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8. [与T2互为孪生题]某农场拟建两间矩形饲养室，一面靠现有墙（墙足够长），中间用一道墙隔开，并在如图所示的三处各留一扇1 m宽的门。已知计划中的材料可建墙体（不包括门）的总长为27 m，则能建成的饲养室面积最大为
75
m²。答案
8. 75
解析
【分析】
本题是二次函数求实际最大面积的问题，解题思路如下：1. 合理设未知数：设垂直于墙的边长为x m；2. 处理门的宽度：3扇门各宽1m，共节省3m墙体材料，因此等效可建墙体总长度（含门的位置）为27+3=30m；3. 表示平行于墙的边长：两间饲养室有3段垂直于墙的墙体，因此平行于墙的边长为(30-3x)m；4. 写出面积的函数解析式：利用矩形面积=长×宽得到S关于x的二次函数；5. 利用二次函数性质求最大值，注意验证自变量取值范围是否包含顶点横坐标。
【解析】
解：设垂直于现有墙的边长为$ x \, \mathrm{m} $，饲养室的总面积为$ S \, \mathrm{m}^2 $。
由题意得，3扇门总宽度为$ 3 × 1 = 3 \, \mathrm{m} $，等效可建墙体总长度（含门的位置）为$ 27 + 3 = 30 \, \mathrm{m} $。
平行于墙的边长为$ 30 - 3x \, \mathrm{m} $，因此面积：
$\begin{aligned}S&=x(30-3x)\\&=-3x^2+30x\end{aligned}$
自变量取值范围：$\begin{cases}x＞0 \\ 30-3x＞0\end{cases}$，即$ 0＜x＜10 $。
二次函数$ S=-3x^2+30x $中$ a=-3＜0 $，图象开口向下，在顶点处取得最大值：
顶点横坐标$ x=-\frac{b}{2a}=-\frac{30}{2×(-3)}=5 $，在$ 0＜x＜10 $范围内。
将$ x=5 $代入得：
$ S_{\mathrm{最大值}}=-3×5^2 + 30×5=75 \, \mathrm{m}^2 $
【答案】
75
【知识点】
二次函数的应用；二次函数的最值；矩形面积计算
【点评】
本题是二次函数解决实际面积问题的典型题型，易错点是容易忽略门的宽度导致边长表达式错误，解题时要先理清墙体各部分的数量关系，正确得到函数解析式后再结合二次函数性质求解，同时要注意自变量的实际意义。
【难度系数】
0.7
本题是二次函数求实际最大面积的问题，解题思路如下：1. 合理设未知数：设垂直于墙的边长为x m；2. 处理门的宽度：3扇门各宽1m，共节省3m墙体材料，因此等效可建墙体总长度（含门的位置）为27+3=30m；3. 表示平行于墙的边长：两间饲养室有3段垂直于墙的墙体，因此平行于墙的边长为(30-3x)m；4. 写出面积的函数解析式：利用矩形面积=长×宽得到S关于x的二次函数；5. 利用二次函数性质求最大值，注意验证自变量取值范围是否包含顶点横坐标。
【解析】
解：设垂直于现有墙的边长为$ x \, \mathrm{m} $，饲养室的总面积为$ S \, \mathrm{m}^2 $。
由题意得，3扇门总宽度为$ 3 × 1 = 3 \, \mathrm{m} $，等效可建墙体总长度（含门的位置）为$ 27 + 3 = 30 \, \mathrm{m} $。
平行于墙的边长为$ 30 - 3x \, \mathrm{m} $，因此面积：
$\begin{aligned}S&=x(30-3x)\\&=-3x^2+30x\end{aligned}$
自变量取值范围：$\begin{cases}x＞0 \\ 30-3x＞0\end{cases}$，即$ 0＜x＜10 $。
二次函数$ S=-3x^2+30x $中$ a=-3＜0 $，图象开口向下，在顶点处取得最大值：
顶点横坐标$ x=-\frac{b}{2a}=-\frac{30}{2×(-3)}=5 $，在$ 0＜x＜10 $范围内。
将$ x=5 $代入得：
