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知识点 分式方程的概念
分母
中含有未知数的方程叫作分式方程。答案
分母
解析
【分析】
这道题考查分式方程的基本概念，解题时首先要明确分式方程的核心判定特征：我们所学的整式方程未知数仅出现在分子、系数位置，分母不含未知数，而分式方程和整式方程的核心区别就是分母中是否含有未知数，结合定义就可以直接得出答案。
【解析】
根据分式方程的定义：分母中含有未知数的方程叫作分式方程，因此横线处应填“分母”。
【答案】
分母
【知识点】
分式方程的概念
【点评】
本题是基础概念识记类题目，主要考查对分式方程定义的掌握情况，牢记基础定义即可快速作答。
【难度系数】
0.9
这道题考查分式方程的基本概念，解题时首先要明确分式方程的核心判定特征：我们所学的整式方程未知数仅出现在分子、系数位置，分母不含未知数，而分式方程和整式方程的核心区别就是分母中是否含有未知数，结合定义就可以直接得出答案。
【解析】
根据分式方程的定义：分母中含有未知数的方程叫作分式方程，因此横线处应填“分母”。
【答案】
分母
【知识点】
分式方程的概念
【点评】
本题是基础概念识记类题目，主要考查对分式方程定义的掌握情况，牢记基础定义即可快速作答。
【难度系数】
0.9
例 为了响应“绿色出行，从身边做起”的号召，小李将上班方式由自驾车改为骑共享单车。他从家到达上班地点，自驾车要走的路程为8.4 km，骑共享单车要走的路程为6 km。已知小李自驾车的速度是骑共享单车速度的2.4倍，他由自驾车改为骑共享单车后，时间多用了10 min，则小李自驾车和骑共享单车的速度分别是多少？
如果设骑共享单车的速度为x km/h，那么x满足怎样的方程？
[点拨] 设骑共享单车的速度为x km/h，则自驾车的速度是2.4x km/h。根据“骑共享单车的时间－自驾车的时间＝10 min”，可列出分式方程。
[解] 设骑共享单车的速度为x km/h，
则自驾车的速度是2.4x km/h。
根据题意得$\frac{6}{x} - \frac{8.4}{2.4x} = \frac{1}{6}$。
如果设骑共享单车的速度为x km/h，那么x满足怎样的方程？
[点拨] 设骑共享单车的速度为x km/h，则自驾车的速度是2.4x km/h。根据“骑共享单车的时间－自驾车的时间＝10 min”，可列出分式方程。
[解] 设骑共享单车的速度为x km/h，
则自驾车的速度是2.4x km/h。
根据题意得$\frac{6}{x} - \frac{8.4}{2.4x} = \frac{1}{6}$。
答案
解：设骑共享单车的速度为$x\ \mathrm{km/h}$，则自驾车的速度是$2.4x\ \mathrm{km/h}$。
根据题意得：
$\frac{6}{x} - \frac{8.4}{2.4x} = \frac{1}{6}$
方程两边同乘$2.4x$，得：
$6×2.4 - 8.4 = \frac{1}{6}×2.4x$
化简得：
$6 = 0.4x$
解得：
$x=15$
检验：当$x=15$时，$2.4x≠0$，所以$x=15$是原分式方程的解，且符合实际意义。
自驾车的速度为$2.4×15=36\ \mathrm{km/h}$。
答：小李骑共享单车的速度是$15\ \mathrm{km/h}$，自驾车的速度是$36\ \mathrm{km/h}$，$x$满足的方程为$\frac{6}{x} - \frac{8.4}{2.4x} = \frac{1}{6}$。
根据题意得：
$\frac{6}{x} - \frac{8.4}{2.4x} = \frac{1}{6}$
方程两边同乘$2.4x$，得：
$6×2.4 - 8.4 = \frac{1}{6}×2.4x$
化简得：
$6 = 0.4x$
解得：
$x=15$
