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1.[与T7互为孪生题]如图是一个抛物线形拱桥的示意图，在所给出的平面直角坐标系中，当水位在AB位置时，水面宽度为10 m，此时水面到桥拱的最大高度是4 m，则抛物线对应的函数表达式为（
A.$y=\frac{25}{4}x^2$
B.$y=-\frac{25}{4}x^2$
C.$y=-\frac{4}{25}x^2$
D.$y=\frac{4}{25}x^2$
C
）A.$y=\frac{25}{4}x^2$
B.$y=-\frac{25}{4}x^2$
C.$y=-\frac{4}{25}x^2$
D.$y=\frac{4}{25}x^2$
答案
1.C
解析
【分析】
首先观察抛物线的位置，顶点在原点、对称轴为y轴，因此可设抛物线的解析式为顶点式$y=ax^2$（$a≠0$）；其次结合已知条件：水面宽度AB为10m，可得AB端点的横坐标为$\pm5$，水面到桥拱最大高度为4m，可得端点的纵坐标为$-4$，即抛物线上一点坐标为$(5,-4)$；最后将该点代入所设解析式求出$a$的值，结合开口向下判断$a$的符号，即可得到正确解析式。
【解析】
解：由图可知抛物线顶点在原点，对称轴为y轴，故设抛物线的函数表达式为$y=ax^2$（$a≠0$）。
∵水面AB宽度为10m，对称轴为y轴，
∴点B的横坐标为$10÷2=5$。
又
∵水面到桥拱的最大高度为4m，
∴点B的纵坐标为$-4$，即点B坐标为$(5,-4)$。
将$(5,-4)$代入$y=ax^2$，得：
$-4=a×5^2$
$25a=-4$
解得$a=-\frac{4}{25}$
∴抛物线对应的函数表达式为$y=-\frac{4}{25}x^2$，故选C。
【答案】
C
【知识点】
待定系数法求二次函数解析式；二次函数的实际应用；二次函数的图象性质
【点评】
本题是二次函数解决实际问题的基础题型，解题的核心是根据抛物线的位置选择简便的解析式形式，结合已知条件确定抛物线上点的坐标，代入求解即可，需注意开口方向对二次项系数符号的影响，避免符号错误。
【难度系数】
0.7
首先观察抛物线的位置，顶点在原点、对称轴为y轴，因此可设抛物线的解析式为顶点式$y=ax^2$（$a≠0$）；其次结合已知条件：水面宽度AB为10m，可得AB端点的横坐标为$\pm5$，水面到桥拱最大高度为4m，可得端点的纵坐标为$-4$，即抛物线上一点坐标为$(5,-4)$；最后将该点代入所设解析式求出$a$的值，结合开口向下判断$a$的符号，即可得到正确解析式。
【解析】
解：由图可知抛物线顶点在原点，对称轴为y轴，故设抛物线的函数表达式为$y=ax^2$（$a≠0$）。
∵水面AB宽度为10m，对称轴为y轴，
∴点B的横坐标为$10÷2=5$。
又
∵水面到桥拱的最大高度为4m，
∴点B的纵坐标为$-4$，即点B坐标为$(5,-4)$。
将$(5,-4)$代入$y=ax^2$，得：
$-4=a×5^2$
$25a=-4$
解得$a=-\frac{4}{25}$
∴抛物线对应的函数表达式为$y=-\frac{4}{25}x^2$，故选C。
【答案】
C
【知识点】
待定系数法求二次函数解析式；二次函数的实际应用；二次函数的图象性质
【点评】
本题是二次函数解决实际问题的基础题型，解题的核心是根据抛物线的位置选择简便的解析式形式，结合已知条件确定抛物线上点的坐标，代入求解即可，需注意开口方向对二次项系数符号的影响，避免符号错误。
【难度系数】
