(1)如图所示。
(2)$S_{四边形ABCD}=S_{梯形ABOD}+S_{△ COD}$
$=\frac{1}{2}×(1+2)×2+\frac{1}{2}×1×2$
$=3+1$
$=4$
【知识点】
平面直角坐标系描点、割补法求面积、梯形与三角形面积计算
【点评】
本题考查平面直角坐标系的基础操作和不规则图形的面积求解，核心是利用割补法将不规则图形转化为熟悉的规则图形，再结合坐标求出对应边长代入公式计算，是平面直角坐标系与几何面积结合的基础题型。
【难度系数】
0.7
1.已知$P(-3,-4)$，则点$P$到$x$轴的距离为（
A.3
B.4
C.5
D.3.5
B
）A.3
B.4
C.5
D.3.5
答案
1.B
解析
【分析】
要解决这道题，首先要明确平面直角坐标系中点到坐标轴距离的计算规则：点到x轴的距离等于该点纵坐标的绝对值，点到y轴的距离等于该点横坐标的绝对值。我们只需要找到点P的纵坐标，计算它的绝对值就可以得到正确结果。
【解析】
根据点到x轴距离的定义：点到x轴的距离为该点纵坐标的绝对值。
已知点P的坐标为$(-3,-4)$，它的纵坐标是$-4$，
因此点P到x轴的距离为$|-4|=4$，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
1. 点到坐标轴的距离
2. 绝对值的计算
【点评】
本题是基础概念类题型，只要牢记点到不同坐标轴时对应参考坐标的规则，不混淆横、纵坐标的对应关系，就可以快速得分。
【难度系数】
0.9
要解决这道题，首先要明确平面直角坐标系中点到坐标轴距离的计算规则：点到x轴的距离等于该点纵坐标的绝对值，点到y轴的距离等于该点横坐标的绝对值。我们只需要找到点P的纵坐标，计算它的绝对值就可以得到正确结果。
【解析】
根据点到x轴距离的定义：点到x轴的距离为该点纵坐标的绝对值。
已知点P的坐标为$(-3,-4)$，它的纵坐标是$-4$，
因此点P到x轴的距离为$|-4|=4$，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
1. 点到坐标轴的距离
2. 绝对值的计算
【点评】
本题是基础概念类题型，只要牢记点到不同坐标轴时对应参考坐标的规则，不混淆横、纵坐标的对应关系，就可以快速得分。
【难度系数】
0.9
2.若点M在y轴的左侧、x轴的上侧，且到每个坐标轴的距离都是2，则点M的坐标为(
A.$(-2,2)$
B.$(-2,-2)$
C.$(2,-2)$
D.$(2,2)$
A
)A.$(-2,2)$
B.$(-2,-2)$
C.$(2,-2)$
D.$(2,2)$
答案
2.A
解析
【分析】
解题时首先根据点的位置描述确定坐标的符号：y轴左侧的点横坐标为负，x轴上侧的点纵坐标为正，先排除符号不符合的选项；再结合点到坐标轴的距离与坐标的关系：点到y轴的距离是横坐标的绝对值，到x轴的距离是纵坐标的绝对值，结合距离为2的条件，就能求出点的具体坐标。
【解析】
1. 确定坐标符号：
点M在y轴左侧，因此横坐标x＜0；点M在x轴上侧，因此纵坐标y＞0，可知点M在第二象限，横负纵正。
2. 结合距离求坐标：
点M到y轴的距离为2，即|x|=2，结合x＜0可得x=-2；
点M到x轴的距离为2，即|y|=2，结合y＞0可得y=2；
因此点M的坐标为$(-2,2)$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
象限的坐标特征；点到坐标轴的距离；点坐标的确定
【点评】
本题是平面直角坐标系的基础题型，核心考查点的位置与坐标的对应关系，解题的关键是先明确坐标的符号特征，再结合距离条件求解，掌握基础概念即可快速作答。
【难度系数】
0.9
解题时首先根据点的位置描述确定坐标的符号：y轴左侧的点横坐标为负，x轴上侧的点纵坐标为正，先排除符号不符合的选项；再结合点到坐标轴的距离与坐标的关系：点到y轴的距离是横坐标的绝对值，到x轴的距离是纵坐标的绝对值，结合距离为2的条件，就能求出点的具体坐标。