$ S_{\mathrm{最大值}}=-3×5^2 + 30×5=75 \, \mathrm{m}^2 $
【答案】
75
【知识点】
二次函数的应用；二次函数的最值；矩形面积计算
【点评】
本题是二次函数解决实际面积问题的典型题型，易错点是容易忽略门的宽度导致边长表达式错误，解题时要先理清墙体各部分的数量关系，正确得到函数解析式后再结合二次函数性质求解，同时要注意自变量的实际意义。
【难度系数】
0.7
9.某公司销售一种商品，进价为20元/件，经过市场调查发现，该商品的日销售量y（单位：件）与当天的销售单价x（单位：元）之间是一次函数关系，其销售单价、日销售量的三组对应数值如下表：
(1)y与x之间的函数表达式为
(2)求该商品每天获得的利润w的最大值。
(1)y与x之间的函数表达式为
$y=-10x+800$
；(2)求该商品每天获得的利润w的最大值。
答案
9.(1)$y=-10x+800$ (2)9 000
解析
【分析】
第(1)问：已知y与x是一次函数关系，采用待定系数法求解。先设一次函数解析式为$y=kx+b(k≠0)$，选取表格中两组x、y的对应值代入，得到关于k、b的二元一次方程组，解出k、b即可得到函数表达式，可代入第三组数据验证结果正确性。
第(2)问：根据“总利润=单件利润×日销售量”的等量关系列函数式，单件利润为销售单价x减去进价20元，日销售量为第(1)问求出的y，据此得到利润w关于x的二次函数，再结合二次函数的性质，因二次项系数小于0，抛物线开口向下，顶点处即为最大值点，计算出最值即可。
【解析】
(1)设y与x的函数表达式为$y=kx+b(k≠0)$，
将$\begin{cases}x=30\\y=500\end{cases}$和$\begin{cases}x=40\\y=400\end{cases}$代入解析式得：
$\begin{cases}30k + b = 500 \\40k + b = 400\end{cases}$
用第二个方程减第一个方程，得$10k=-100$，解得$k=-10$，
将$k=-10$代入$30k + b = 500$，得$-300+b=500$，解得$b=800$，
验证：当$x=35$时，$y=-10×35+800=450$，与表格数据一致，
故y与x的函数表达式为$y=-10x+800$。
(2)由题意得，单件商品利润为$(x-20)$元，
则总利润$w=(x-20)y=(x-20)(-10x+800)$，
展开整理得：$w=-10x^2+1000x-16000$，
配方得：$w=-10(x-50)^2+9000$，
$\because -10＜0$，抛物线开口向下，
$\therefore$当$x=50$时，w取得最大值，最大值为9000元。
【答案】
(1)$y=-10x+800$；(2)9000
【知识点】
待定系数法求一次函数；二次函数利润应用；二次函数最值计算
【点评】
本题是函数在销售问题中的典型应用，解题核心是先确定一次函数关系，再结合利润公式构建二次函数模型，利用二次函数性质求解最值，难度适中，掌握基本公式和函数性质即可解答。
【难度系数】
0.7
第(1)问：已知y与x是一次函数关系，采用待定系数法求解。先设一次函数解析式为$y=kx+b(k≠0)$，选取表格中两组x、y的对应值代入，得到关于k、b的二元一次方程组，解出k、b即可得到函数表达式，可代入第三组数据验证结果正确性。
第(2)问：根据“总利润=单件利润×日销售量”的等量关系列函数式，单件利润为销售单价x减去进价20元，日销售量为第(1)问求出的y，据此得到利润w关于x的二次函数，再结合二次函数的性质，因二次项系数小于0，抛物线开口向下，顶点处即为最大值点，计算出最值即可。
【解析】
(1)设y与x的函数表达式为$y=kx+b(k≠0)$，
将$\begin{cases}x=30\\y=500\end{cases}$和$\begin{cases}x=40\\y=400\end{cases}$代入解析式得：
