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6.[新课标—情境题]小燕去参观一个蔬菜大棚,大棚的横截面为抛物线形状,有关数据如图所示.已知小燕的身高为1.40 m,在她不弯腰的情况下,横向活动范围有（
A.3 m
B.4 m
C.6 m
D.7 m
C
）A.3 m
B.4 m
C.6 m
D.7 m
答案
6.C
解析
【分析】
遇到抛物线型的实际问题，首先建立合适的平面直角坐标系，把已知的长度数据转化为对应点的坐标；再用待定系数法求出抛物线的函数解析式；小燕不弯腰时头顶高度对应函数值y=1.4m，将y=1.4代入解析式，解一元二次方程得到两个自变量x的值，两个x的差值就是横向活动范围。
【解析】
以A为原点，AB所在直线为x轴，过A点作AB的垂线为y轴建立平面直角坐标系：
由题意得：A(0,0)，B(8,0)，抛物线顶点坐标为(4, 3.2)。
设抛物线的解析式为顶点式：$y=a(x-4)^2+3.2$，
将A(0,0)代入解析式得：$0=a(0-4)^2+3.2$，
解得：$a=-0.2$，
因此抛物线解析式为：$y=-0.2(x-4)^2+3.2$。
小燕身高为1.40m，即y=1.4，代入解析式得：
$1.4=-0.2(x-4)^2+3.2$
整理得：$(x-4)^2=9$
解得：$x_1=1$，$x_2=7$
所以横向活动范围为$7-1=6\ \mathrm{m}$。
【答案】
C
【知识点】
二次函数实际应用、待定系数法求解析式、二次函数求值
【点评】
本题结合生活场景考查二次函数的实际应用，解题核心是正确建立坐标系求出抛物线解析式，再根据函数值求解对应自变量的取值，这类题型是二次函数应用的常考类型。
【难度系数】
0.7
遇到抛物线型的实际问题，首先建立合适的平面直角坐标系，把已知的长度数据转化为对应点的坐标；再用待定系数法求出抛物线的函数解析式；小燕不弯腰时头顶高度对应函数值y=1.4m，将y=1.4代入解析式，解一元二次方程得到两个自变量x的值，两个x的差值就是横向活动范围。
【解析】
以A为原点，AB所在直线为x轴，过A点作AB的垂线为y轴建立平面直角坐标系：
由题意得：A(0,0)，B(8,0)，抛物线顶点坐标为(4, 3.2)。
设抛物线的解析式为顶点式：$y=a(x-4)^2+3.2$，
将A(0,0)代入解析式得：$0=a(0-4)^2+3.2$，
解得：$a=-0.2$，
因此抛物线解析式为：$y=-0.2(x-4)^2+3.2$。
小燕身高为1.40m，即y=1.4，代入解析式得：
$1.4=-0.2(x-4)^2+3.2$
整理得：$(x-4)^2=9$
解得：$x_1=1$，$x_2=7$
所以横向活动范围为$7-1=6\ \mathrm{m}$。
【答案】
C
【知识点】
二次函数实际应用、待定系数法求解析式、二次函数求值
【点评】
本题结合生活场景考查二次函数的实际应用，解题核心是正确建立坐标系求出抛物线解析式，再根据函数值求解对应自变量的取值，这类题型是二次函数应用的常考类型。
【难度系数】
0.7
7. [与T1互为孪生题]有一座抛物线形拱桥，桥下面的正常水位AB宽20 m，水位上升3 m就达到警戒线CD，这时水面宽度为10 m.