0.7
变式训练
已建坐标系→未建坐标系
如图，某拱桥呈抛物线形状，桥的最大高度CM是16 m，跨度AB是40 m，则在线段AB上离中心点M 5 m处的地方，桥距离AB的高度是
A
B
C
M
已建坐标系→未建坐标系
如图，某拱桥呈抛物线形状，桥的最大高度CM是16 m，跨度AB是40 m，则在线段AB上离中心点M 5 m处的地方，桥距离AB的高度是
15
m.A
B
C
M
答案
15
解析
【分析】
要解决抛物线形拱桥的高度问题，需先将实际问题转化为二次函数问题：首先建立合适的平面直角坐标系简化计算，可选择AB所在直线为x轴、中心点M为原点、CM所在直线为y轴建系；再根据已知的跨度、最大高度确定抛物线上关键点的坐标，用待定系数法求出二次函数解析式；最后将离M点5m处对应的横坐标代入解析式，计算得到的y值即为桥距离AB的高度。
【解析】
1. 建立平面直角坐标系：以M为原点，AB所在直线为x轴，CM所在直线为y轴建立直角坐标系。
由题意可知，AB跨度为40m，因此A点坐标为(-20,0)，B点坐标为(20,0)；桥的最大高度CM为16m，因此抛物线顶点C的坐标为(0,16)。
2. 设抛物线解析式：因抛物线顶点为(0,16)，对称轴为y轴，故设解析式为$y=ax^2+16$（$a≠0$）。
3. 求待定系数$a$：将B(20,0)代入解析式得：
$0=a×20^2+16$
解得$a=-\frac{1}{25}$，因此抛物线解析式为$y=-\frac{1}{25}x^2+16$。
4. 计算所求高度：离M点5m处的横坐标为$x=5$或$x=-5$，代入解析式得：
$y=-\frac{1}{25}×5^2+16=-1+16=15$
即该位置桥距离AB的高度为15m。
【答案】
15
【知识点】
二次函数的实际应用；待定系数法求二次函数解析式；二次函数求值
【点评】
本题是二次函数解决实际问题的基础题型，关键在于选择合适的位置建立平面直角坐标系，降低解析式求解的复杂度，解题过程需熟练掌握二次函数顶点式的应用及代入求值的方法。
【难度系数】
0.8
要解决抛物线形拱桥的高度问题，需先将实际问题转化为二次函数问题：首先建立合适的平面直角坐标系简化计算，可选择AB所在直线为x轴、中心点M为原点、CM所在直线为y轴建系；再根据已知的跨度、最大高度确定抛物线上关键点的坐标，用待定系数法求出二次函数解析式；最后将离M点5m处对应的横坐标代入解析式，计算得到的y值即为桥距离AB的高度。
【解析】
1. 建立平面直角坐标系：以M为原点，AB所在直线为x轴，CM所在直线为y轴建立直角坐标系。
由题意可知，AB跨度为40m，因此A点坐标为(-20,0)，B点坐标为(20,0)；桥的最大高度CM为16m，因此抛物线顶点C的坐标为(0,16)。
2. 设抛物线解析式：因抛物线顶点为(0,16)，对称轴为y轴，故设解析式为$y=ax^2+16$（$a≠0$）。
3. 求待定系数$a$：将B(20,0)代入解析式得：
$0=a×20^2+16$
解得$a=-\frac{1}{25}$，因此抛物线解析式为$y=-\frac{1}{25}x^2+16$。
4. 计算所求高度：离M点5m处的横坐标为$x=5$或$x=-5$，代入解析式得：
$y=-\frac{1}{25}×5^2+16=-1+16=15$
即该位置桥距离AB的高度为15m。
【答案】
15
【知识点】
二次函数的实际应用；待定系数法求二次函数解析式；二次函数求值
【点评】