$\begin{cases}30k + b = 500 \\40k + b = 400\end{cases}$
用第二个方程减第一个方程，得$10k=-100$，解得$k=-10$，
将$k=-10$代入$30k + b = 500$，得$-300+b=500$，解得$b=800$，
验证：当$x=35$时，$y=-10×35+800=450$，与表格数据一致，
故y与x的函数表达式为$y=-10x+800$。
(2)由题意得，单件商品利润为$(x-20)$元，
则总利润$w=(x-20)y=(x-20)(-10x+800)$，
展开整理得：$w=-10x^2+1000x-16000$，
配方得：$w=-10(x-50)^2+9000$，
$\because -10＜0$，抛物线开口向下，
$\therefore$当$x=50$时，w取得最大值，最大值为9000元。
【答案】
(1)$y=-10x+800$；(2)9000
【知识点】
待定系数法求一次函数；二次函数利润应用；二次函数最值计算
【点评】
本题是函数在销售问题中的典型应用，解题核心是先确定一次函数关系，再结合利润公式构建二次函数模型，利用二次函数性质求解最值，难度适中，掌握基本公式和函数性质即可解答。
【难度系数】
0.7
10.选做题:请在A,B两题中任选一题作答,并写出完整的答题过程.
A:[2024·黄山屯溪区期中]如图,把一张长10 cm、宽8 cm的长方形硬纸板的四周各剪去一个同样大小的正方形,再折合成一个无盖的长方体盒子(纸板的厚度忽略不计).
(1)要使无盖长方体盒子的底面积为48 cm²,求剪去的正方形的边长.
(2)折合而成的无盖长方体盒子的侧面积有最大值吗?如果有,请求出最大值,如果没有,请说明理由.
B:[2024·南充中考]2024年“五一”假期期间,阆中古城景区某特产店销售A,B两类特产.A类特产进价50元/件,B类特产进价60元/件.已知购买1件A类特产和1件B类特产需132元,购买3件A类特产和5件B类特产需540元.
(1)求每件A类特产和B类特产的售价各是多少元.
(2)A类特产供货充足,按原价销售每天可售出60件.市场调查反映,若每降价1元,每天可多售出10件(每件售价不低于进价).设每件A类特产降价x元,每天的销售量为y件,求y与x之间的函数表达式,并写出自变量x的取值范围.
(3)在(2)的条件下,由于B类特产供货紧张,每天只能购进100件且能按原价售完.设该店每天销售这两类特产的总利润为w元,求w与x的函数关系式,并求出每件A类特产降价多少元时总利润w最大,最大利润是多少元?(利润=售价-进价)
我选做题.(填"A"或"B")
A:[2024·黄山屯溪区期中]如图,把一张长10 cm、宽8 cm的长方形硬纸板的四周各剪去一个同样大小的正方形,再折合成一个无盖的长方体盒子(纸板的厚度忽略不计).
(1)要使无盖长方体盒子的底面积为48 cm²,求剪去的正方形的边长.
(2)折合而成的无盖长方体盒子的侧面积有最大值吗?如果有,请求出最大值,如果没有,请说明理由.
B:[2024·南充中考]2024年“五一”假期期间,阆中古城景区某特产店销售A,B两类特产.A类特产进价50元/件,B类特产进价60元/件.已知购买1件A类特产和1件B类特产需132元,购买3件A类特产和5件B类特产需540元.
(1)求每件A类特产和B类特产的售价各是多少元.
(2)A类特产供货充足,按原价销售每天可售出60件.市场调查反映,若每降价1元,每天可多售出10件(每件售价不低于进价).设每件A类特产降价x元,每天的销售量为y件,求y与x之间的函数表达式,并写出自变量x的取值范围.
(3)在(2)的条件下,由于B类特产供货紧张,每天只能购进100件且能按原价售完.设该店每天销售这两类特产的总利润为w元,求w与x的函数关系式,并求出每件A类特产降价多少元时总利润w最大,最大利润是多少元?(利润=售价-进价)
我选做题.(填"A"或"B")
答案
10. A:(1)1 cm
(2)侧面积有最大值.