(1)在如图所示的平面直角坐标系中，抛物线对应的函数表达式为
(2)当洪水到来时，水位以0.2 m/h的速度上升，从警戒线开始，再持续
(1)在如图所示的平面直角坐标系中，抛物线对应的函数表达式为
$y=-\frac{1}{25}x^2$
；(2)当洪水到来时，水位以0.2 m/h的速度上升，从警戒线开始，再持续
5
h会到达拱桥顶.答案
7.(1)$y=-\frac{1}{25}x^2$ (2)5
解析
【分析】
(1) 观察坐标系可知抛物线顶点在原点、对称轴为y轴，因此可设最简形式的二次函数解析式$y=ax^2(a≠0)$减少未知量。结合已知条件：AB宽20m，因此点B横坐标为10；CD宽10m，因此点D横坐标为5；水位从AB上升3m到CD，说明点D的纵坐标比点B的纵坐标大3，将两点坐标代入解析式联立求解即可得到a的值，确定解析式。
(2) 先求出警戒线CD对应的纵坐标，计算CD到拱顶（原点，$y=0$）的垂直距离，再除以水位上升速度即可得到所需时间。
【解析】
(1) 由于抛物线顶点在原点，对称轴为y轴，设抛物线的函数表达式为$y=ax^2(a≠0)$。
设警戒线CD上的点D坐标为$(5, n)$，因为CD宽10m，对称轴为y轴，所以D点横坐标为5；正常水位AB宽20m，水位比CD低3m，所以AB上的点B坐标为$(10, n-3)$。
将D、B两点分别代入解析式得：
$\begin{cases}n=a×5^2\\n-3=a×10^2\end{cases}$
将$n=25a$代入第二个方程：$25a - 3 = 100a$，
移项计算得：$-75a=3$，解得$a=-\frac{1}{25}$，
因此抛物线对应的函数表达式为$y=-\frac{1}{25}x^2$。
(2) 将$x=5$代入$y=-\frac{1}{25}x^2$，得$y=-\frac{1}{25}×25=-1$，即警戒线CD到拱顶O的垂直高度为$0 - (-1)=1\ \mathrm{m}$。
已知水位上升速度为$0.2\ \mathrm{m/h}$，则所需时间为$1÷0.2=5\ \mathrm{h}$。
【答案】
(1)$y=-\frac{1}{25}x^2$；(2)$5$
【知识点】
待定系数法求二次函数解析式；二次函数的实际应用
【点评】
本题是二次函数解决实际问题的基础题型，解题核心是结合坐标系的特点简化解析式的设定，准确对应实际长度与坐标的关系，计算时注意纵坐标的正负对应的实际高度差即可。
【难度系数】
0.7
(1) 观察坐标系可知抛物线顶点在原点、对称轴为y轴，因此可设最简形式的二次函数解析式$y=ax^2(a≠0)$减少未知量。结合已知条件：AB宽20m，因此点B横坐标为10；CD宽10m，因此点D横坐标为5；水位从AB上升3m到CD，说明点D的纵坐标比点B的纵坐标大3，将两点坐标代入解析式联立求解即可得到a的值，确定解析式。
(2) 先求出警戒线CD对应的纵坐标，计算CD到拱顶（原点，$y=0$）的垂直距离，再除以水位上升速度即可得到所需时间。
【解析】
(1) 由于抛物线顶点在原点，对称轴为y轴，设抛物线的函数表达式为$y=ax^2(a≠0)$。
设警戒线CD上的点D坐标为$(5, n)$，因为CD宽10m，对称轴为y轴，所以D点横坐标为5；正常水位AB宽20m，水位比CD低3m，所以AB上的点B坐标为$(10, n-3)$。
将D、B两点分别代入解析式得：
$\begin{cases}n=a×5^2\\n-3=a×10^2\end{cases}$
将$n=25a$代入第二个方程：$25a - 3 = 100a$，
移项计算得：$-75a=3$，解得$a=-\frac{1}{25}$，
因此抛物线对应的函数表达式为$y=-\frac{1}{25}x^2$。
(2) 将$x=5$代入$y=-\frac{1}{25}x^2$，得$y=-\frac{1}{25}×25=-1$，即警戒线CD到拱顶O的垂直高度为$0 - (-1)=1\ \mathrm{m}$。
已知水位上升速度为$0.2\ \mathrm{m/h}$，则所需时间为$1÷0.2=5\ \mathrm{h}$。
【答案】
(1)$y=-\frac{1}{25}x^2$；(2)$5$
【知识点】
待定系数法求二次函数解析式；二次函数的实际应用
【点评】
本题是二次函数解决实际问题的基础题型，解题核心是结合坐标系的特点简化解析式的设定，准确对应实际长度与坐标的关系，计算时注意纵坐标的正负对应的实际高度差即可。
【难度系数】
0.7
8. [新课标—情境题][2024·铜陵期末]某公园内人工湖上有一座拱桥(横截面如图1所示)，跨度AB为4 m，桥墩AE与BF的高均为0.88 m，拱桥最高点到水面的距离为2.88 m.
(1)建立如图2所示的平面直角坐标系，求此抛物线对应的函数表达式.
