1. 如图，已知$□ ABCD$的两条对角线AC与BD交于平面直角坐标系的原点，点A的坐标为$(-2, 3)$，则点C的坐标为().

A.$(-3, 2)$
B.$(-2, -3)$
C.$(3, -2)$
D.$(2, -3)$

1. D

【分析】
解题时首先利用平行四边形对角线互相平分的性质，结合题目中对角线交于坐标原点的条件，可推出点A与点C关于原点对称；再根据关于原点对称的点的坐标特征：横、纵坐标均互为相反数，即可求出点C的坐标。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是平行四边形，对角线AC与BD交于原点O，
∴原点O是AC的中点，即点A和点C关于原点中心对称。
∵关于原点对称的两个点，横坐标、纵坐标都互为相反数，已知点A的坐标为$(-2, 3)$，
∴点C的横坐标为$-(-2)=2$，纵坐标为$-3$，即点C的坐标为$(2, -3)$。
【答案】
D
【知识点】
平行四边形的性质；关于原点对称的点的坐标特征
【点评】
本题将平行四边形的性质和平面直角坐标系的知识相结合，解题的核心是判断出A、C两点关于原点对称，熟练掌握相关性质和坐标规律就能快速求解。
【难度系数】
0.9

2. 下列命题：①关于中心对称的两个图形一定不全等；②关于中心对称的两个图形是全等图形；③两个全等的图形一定成中心对称. 其中真命题的个数是（）.

A.0个
B.1个
C.2个
D.3个

2. B

【分析】
解题时先回忆中心对称的定义与性质，逐一判断3个命题的真假：首先明确成中心对称的两个图形绕某点旋转180°后可完全重合，因此必然全等，据此判断①②的真假；再明确中心对称不仅要求两个图形全等，还要求位置满足绕某点旋转180°后重合的要求，据此判断③的真假，最后统计真命题的个数即可。
【解析】
我们逐个分析三个命题：
1. 命题①：根据中心对称的性质，成中心对称的两个图形旋转180°后能够完全重合，因此两个图形一定全等，故命题①为假命题；
2. 命题②：由中心对称的性质可知，成中心对称的两个图形是全等图形，故命题②为真命题；
3. 命题③：两个全等的图形仅形状、大小完全相同，但位置不一定满足“绕某一点旋转180°后互相重合”的要求，例如两个全等的正放的等边三角形，仅平移一段距离后二者全等但不成中心对称，故命题③为假命题。
综上，真命题只有1个。
【答案】
B
【知识点】
中心对称的性质、命题真假判断
【点评】
本题主要考查中心对称与全等图形的关系，易错点是容易混淆“成中心对称的图形全等”和“全等的图形成中心对称”，明确中心对称的定义和性质是解题的关键。
【难度系数】
0.7

3. 下列函数中，其图象一定关于原点对称的是().

A.$y=x$
B.$y=2x+1$
C.$y=x^2$
D.以上三种都不可能

3. A

【分析】
首先明确函数图象关于原点对称的判定依据：根据关于原点对称的点的坐标特征，若函数图象上任意一点$(x,y)$关于原点的对称点$(-x,-y)$也在该函数图象上，则这个函数的图象关于原点对称。解题时只需逐个验证各选项的函数是否满足该特征即可，验证方法为将自变量$x$替换为$-x$，判断得到的函数值是否等于原函数值的相反数。
【解析】
根据关于原点对称的点的坐标特征：点$(x,y)$关于原点的对称点为$(-x,-y)$，若函数图象关于原点对称，则对任意$x$，将$x$替换为$-x$后得到的函数值等于原函数值的相反数。
选项A：对$y=x$，将$x$替换为$-x$得$y=-x$，恰好是原函数值$x$的相反数，满足图象关于原点对称的要求；
选项B：对$y=2x+1$，将$x$替换为$-x$得$y=-2x+1$，原函数值的相反数为$-(2x+1)=-2x-1$，二者不相等，不满足要求；
选项C：对$y=x^2$，将$x$替换为$-x$得$y=x^2$，与原函数值相等，说明图象关于$y$轴对称，不关于原点对称；
选项D显然错误，因为A符合要求。
综上，本题选A。
【答案】
A
【知识点】
原点对称的坐标特征、函数图象对称性、常见函数性质
【点评】
本题考查函数图象关于原点对称的判定，解题核心是熟练掌握关于原点对称的点的坐标特征，通过逐一验证选项即可快速得出答案，属于基础题型，需要熟练掌握常见函数的图象特点。
【难度系数】
0.9

4. 点A(-1，a)与点$A^{'}(b$，2)关于原点对称，则a+b= y A D

4. -1

【分析】
要解决这道题，首先需要回忆关于原点对称的点的坐标性质：若两个点关于原点对称，则它们的横坐标互为相反数，纵坐标也互为相反数。我们可以利用这个性质，结合已知的两个点的坐标，分别求出a和b的值，最后代入计算a+b的结果即可。
【解析】
根据关于原点对称的点的坐标规律：点$P(x,y)$关于原点对称的点的坐标为$(-x,-y)$。
已知点$A(-1,a)$与点$A'(b,2)$关于原点对称，因此对应坐标满足：
横坐标：$b = -(-1) = 1$
纵坐标：$2 = -a$，解得$a = -2$
将$a=-2$，$b=1$代入$a+b$，得$a+b = -2 + 1 = -1$
【答案】
$-1$
【知识点】
关于原点对称的点的坐标特征；代数式求值
【点评】
本题属于基础题型，核心考查对原点对称的点的坐标规律的理解与应用，熟练掌握对应坐标互为相反数的规律即可快速解题，是平面直角坐标系对称类问题的基础考法。
【难度系数】
0.9