设正方形的边长为x cm,盒子的侧面积为y cm².
由题意得y与x之间的函数表达式为$y=2(10-2x)x+2(8-2x)x$,
$\therefore y=-8x^2+36x=-8(x-\dfrac{9}{4})^2+\dfrac{81}{2}(0＜x＜4)$,
当$x=\dfrac{9}{4}$时,y有最大值,最大值为$\dfrac{81}{2}$.
答:当剪去的正方形的边长为$\dfrac{9}{4}$cm时,长方体盒子的侧面积最大,为$\dfrac{81}{2}\ \mathrm{cm}^2$.
B:(1)每件A类特产的售价为60元,每件B类特产的售价为72元.
(2)$y=10x+60(0≤ x≤ 10)$.
(3)由题意,得$w=(60-50-x)(10x+60)+100×(72-60)=-10x^2+40x+1\ 800=-10(x-2)^2+1\ 840$.
$\because -10＜0,\therefore$当$x=2$时,w有最大值为1 840.
答:每件A类特产降价2元时总利润w最大,最大利润为1 840元.
(2)侧面积有最大值.
设正方形的边长为x cm,盒子的侧面积为y cm².
由题意得y与x之间的函数表达式为$y=2(10-2x)x+2(8-2x)x$,
$\therefore y=-8x^2+36x=-8(x-\dfrac{9}{4})^2+\dfrac{81}{2}(0＜x＜4)$,
当$x=\dfrac{9}{4}$时,y有最大值,最大值为$\dfrac{81}{2}$.
答:当剪去的正方形的边长为$\dfrac{9}{4}$cm时,长方体盒子的侧面积最大,为$\dfrac{81}{2}\ \mathrm{cm}^2$.
B:(1)每件A类特产的售价为60元,每件B类特产的售价为72元.
(2)$y=10x+60(0≤ x≤ 10)$.
(3)由题意,得$w=(60-50-x)(10x+60)+100×(72-60)=-10x^2+40x+1\ 800=-10(x-2)^2+1\ 840$.
$\because -10＜0,\therefore$当$x=2$时,w有最大值为1 840.
答:每件A类特产降价2元时总利润w最大,最大利润为1 840元.
解析
【分析】
本题是无盖长方体折叠的实际应用问题：
(1) 求剪去正方形的边长，我们可以设边长为x cm，折成盒子后底面的长为原长减去2倍x，宽为原宽减去2倍x，根据底面积公式列一元二次方程求解，最后验证解是否符合实际意义（边长为正，底面长宽为正）。
(2) 判断侧面积是否有最大值，侧面积为四个侧面的面积之和，先列出侧面积关于x的二次函数表达式，再结合自变量的取值范围，利用二次函数的性质求最值即可。
【解析】
我选做A题。
(1) 设剪去的正方形的边长为$x\ \mathrm{cm}$，则折合后无盖长方体盒子的底面长为$(10-2x)\ \mathrm{cm}$，底面宽为$(8-2x)\ \mathrm{cm}$。
根据底面积为$48\ \mathrm{cm}^2$，列方程：
$(10-2x)(8-2x)=48$
展开整理得：$x^2-9x+8=0$
因式分解得：$(x-1)(x-8)=0$
解得：$x_1=1$，$x_2=8$
$\because 8-2x＞0$，即$x＜4$，$\therefore x=8$不符合题意，舍去。
故$x=1$。
(2) 侧面积有最大值，求解如下：
设无盖长方体盒子的侧面积为$y\ \mathrm{cm}^2$，剪去的正方形边长为$x\ \mathrm{cm}$，由题意得$0＜x＜4$。
侧面积为四个侧面面积之和，两个长侧面面积为$2× x(10-2x)$，两个短侧面面积为$2× x(8-2x)$，因此：
$\begin{aligned}y&=2x(10-2x)+2x(8-2x)\\&=20x-4x^2+16x-4x^2\\&=-8x^2+36x\end{aligned}$