本题是二次函数解决实际问题的基础题型，关键在于选择合适的位置建立平面直角坐标系，降低解析式求解的复杂度，解题过程需熟练掌握二次函数顶点式的应用及代入求值的方法。
【难度系数】
0.8
2. 廊桥是我国古老的文化遗产，如图是某座抛物线形廊桥的示意图.已知抛物线对应的函数表达式是$y=-\frac{1}{40}x^2 +10$，为了确保廊桥上的通行安全，需分别在抛物线上距水面AB高为8 m的点E，F处安装两盏警示灯，则这两盏灯的水平距离EF为
$8\sqrt{5}$
m.答案
2.$8\sqrt{5}$
解析
【分析】
首先明确水面AB与x轴重合，纵坐标y表示廊桥位置到水面的高度，要求距水面高8m处E、F两点的水平距离，就是当y=8时，求抛物线对应两个点的横坐标，再计算两个横坐标的差即可得到EF的长度。另外可利用抛物线关于y轴对称的性质，求出正的横坐标后乘2快速得到EF的长。
【解析】
由题意可知，警示灯距水面高度为8m，即此时纵坐标$y=8$，将$y=8$代入抛物线表达式$y=-\frac{1}{40}x^2 +10$中，得：
$\displaystyle 8=-\frac{1}{40}x^2 +10$
移项整理：$\displaystyle \frac{1}{40}x^2=10-8=2$
两边同乘40：$x^2=80$
解得：$x=\pm 4\sqrt{5}$
即点E的横坐标为$-4\sqrt{5}$，点F的横坐标为$4\sqrt{5}$，
则水平距离$EF=4\sqrt{5} - (-4\sqrt{5})=8\sqrt{5}\ \mathrm{m}$。
【答案】
$8\sqrt{5}$
【知识点】
二次函数的实际应用；二次函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题结合实际场景考查二次函数的应用，解题核心是理解实际高度与函数纵坐标的对应关系，代入解析式求解横坐标即可，解题过程中可利用抛物线的对称性简化计算。
【难度系数】
0.7
首先明确水面AB与x轴重合，纵坐标y表示廊桥位置到水面的高度，要求距水面高8m处E、F两点的水平距离，就是当y=8时，求抛物线对应两个点的横坐标，再计算两个横坐标的差即可得到EF的长度。另外可利用抛物线关于y轴对称的性质，求出正的横坐标后乘2快速得到EF的长。
【解析】
由题意可知，警示灯距水面高度为8m，即此时纵坐标$y=8$，将$y=8$代入抛物线表达式$y=-\frac{1}{40}x^2 +10$中，得：
$\displaystyle 8=-\frac{1}{40}x^2 +10$
移项整理：$\displaystyle \frac{1}{40}x^2=10-8=2$
两边同乘40：$x^2=80$
解得：$x=\pm 4\sqrt{5}$
即点E的横坐标为$-4\sqrt{5}$，点F的横坐标为$4\sqrt{5}$，
则水平距离$EF=4\sqrt{5} - (-4\sqrt{5})=8\sqrt{5}\ \mathrm{m}$。
【答案】
$8\sqrt{5}$
【知识点】
二次函数的实际应用；二次函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题结合实际场景考查二次函数的应用，解题核心是理解实际高度与函数纵坐标的对应关系，代入解析式求解横坐标即可，解题过程中可利用抛物线的对称性简化计算。
【难度系数】
0.7
3. 有一个抛物线形的拱桥洞，桥洞离水面的最大高度为4 m，跨度为10 m，如图，把它的截面放在平面直角坐标系中。
(1)求这条抛物线对应的函数表达式；