5. 如图，已知点A的坐标为$(-2\sqrt{3}, 2)$，点B的坐标为$(-1, -\sqrt{3})$，菱形ABCD的对角线交于坐标原点O，则点C的坐标为，点D的坐标为。

5. $(2\sqrt{3}, -2)$，$(1, \sqrt{3})$

【分析】
解题时首先结合菱形的性质分析：菱形的对角线互相平分，且对角线的交点是菱形的对称中心，本题中对角线交于原点O，说明O是菱形的对称中心，因此点A和点C关于原点对称，点B和点D关于原点对称。再运用关于原点对称的点的坐标特征：两个点关于原点对称时，横、纵坐标都互为相反数，即可分别求出点C、点D的坐标。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是菱形，对角线交于坐标原点O，
∴O是菱形ABCD的对称中心，即点A与点C关于原点对称，点B与点D关于原点对称。
根据关于原点对称的点的坐标规律：关于原点对称的两点，横坐标、纵坐标均互为相反数。
已知点A的坐标为$(-2\sqrt{3},2)$，因此点C的坐标为$(2\sqrt{3}, -2)$；
已知点B的坐标为$(-1, -\sqrt{3})$，因此点D的坐标为$(1, \sqrt{3})$。
【答案】
$(2\sqrt{3}, -2)$，$(1, \sqrt{3})$
【知识点】
菱形的性质；关于原点对称的点的坐标特征
【点评】
本题是基础题型，解题核心是结合菱形的中心对称性，确定相对的顶点关于原点对称，直接套用原点对称的坐标变换规律即可得到结果，不需要复杂计算。
【难度系数】
0.9

6. 如图，在平面直角坐标系中，$△ ABC$的顶点分别为$A(2, -1)$，$B(1, -3)$，$C(4, -4)$，
(1)作出$△ ABC$关于原点$O$对称的$△ A_1B_1C_1$；
(2)写出点$A_1$，$B_1$，$C_1$的坐标；
(3)求$△ A_1B_1C_1$的面积.

6. (1)如图所示，$△A_1B_1C_1$即为所求。
(2)由图知点$A_1$的坐标为$(-2, 1)$，$B_1$的坐标为$(-1, 3)$，$C_1$的坐标为$(-4, 4)$。
(3)$△A_1B_1C_1$的面积为$9-1-3-1.5=3.5$。

【分析】
本题分为三小问，解题思路如下：
1. 第一问作图：先回忆关于原点对称的点的坐标规律：两点关于原点对称时，横、纵坐标均互为相反数。先求出△ABC三个顶点的对称点坐标，再在坐标系中描点、顺次连线即可得到所求图形。
2. 第二问写坐标：直接应用原点对称的坐标规律，将A、B、C三点的横、纵坐标分别取相反数，就能得到对应对称点的坐标。
3. 第三问求面积：关于原点对称的两个图形全等，因此△A₁B₁C₁和△ABC面积相等，用割补法计算即可：将三角形放入外接矩形中，用矩形面积减去周围三个直角三角形的面积，就能得到目标三角形的面积。
【解析】
(1) 根据关于原点对称的点的坐标特征，计算得A(2,-1)的对称点为A₁(-2,1)，B(1,-3)的对称点为B₁(-1,3)，C(4,-4)的对称点为C₁(-4,4)；在平面直角坐标系中描出A₁、B₁、C₁三个点，再顺次连接A₁B₁、B₁C₁、C₁A₁，所得三角形即为所求。
(2) 由原点对称的坐标变化规律可得：A₁的坐标是(-2,1)，B₁的坐标是(-1,3)，C₁的坐标是(-4,4)。
(3) 因为关于原点对称的两个图形全等，所以$S_{△A₁B₁C₁}=S_{△ABC}$。用割补法计算：
△ABC的外接正方形边长为3，面积为$3×3=9$；
周围三个直角三角形的面积分别为$\frac{1}{2}×1×2=1$、$\frac{1}{2}×1×3=1.5$、$\frac{1}{2}×2×3=3$；
因此$S_{△A₁B₁C₁}=9-1-1.5-3=3.5$。
【答案】
(1)如图所示，$△A_1B_1C_1$即为所求。
(2)$A_1(-2,1)$，$B_1(-1,3)$，$C_1(-4,4)$
(3)3.5
【知识点】
关于原点对称的点的坐标特征，割补法求图形面积，坐标与图形变换
【点评】
本题综合考查了原点对称变换的相关知识，核心是掌握原点对称的坐标变化规律，割补法是平面直角坐标系中求解不规则图形面积的常用方法，需要熟练掌握。
【难度系数】
0.7