(2)公园欲开设游船项目，其中豪华游船长为3.3 m、宽为2.4 m，露出水面高度为1.88 m.为安全起见，游船经过拱桥时，游船顶部和拱桥顶部至少有0.2 m的安全距离.公园要在水面上的M，N两处设置警戒线.并且ME=NF，要求游船能从M，N两点之间安全通过，则M处距桥墩的距离ME至少为多少米？
(结果保留根号)
(1)建立如图2所示的平面直角坐标系，求此抛物线对应的函数表达式.
(2)公园欲开设游船项目，其中豪华游船长为3.3 m、宽为2.4 m，露出水面高度为1.88 m.为安全起见，游船经过拱桥时，游船顶部和拱桥顶部至少有0.2 m的安全距离.公园要在水面上的M，N两处设置警戒线.并且ME=NF，要求游船能从M，N两点之间安全通过，则M处距桥墩的距离ME至少为多少米？
(结果保留根号)
答案
8.(1)$y=-0.5(x-2)^2+2.88$ (2)$(2-\frac{2}{5}\sqrt{10})\mathrm{m}$
解析
【分析】
(1) 首先确定抛物线上的已知点坐标：跨度AB为4m，因此抛物线顶点C的横坐标为AB中点对应值2，最高点到水面距离为2.88m，故顶点坐标为$(2,2.88)$；桥墩高0.88m，因此点A坐标为$(0,0.88)$。设抛物线顶点式，代入已知点即可求出函数表达式。
(2) 先计算游船安全通行需要的最小拱桥高度：游船露出水面高度加安全距离，得到临界高度2.08m。将该高度代入抛物线解析式求出对应x的解，左侧的解就是M点的最小横坐标，也就是ME的最小值。
【解析】
(1) 由题意可知，抛物线顶点$C$的坐标为$(2,2.88)$，点$A$的坐标为$(0,0.88)$。
设抛物线的函数表达式为$y=a(x-2)^2+2.88$（$a\ne0$），
将$A(0,0.88)$代入得：
$0.88=a×(0-2)^2+2.88$
$4a=-2$，解得$a=-0.5$
因此抛物线对应的函数表达式为$y=-0.5(x-2)^2+2.88$（$0≤ x≤4$）。
(2) 游船安全通行时，对应位置拱桥的最小高度为$1.88+0.2=2.08\mathrm{m}$，
令$y=2.08$，代入解析式得：
$-0.5(x-2)^2+2.88=2.08$
整理得$(x-2)^2=1.6$，
解得$x_1=2-\frac{2\sqrt{10}}{5}$，$x_2=2+\frac{2\sqrt{10}}{5}$。
因为点E为坐标原点，ME的长度等于M点的横坐标，因此ME的最小值为$2-\frac{2\sqrt{10}}{5}\mathrm{m}$。
【答案】
(1) $y=-0.5(x-2)^2+2.88$
(2) $(2-\frac{2}{5}\sqrt{10})\mathrm{m}$
【知识点】
待定系数法求二次函数解析式；二次函数的实际应用
【点评】
本题结合拱桥通行的实际场景考查二次函数的应用，解题关键是将实际长度和坐标对应，把实际问题转化为二次函数的求值问题，考查了数学建模的能力。
【难度系数】
0.65
(1) 首先确定抛物线上的已知点坐标：跨度AB为4m，因此抛物线顶点C的横坐标为AB中点对应值2，最高点到水面距离为2.88m，故顶点坐标为$(2,2.88)$；桥墩高0.88m，因此点A坐标为$(0,0.88)$。设抛物线顶点式，代入已知点即可求出函数表达式。
(2) 先计算游船安全通行需要的最小拱桥高度：游船露出水面高度加安全距离，得到临界高度2.08m。将该高度代入抛物线解析式求出对应x的解，左侧的解就是M点的最小横坐标，也就是ME的最小值。
【解析】
(1) 由题意可知，抛物线顶点$C$的坐标为$(2,2.88)$，点$A$的坐标为$(0,0.88)$。
设抛物线的函数表达式为$y=a(x-2)^2+2.88$（$a\ne0$），
将$A(0,0.88)$代入得：
$0.88=a×(0-2)^2+2.88$
$4a=-2$，解得$a=-0.5$
因此抛物线对应的函数表达式为$y=-0.5(x-2)^2+2.88$（$0≤ x≤4$）。
(2) 游船安全通行时，对应位置拱桥的最小高度为$1.88+0.2=2.08\mathrm{m}$，
令$y=2.08$，代入解析式得：
$-0.5(x-2)^2+2.88=2.08$
整理得$(x-2)^2=1.6$，
解得$x_1=2-\frac{2\sqrt{10}}{5}$，$x_2=2+\frac{2\sqrt{10}}{5}$。
因为点E为坐标原点，ME的长度等于M点的横坐标，因此ME的最小值为$2-\frac{2\sqrt{10}}{5}\mathrm{m}$。
【答案】
(1) $y=-0.5(x-2)^2+2.88$
(2) $(2-\frac{2}{5}\sqrt{10})\mathrm{m}$
【知识点】
待定系数法求二次函数解析式；二次函数的实际应用
【点评】
本题结合拱桥通行的实际场景考查二次函数的应用，解题关键是将实际长度和坐标对应，把实际问题转化为二次函数的求值问题，考查了数学建模的能力。
【难度系数】
0.65
9. 如图,某施工队要修建一条横断面为抛物线的公路隧道,其最大高度为6 m、宽度 OM 为12 m,现以点 O 为原点,OM 所在直线为 x 轴建立平面直角坐标系.