对二次函数配方得：
$y=-8(x-\dfrac{9}{4})^2+\dfrac{81}{2}$
$\because$ 二次项系数$-8＜0$，抛物线开口向下，且$x=\dfrac{9}{4}=2.25$在$0＜x＜4$的取值范围内，
$\therefore$ 当$x=\dfrac{9}{4}$时，$y$取得最大值，最大值为$\dfrac{81}{2}\ \mathrm{cm}^2$。
【答案】
(1) 剪去的正方形的边长为$\boldsymbol{1\ \mathrm{cm}}$；
(2) 侧面积有最大值，当剪去的正方形边长为$\boldsymbol{\dfrac{9}{4}\ \mathrm{cm}}$时，侧面积最大为$\boldsymbol{\dfrac{81}{2}\ \mathrm{cm}^2}$。
【知识点】
一元二次方程的应用；二次函数的最值；二次函数实际应用
【点评】
本题结合几何折叠场景考查方程与函数的实际应用，解题关键是找准等量关系列方程和函数表达式，注意要结合实际情况舍去不符合要求的解，确定自变量的合理取值范围。
【难度系数】
0.7
本题是无盖长方体折叠的实际应用问题：
(1) 求剪去正方形的边长，我们可以设边长为x cm，折成盒子后底面的长为原长减去2倍x，宽为原宽减去2倍x，根据底面积公式列一元二次方程求解，最后验证解是否符合实际意义（边长为正，底面长宽为正）。
(2) 判断侧面积是否有最大值，侧面积为四个侧面的面积之和，先列出侧面积关于x的二次函数表达式，再结合自变量的取值范围，利用二次函数的性质求最值即可。
【解析】
我选做A题。
(1) 设剪去的正方形的边长为$x\ \mathrm{cm}$，则折合后无盖长方体盒子的底面长为$(10-2x)\ \mathrm{cm}$，底面宽为$(8-2x)\ \mathrm{cm}$。
根据底面积为$48\ \mathrm{cm}^2$，列方程：
$(10-2x)(8-2x)=48$
展开整理得：$x^2-9x+8=0$
因式分解得：$(x-1)(x-8)=0$
解得：$x_1=1$，$x_2=8$
$\because 8-2x＞0$，即$x＜4$，$\therefore x=8$不符合题意，舍去。
故$x=1$。
(2) 侧面积有最大值，求解如下：
设无盖长方体盒子的侧面积为$y\ \mathrm{cm}^2$，剪去的正方形边长为$x\ \mathrm{cm}$，由题意得$0＜x＜4$。
侧面积为四个侧面面积之和，两个长侧面面积为$2× x(10-2x)$，两个短侧面面积为$2× x(8-2x)$，因此：
$\begin{aligned}y&=2x(10-2x)+2x(8-2x)\\&=20x-4x^2+16x-4x^2\\&=-8x^2+36x\end{aligned}$
对二次函数配方得：
$y=-8(x-\dfrac{9}{4})^2+\dfrac{81}{2}$
$\because$ 二次项系数$-8＜0$，抛物线开口向下，且$x=\dfrac{9}{4}=2.25$在$0＜x＜4$的取值范围内，
$\therefore$ 当$x=\dfrac{9}{4}$时，$y$取得最大值，最大值为$\dfrac{81}{2}\ \mathrm{cm}^2$。
【答案】
(1) 剪去的正方形的边长为$\boldsymbol{1\ \mathrm{cm}}$；
(2) 侧面积有最大值，当剪去的正方形边长为$\boldsymbol{\dfrac{9}{4}\ \mathrm{cm}}$时，侧面积最大为$\boldsymbol{\dfrac{81}{2}\ \mathrm{cm}^2}$。
【知识点】
一元二次方程的应用；二次函数的最值；二次函数实际应用
【点评】
本题结合几何折叠场景考查方程与函数的实际应用，解题关键是找准等量关系列方程和函数表达式，注意要结合实际情况舍去不符合要求的解，确定自变量的合理取值范围。
【难度系数】
0.7