(2)在对称轴右边1 m处，桥洞离水面的高是多少？
(1)求这条抛物线对应的函数表达式；
(2)在对称轴右边1 m处，桥洞离水面的高是多少？
答案
3.(1)$y=-\frac{4}{25}(x-5)^2+4$ (2)3.84 m
解析
【分析】
(1) 求解抛物线解析式首先提取已知条件中的关键点：抛物线与x轴交于(0,0)和(10,0)，顶点坐标为(5,4)，已知顶点优先选用顶点式设函数表达式，代入已知点即可求出未知系数，得到解析式。(2) 对称轴为x=5，对称轴右边1m对应横坐标x=6，将x=6代入第一问求得的解析式，计算出的y值即为桥洞离水面的高度。
【解析】
(1) 由题意得，抛物线的顶点坐标为$(5,4)$，且过点$(0,0)$。
设抛物线的函数表达式为顶点式$y=a(x-h)^2+k$（$a≠0$，$(h,k)$为顶点坐标），将$h=5,k=4$代入得：
$y=a(x-5)^2+4$
把点$(0,0)$代入上式：
$0=a(0-5)^2+4$
解得$a=-\frac{4}{25}$
因此这条抛物线对应的函数表达式为$y=-\frac{4}{25}(x-5)^2+4$（$0≤ x≤10$）。
(2) 抛物线的对称轴为直线$x=5$，对称轴右边1m处的横坐标为$x=5+1=6$，
将$x=6$代入解析式得：
$y=-\frac{4}{25}×(6-5)^2+4=-\frac{4}{25}+4=\frac{96}{25}=3.84$
即此处桥洞离水面的高是3.84m。
【答案】
(1)$y=-\frac{4}{25}(x-5)^2+4$
(2)$3.84\ \mathrm{m}$
【知识点】
二次函数解析式求解；二次函数的实际应用；二次函数图像性质
【点评】
本题是二次函数解决实际问题的基础题型，解题核心是结合图像和题干信息确定抛物线上的关键坐标点，选择合适的解析式形式求解，再代入求值即可，解题时要注意实际问题中自变量的取值范围。
【难度系数】
0.8
(1) 求解抛物线解析式首先提取已知条件中的关键点：抛物线与x轴交于(0,0)和(10,0)，顶点坐标为(5,4)，已知顶点优先选用顶点式设函数表达式，代入已知点即可求出未知系数，得到解析式。(2) 对称轴为x=5，对称轴右边1m对应横坐标x=6，将x=6代入第一问求得的解析式，计算出的y值即为桥洞离水面的高度。
【解析】
(1) 由题意得，抛物线的顶点坐标为$(5,4)$，且过点$(0,0)$。
设抛物线的函数表达式为顶点式$y=a(x-h)^2+k$（$a≠0$，$(h,k)$为顶点坐标），将$h=5,k=4$代入得：
$y=a(x-5)^2+4$
把点$(0,0)$代入上式：
$0=a(0-5)^2+4$
解得$a=-\frac{4}{25}$
因此这条抛物线对应的函数表达式为$y=-\frac{4}{25}(x-5)^2+4$（$0≤ x≤10$）。
(2) 抛物线的对称轴为直线$x=5$，对称轴右边1m处的横坐标为$x=5+1=6$，
将$x=6$代入解析式得：
$y=-\frac{4}{25}×(6-5)^2+4=-\frac{4}{25}+4=\frac{96}{25}=3.84$
即此处桥洞离水面的高是3.84m。
【答案】
(1)$y=-\frac{4}{25}(x-5)^2+4$
(2)$3.84\ \mathrm{m}$
【知识点】
二次函数解析式求解；二次函数的实际应用；二次函数图像性质
【点评】
本题是二次函数解决实际问题的基础题型，解题核心是结合图像和题干信息确定抛物线上的关键坐标点，选择合适的解析式形式求解，再代入求值即可，解题时要注意实际问题中自变量的取值范围。