【解析】
1. 确定坐标符号：
点M在y轴左侧，因此横坐标x＜0；点M在x轴上侧，因此纵坐标y＞0，可知点M在第二象限，横负纵正。
2. 结合距离求坐标：
点M到y轴的距离为2，即|x|=2，结合x＜0可得x=-2；
点M到x轴的距离为2，即|y|=2，结合y＞0可得y=2；
因此点M的坐标为$(-2,2)$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
象限的坐标特征；点到坐标轴的距离；点坐标的确定
【点评】
本题是平面直角坐标系的基础题型，核心考查点的位置与坐标的对应关系，解题的关键是先明确坐标的符号特征，再结合距离条件求解，掌握基础概念即可快速作答。
【难度系数】
0.9
3.已知点$M(1 - m, 1 + m)$在$x$轴上，点$N(n + 2, n - 2)$在$y$轴上，则$m + n$的值为(
A.$-3$
B.$-1$
C.$3$
D.$1$
A
)A.$-3$
B.$-1$
C.$3$
D.$1$
答案
3.A
解析
【分析】
解题时先回忆坐标轴上点的坐标特征：x轴上的点纵坐标为0，y轴上的点横坐标为0。首先根据点M在x轴上的条件列方程求出m的值，再根据点N在y轴上的条件列方程求出n的值，最后代入计算m+n的结果即可。
【解析】
解：
∵点$M(1 - m, 1 + m)$在$x$轴上，x轴上所有点的纵坐标为0，
∴$1+m=0$，解得$m=-1$。
∵点$N(n + 2, n - 2)$在$y$轴上，y轴上所有点的横坐标为0，
∴$n+2=0$，解得$n=-2$。
∴$m+n=-1+(-2)=-3$。
【答案】
A
【知识点】
坐标轴上点的坐标特征；解一元一次方程；有理数加法
【点评】
本题是基础概念应用题，核心是掌握坐标轴上点的坐标规律，只要分清x轴、y轴上点的横纵坐标的性质，就能快速求解，不易出错。
【难度系数】
0.8
解题时先回忆坐标轴上点的坐标特征：x轴上的点纵坐标为0，y轴上的点横坐标为0。首先根据点M在x轴上的条件列方程求出m的值，再根据点N在y轴上的条件列方程求出n的值，最后代入计算m+n的结果即可。
【解析】
解：
∵点$M(1 - m, 1 + m)$在$x$轴上，x轴上所有点的纵坐标为0，
∴$1+m=0$，解得$m=-1$。
∵点$N(n + 2, n - 2)$在$y$轴上，y轴上所有点的横坐标为0，
∴$n+2=0$，解得$n=-2$。
∴$m+n=-1+(-2)=-3$。
【答案】
A
【知识点】
坐标轴上点的坐标特征；解一元一次方程；有理数加法
【点评】
本题是基础概念应用题，核心是掌握坐标轴上点的坐标规律，只要分清x轴、y轴上点的横纵坐标的性质，就能快速求解，不易出错。
【难度系数】
0.8
4.如图,在平面直角坐标系中,点A的坐标为(-2,2),点F的坐标为(2,-1),则该坐标系的原点是
D
。答案
4.D
解析
【分析】
首先明确平面直角坐标系的相关规则：点的坐标为(x,y)，横坐标x向右为正、向左为负，纵坐标y向上为正、向下为负，原点坐标为(0,0)。解题时可以先从已知点A的坐标出发，反推原点的相对位置：A坐标为(-2,2)，说明原点在A的右侧2个单位、下方2个单位处；再用点F的坐标验证，F坐标为(2,-1)，说明原点在F的左侧2个单位、上方1个单位处，两次推导得到的同一点就是原点。
【解析】
设每个小方格的边长为1个单位长度：
1. 根据点A(-2,2)推导原点位置：横坐标从-2到0需要向右移动2格，纵坐标从2到0需要向下移动2格，从点A出发右移2格、下移2格，到达点D。
2. 用点F(2,-1)验证：横坐标从2到0需要向左移动2格，纵坐标从-1到0需要向上移动1格，从点F出发左移2格、上移1格，同样到达点D。
因此点D符合原点的坐标特征。
【答案】
D
【知识点】