(1)直接写出点 M 及抛物线顶点 P 的坐标.
(2)求这条抛物线对应的函数表达式.
(3)施工队计划在隧道门口搭建一个矩形脚手架 ABCD,使点 A,D 在抛物线上,点 B,C 在地面 OM 上.为了筹备材料,需求出脚手架的三根木杆 AB,AD,DC 的长度之和的最大值.请你帮施工队计算一下.
(1)直接写出点 M 及抛物线顶点 P 的坐标.
(2)求这条抛物线对应的函数表达式.
(3)施工队计划在隧道门口搭建一个矩形脚手架 ABCD,使点 A,D 在抛物线上,点 B,C 在地面 OM 上.为了筹备材料,需求出脚手架的三根木杆 AB,AD,DC 的长度之和的最大值.请你帮施工队计算一下.
答案
9.(1)$M(12,0),P(6,6).$ (2)$y=-\frac{1}{6}x^2+2x$
(3)设点 A 的横坐标是$x$,$\therefore A(x,-\frac{1}{6}x^2+2x).$
$\because$ 四边形 $ABCD$ 是矩形,$\therefore AB=DC=-\frac{1}{6}x^2+2x.$
根据抛物线的对称性,得 $OB=CM=x$,
$\therefore AD=BC=12-2x.$
$\therefore AB+AD+DC=2(-\frac{1}{6}x^2+2x)+12-2x=-\frac{1}{3}x^2+2x+12=-\frac{1}{3}(x-3)^2+15.$
$\because -\frac{1}{3}＜0,\therefore$ 当 $x=3$ 时,$AB+AD+DC$ 有最大值,其最大值是 15,
$\therefore AB,AD,DC$ 的长度之和的最大值是 15 m.
(3)设点 A 的横坐标是$x$,$\therefore A(x,-\frac{1}{6}x^2+2x).$
$\because$ 四边形 $ABCD$ 是矩形,$\therefore AB=DC=-\frac{1}{6}x^2+2x.$
根据抛物线的对称性,得 $OB=CM=x$,
$\therefore AD=BC=12-2x.$
$\therefore AB+AD+DC=2(-\frac{1}{6}x^2+2x)+12-2x=-\frac{1}{3}x^2+2x+12=-\frac{1}{3}(x-3)^2+15.$
$\because -\frac{1}{3}＜0,\therefore$ 当 $x=3$ 时,$AB+AD+DC$ 有最大值,其最大值是 15,
$\therefore AB,AD,DC$ 的长度之和的最大值是 15 m.