【难度系数】
0.8
4. 如图，某工厂的大门是抛物线形水泥建筑，大门底部地面宽4 m，顶部距地面的高度为4.4 m. 现有一辆满载货物的汽车欲通过大门，其装货宽度为2.4 m，该车要想通过此门，装货后的高度最大应为
2.8
m.（结果保留一位小数）答案
4.2.8
解析
【分析】
要解决本题，我们可以通过建立平面直角坐标系，利用二次函数的性质求解：首先合理建立坐标系，确定抛物线上关键点的坐标，用待定系数法求出抛物线的解析式；再结合汽车的装货宽度，代入对应的横坐标求出纵坐标，该纵坐标值就是车辆能通过的最大装货高度。
【解析】
1. 建立平面直角坐标系：以大门底部地面的中点为原点，水平向右为x轴正方向，竖直向上为y轴正方向。由题意可知，抛物线顶点坐标为$(0,4.4)$，抛物线与x轴的两个交点坐标为$(2,0)$、$(-2,0)$。
2. 设抛物线的解析式为顶点式$y=ax^2+4.4$，将点$(2,0)$代入解析式：
$0=a×2^2+4.4$
解得$a=-1.1$，因此抛物线解析式为$y=-1.1x^2+4.4$。
3. 汽车装货宽度为2.4m，因此装货部分的半宽为$2.4÷2=1.2m$，将$x=1.2$代入解析式求对应高度：
$y=-1.1×1.2^2+4.4=-1.1×1.44+4.4=2.816\approx2.8(m)$
【答案】
2.8
【知识点】
二次函数的实际应用，待定系数法求解析式，二次函数求值
【点评】
本题是二次函数解决实际问题的典型题型，解题核心是通过建立坐标系将实际问题转化为二次函数问题，准确找到关键点坐标求出解析式后，结合实际需求计算即可。
【难度系数】
0.7
要解决本题，我们可以通过建立平面直角坐标系，利用二次函数的性质求解：首先合理建立坐标系，确定抛物线上关键点的坐标，用待定系数法求出抛物线的解析式；再结合汽车的装货宽度，代入对应的横坐标求出纵坐标，该纵坐标值就是车辆能通过的最大装货高度。
【解析】
1. 建立平面直角坐标系：以大门底部地面的中点为原点，水平向右为x轴正方向，竖直向上为y轴正方向。由题意可知，抛物线顶点坐标为$(0,4.4)$，抛物线与x轴的两个交点坐标为$(2,0)$、$(-2,0)$。
2. 设抛物线的解析式为顶点式$y=ax^2+4.4$，将点$(2,0)$代入解析式：
$0=a×2^2+4.4$
解得$a=-1.1$，因此抛物线解析式为$y=-1.1x^2+4.4$。
3. 汽车装货宽度为2.4m，因此装货部分的半宽为$2.4÷2=1.2m$，将$x=1.2$代入解析式求对应高度：
$y=-1.1×1.2^2+4.4=-1.1×1.44+4.4=2.816\approx2.8(m)$
【答案】
2.8
【知识点】
二次函数的实际应用，待定系数法求解析式，二次函数求值
【点评】
本题是二次函数解决实际问题的典型题型，解题核心是通过建立坐标系将实际问题转化为二次函数问题，准确找到关键点坐标求出解析式后，结合实际需求计算即可。
【难度系数】
0.7
5. [教材 P39 练习第 2 题改编]某公司草坪的护栏是由 50 段形状相同的抛物线形构件组成的，为牢固起见，每段护栏需按间距 0.4 m 加设不锈钢管(如图 1)做成立柱，为了计算所需不锈钢管立柱的总长度，设计人员利用图 2 所示的平面直角坐标系进行计算.
(1)求此抛物线对应的函数表达式；
(2)计算所需不锈钢管的总长度.
(1)求此抛物线对应的函数表达式；
(2)计算所需不锈钢管的总长度.