平面直角坐标系，点的坐标，原点的定义
【点评】
本题考查平面直角坐标系中点的坐标的实际应用，需要熟练掌握横纵坐标的正负方向规定，通过已知点反推原点位置时，建议用第二个已知点进行验证，避免出错。
【难度系数】
0.7
首先明确平面直角坐标系的相关规则：点的坐标为(x,y)，横坐标x向右为正、向左为负，纵坐标y向上为正、向下为负，原点坐标为(0,0)。解题时可以先从已知点A的坐标出发，反推原点的相对位置：A坐标为(-2,2)，说明原点在A的右侧2个单位、下方2个单位处；再用点F的坐标验证，F坐标为(2,-1)，说明原点在F的左侧2个单位、上方1个单位处，两次推导得到的同一点就是原点。
【解析】
设每个小方格的边长为1个单位长度：
1. 根据点A(-2,2)推导原点位置：横坐标从-2到0需要向右移动2格，纵坐标从2到0需要向下移动2格，从点A出发右移2格、下移2格，到达点D。
2. 用点F(2,-1)验证：横坐标从2到0需要向左移动2格，纵坐标从-1到0需要向上移动1格，从点F出发左移2格、上移1格，同样到达点D。
因此点D符合原点的坐标特征。
【答案】
D
【知识点】
平面直角坐标系，点的坐标，原点的定义
【点评】
本题考查平面直角坐标系中点的坐标的实际应用，需要熟练掌握横纵坐标的正负方向规定，通过已知点反推原点位置时，建议用第二个已知点进行验证，避免出错。
【难度系数】
0.7
5.如图,点A的坐标是
(3,3)
,横坐标和纵坐标都是负数的点是C
,坐标是(-2,2)的点是D
。答案
5.(3,3) C D
解析
【分析】
要解决这道题，首先要明确平面直角坐标系中点的坐标的确定方法：点的坐标写作（横坐标，纵坐标），横坐标是过点向x轴作垂线，垂足对应x轴的数值（右正左负）；纵坐标是过点向y轴作垂线，垂足对应y轴的数值（上正下负）。其次要清楚不同位置点的坐标符号特征：第一象限（正，正）、第二象限（负，正）、第三象限（负，负）、第四象限（正，负）。解题时先逐个确定各点的坐标，再对应问题找出答案即可。
【解析】
1. 求点A的坐标：过点A向x轴作垂线，垂足对应x轴的刻度为3，即横坐标为3；过点A向y轴作垂线，垂足对应y轴的刻度为3，即纵坐标为3，因此点A的坐标是(3,3)。
2. 找横、纵坐标都是负数的点：横、纵坐标均为负的点在第三象限，观察四个点，只有点C在第三象限，符合要求。
3. 找坐标是(-2,2)的点：横坐标为-2说明点在x轴-2的竖线上，纵坐标为2说明点在y轴2的横线上，两条线的交点是点D。
【答案】
(3,3)；C；D
【知识点】
点的坐标表示；各象限点的坐标特征
【点评】
本题是平面直角坐标系的基础题型，重点考查坐标的读取方法和不同象限点的坐标符号规律，掌握基础概念即可轻松解答。
【难度系数】
0.9
要解决这道题，首先要明确平面直角坐标系中点的坐标的确定方法：点的坐标写作（横坐标，纵坐标），横坐标是过点向x轴作垂线，垂足对应x轴的数值（右正左负）；纵坐标是过点向y轴作垂线，垂足对应y轴的数值（上正下负）。其次要清楚不同位置点的坐标符号特征：第一象限（正，正）、第二象限（负，正）、第三象限（负，负）、第四象限（正，负）。解题时先逐个确定各点的坐标，再对应问题找出答案即可。
【解析】
1. 求点A的坐标：过点A向x轴作垂线，垂足对应x轴的刻度为3，即横坐标为3；过点A向y轴作垂线，垂足对应y轴的刻度为3，即纵坐标为3，因此点A的坐标是(3,3)。
2. 找横、纵坐标都是负数的点：横、纵坐标均为负的点在第三象限，观察四个点，只有点C在第三象限，符合要求。
3. 找坐标是(-2,2)的点：横坐标为-2说明点在x轴-2的竖线上，纵坐标为2说明点在y轴2的横线上，两条线的交点是点D。
【答案】
(3,3)；C；D
【知识点】
点的坐标表示；各象限点的坐标特征
【点评】
本题是平面直角坐标系的基础题型，重点考查坐标的读取方法和不同象限点的坐标符号规律，掌握基础概念即可轻松解答。
【难度系数】
0.9