解析
【分析】
(1) 已知OM宽度为12m，O为原点且OM在x轴上，可得M点横坐标为12、纵坐标为0；抛物线最大高度为6m即顶点纵坐标为6，又抛物线过O、M两点，对称轴为两点中点对应的直线x=6，因此顶点P横坐标为6，即可确定两点坐标。
(2) 已知抛物线顶点坐标，可设顶点式$y=a(x-h)^2+k$，代入顶点P和原点O的坐标求出a的值，整理为一般式即可得到抛物线解析式。
(3) 设点A的横坐标为x，由A在抛物线上可写出A的坐标，AB、DC的长度等于A点的纵坐标；根据抛物线对称性可得OB=CM=x，因此AD的长度为12-2x，将三根木杆长度相加得到关于x的二次函数，利用二次函数的性质即可求出最大值。
【解析】
(1)
∵OM的宽度为12m，O为原点，OM在x轴上，
∴$M(12,0)$；
∵抛物线的最大高度为6m，且抛物线过O、M两点，对称轴为$x=\frac{0+12}{2}=6$，
∴顶点P的坐标为$(6,6)$。
(2) 设抛物线的顶点式为$y=a(x-6)^2+6$，将$O(0,0)$代入解析式：
$0=a(0-6)^2+6$，即$36a+6=0$，解得$a=-\frac{1}{6}$。
∴抛物线解析式为$y=-\frac{1}{6}(x-6)^2+6$，整理得$y=-\frac{1}{6}x^2+2x$。
(3) 设点A的横坐标为$x$，
∵点A在抛物线上，
∴$A(x,-\frac{1}{6}x^2+2x)$。
∵四边形ABCD是矩形，
∴$AB=DC=-\frac{1}{6}x^2+2x$。
根据抛物线的对称性可知$OB=CM=x$，
∴$AD=BC=12-2x$。
∴三根木杆长度和为：
$AB+AD+DC=2(-\frac{1}{6}x^2+2x)+(12-2x)$
$=-\frac{1}{3}x^2+2x+12$
$=-\frac{1}{3}(x-3)^2+15$
∵$-\frac{1}{3}＜0$，二次函数开口向下，
∴当$x=3$时，$AB+AD+DC$取得最大值，最大值为15。
【答案】
(1) $M(12,0)$，$P(6,6)$
(2) $y=-\frac{1}{6}x^2+2x$
(3) 15 m
【知识点】
二次函数图象与性质，二次函数解析式求解，二次函数实际应用
【点评】
本题结合隧道修建的实际场景考查二次函数的相关知识，要求学生能够将实际问题转化为二次函数数学模型，掌握抛物线坐标确定、解析式求解、最值计算的方法，对学生的数学应用能力有一定锻炼作用。
【难度系数】
0.7
(1) 已知OM宽度为12m，O为原点且OM在x轴上，可得M点横坐标为12、纵坐标为0；抛物线最大高度为6m即顶点纵坐标为6，又抛物线过O、M两点，对称轴为两点中点对应的直线x=6，因此顶点P横坐标为6，即可确定两点坐标。
(2) 已知抛物线顶点坐标，可设顶点式$y=a(x-h)^2+k$，代入顶点P和原点O的坐标求出a的值，整理为一般式即可得到抛物线解析式。
(3) 设点A的横坐标为x，由A在抛物线上可写出A的坐标，AB、DC的长度等于A点的纵坐标；根据抛物线对称性可得OB=CM=x，因此AD的长度为12-2x，将三根木杆长度相加得到关于x的二次函数，利用二次函数的性质即可求出最大值。
【解析】
(1)
∵OM的宽度为12m，O为原点，OM在x轴上，
∴$M(12,0)$；
∵抛物线的最大高度为6m，且抛物线过O、M两点，对称轴为$x=\frac{0+12}{2}=6$，
∴顶点P的坐标为$(6,6)$。
(2) 设抛物线的顶点式为$y=a(x-6)^2+6$，将$O(0,0)$代入解析式：
$0=a(0-6)^2+6$，即$36a+6=0$，解得$a=-\frac{1}{6}$。
∴抛物线解析式为$y=-\frac{1}{6}(x-6)^2+6$，整理得$y=-\frac{1}{6}x^2+2x$。
(3) 设点A的横坐标为$x$，
∵点A在抛物线上，
∴$A(x,-\frac{1}{6}x^2+2x)$。
∵四边形ABCD是矩形，
∴$AB=DC=-\frac{1}{6}x^2+2x$。
根据抛物线的对称性可知$OB=CM=x$，
∴$AD=BC=12-2x$。
∴三根木杆长度和为：
$AB+AD+DC=2(-\frac{1}{6}x^2+2x)+(12-2x)$
$=-\frac{1}{3}x^2+2x+12$
$=-\frac{1}{3}(x-3)^2+15$
∵$-\frac{1}{3}＜0$，二次函数开口向下，
∴当$x=3$时，$AB+AD+DC$取得最大值，最大值为15。
【答案】
(1) $M(12,0)$，$P(6,6)$
(2) $y=-\frac{1}{6}x^2+2x$
(3) 15 m
【知识点】
二次函数图象与性质，二次函数解析式求解，二次函数实际应用
【点评】
本题结合隧道修建的实际场景考查二次函数的相关知识，要求学生能够将实际问题转化为二次函数数学模型，掌握抛物线坐标确定、解析式求解、最值计算的方法，对学生的数学应用能力有一定锻炼作用。
【难度系数】
0.7