答案
5.(1)$y=-0.5x^2+0.5$ (2)80 m
解析
【分析】
(1) 求抛物线解析式：观察坐标系可知抛物线对称轴为y轴，顶点坐标为(0, 0.5)，且过点(1, 0)，因此可设顶点式$y=ax^2+k$，代入已知点坐标求出参数，即可得到函数表达式。
(2) 计算总长度：首先根据立柱间距0.4m确定各立柱底部的横坐标，利用抛物线关于y轴对称的性质，只需计算左侧两个立柱的高度，即可得到右侧对应立柱高度，求出单段护栏的立柱总长度后，乘以50段即可得到总长度。
【解析】
(1) 设抛物线对应的函数表达式为$y=ax^2+k(a≠0)$。
由题意可知抛物线顶点为$(0, 0.5)$，代入得$k=0.5$，即$y=ax^2+0.5$。
又抛物线过点$(1, 0)$，将$x=1,y=0$代入得：
$0=a×1^2+0.5$，解得$a=-0.5$。
因此抛物线对应的函数表达式为$y=-0.5x^2+0.5(-1≤ x≤1)$。
(2) 由题意可知立柱间距为0.4m，因此各立柱底部的横坐标分别为$x=-0.6、x=-0.2、x=0.2、x=0.6$。
① 当$x=-0.6$时，代入解析式得：
$y=-0.5×(-0.6)^2+0.5=0.32(\mathrm{m})$，即对应立柱长度为0.32m；
② 当$x=-0.2$时，代入解析式得：
$y=-0.5×(-0.2)^2+0.5=0.48(\mathrm{m})$，即对应立柱长度为0.48m。
由抛物线对称性可知，$x=0.2$对应立柱长0.48m，$x=0.6$对应立柱长0.32m。
因此单段护栏的立柱总长度为$0.32+0.48+0.48+0.32=1.6(\mathrm{m})$。
共有50段护栏，因此所需不锈钢管的总长度为$1.6×50=80(\mathrm{m})$。
【答案】
(1)$y=-0.5x^2+0.5$；(2)$80\ \mathrm{m}$
【知识点】
二次函数解析式求解，二次函数的对称性，二次函数的实际应用
【点评】
本题以实际护栏建筑为背景考查二次函数的应用，解题核心是结合坐标系求出抛物线解析式，再利用函数性质计算对应线段长度，利用抛物线对称性可简化计算，避免重复运算。
【难度系数】
0.75
(1) 求抛物线解析式：观察坐标系可知抛物线对称轴为y轴，顶点坐标为(0, 0.5)，且过点(1, 0)，因此可设顶点式$y=ax^2+k$，代入已知点坐标求出参数，即可得到函数表达式。
(2) 计算总长度：首先根据立柱间距0.4m确定各立柱底部的横坐标，利用抛物线关于y轴对称的性质，只需计算左侧两个立柱的高度，即可得到右侧对应立柱高度，求出单段护栏的立柱总长度后，乘以50段即可得到总长度。
【解析】
(1) 设抛物线对应的函数表达式为$y=ax^2+k(a≠0)$。
由题意可知抛物线顶点为$(0, 0.5)$，代入得$k=0.5$，即$y=ax^2+0.5$。
又抛物线过点$(1, 0)$，将$x=1,y=0$代入得：
$0=a×1^2+0.5$，解得$a=-0.5$。
因此抛物线对应的函数表达式为$y=-0.5x^2+0.5(-1≤ x≤1)$。
(2) 由题意可知立柱间距为0.4m，因此各立柱底部的横坐标分别为$x=-0.6、x=-0.2、x=0.2、x=0.6$。
① 当$x=-0.6$时，代入解析式得：
$y=-0.5×(-0.6)^2+0.5=0.32(\mathrm{m})$，即对应立柱长度为0.32m；
② 当$x=-0.2$时，代入解析式得：
$y=-0.5×(-0.2)^2+0.5=0.48(\mathrm{m})$，即对应立柱长度为0.48m。
由抛物线对称性可知，$x=0.2$对应立柱长0.48m，$x=0.6$对应立柱长0.32m。
因此单段护栏的立柱总长度为$0.32+0.48+0.48+0.32=1.6(\mathrm{m})$。
共有50段护栏，因此所需不锈钢管的总长度为$1.6×50=80(\mathrm{m})$。
【答案】
(1)$y=-0.5x^2+0.5$；(2)$80\ \mathrm{m}$
【知识点】
二次函数解析式求解，二次函数的对称性，二次函数的实际应用
【点评】
本题以实际护栏建筑为背景考查二次函数的应用，解题核心是结合坐标系求出抛物线解析式，再利用函数性质计算对应线段长度，利用抛物线对称性可简化计算，避免重复运算。
【难度系数】
0.75