检验：当$x=15$时，$2.4x≠0$，所以$x=15$是原分式方程的解，且符合实际意义。
自驾车的速度为$2.4×15=36\ \mathrm{km/h}$。
答：小李骑共享单车的速度是$15\ \mathrm{km/h}$，自驾车的速度是$36\ \mathrm{km/h}$，$x$满足的方程为$\frac{6}{x} - \frac{8.4}{2.4x} = \frac{1}{6}$。
解析
【分析】
这是一道行程类分式方程应用题，解题核心利用“时间=路程÷速度”的基本关系。首先明确题干等量关系：骑共享单车所用时间减去自驾车所用时间等于多用的10分钟。首先统一单位，将10分钟换算为$\frac{1}{6}$小时；设骑共享单车速度为$x\ \mathrm{km/h}$，则自驾车速度为$2.4x\ \mathrm{km/h}$，分别表示出两种出行方式的时间，代入等量关系即可列出方程，再按照分式方程的求解步骤：去分母、化简、求解、检验，最后计算出自驾车的速度即可。
【解析】
设骑共享单车的速度为$x\ \mathrm{km/h}$，则自驾车的速度是$2.4x\ \mathrm{km/h}$。
根据题意得：
$\frac{6}{x} - \frac{8.4}{2.4x} = \frac{1}{6}$
方程两边同乘最简公分母$2.4x$，得：
$6×2.4 - 8.4 = \frac{1}{6}×2.4x$
化简得：
$6 = 0.4x$
解得：
$x=15$
检验：当$x=15$时，$2.4x≠0$，所以$x=15$是原分式方程的解，且符合实际意义。
自驾车的速度为$2.4×15=36\ \mathrm{km/h}$。
【答案】
小李骑共享单车的速度是$15\ \mathrm{km/h}$，自驾车的速度是$36\ \mathrm{km/h}$，$x$满足的方程为$\frac{6}{x} - \frac{8.4}{2.4x} = \frac{1}{6}$。
【知识点】
分式方程应用，行程问题，分式方程求解
【点评】
本题属于分式方程的基础应用类题目，解题的关键是准确提取题干中的等量关系，注意时间单位要与速度单位匹配，求解分式方程后必须检验根是否符合实际意义。
【难度系数】
0.7
这是一道行程类分式方程应用题，解题核心利用“时间=路程÷速度”的基本关系。首先明确题干等量关系：骑共享单车所用时间减去自驾车所用时间等于多用的10分钟。首先统一单位，将10分钟换算为$\frac{1}{6}$小时；设骑共享单车速度为$x\ \mathrm{km/h}$，则自驾车速度为$2.4x\ \mathrm{km/h}$，分别表示出两种出行方式的时间，代入等量关系即可列出方程，再按照分式方程的求解步骤：去分母、化简、求解、检验，最后计算出自驾车的速度即可。
【解析】
设骑共享单车的速度为$x\ \mathrm{km/h}$，则自驾车的速度是$2.4x\ \mathrm{km/h}$。
根据题意得：
$\frac{6}{x} - \frac{8.4}{2.4x} = \frac{1}{6}$
方程两边同乘最简公分母$2.4x$，得：
$6×2.4 - 8.4 = \frac{1}{6}×2.4x$
化简得：
$6 = 0.4x$
解得：
$x=15$
检验：当$x=15$时，$2.4x≠0$，所以$x=15$是原分式方程的解，且符合实际意义。
自驾车的速度为$2.4×15=36\ \mathrm{km/h}$。
【答案】
小李骑共享单车的速度是$15\ \mathrm{km/h}$，自驾车的速度是$36\ \mathrm{km/h}$，$x$满足的方程为$\frac{6}{x} - \frac{8.4}{2.4x} = \frac{1}{6}$。
【知识点】
分式方程应用，行程问题，分式方程求解
【点评】
本题属于分式方程的基础应用类题目，解题的关键是准确提取题干中的等量关系，注意时间单位要与速度单位匹配，求解分式方程后必须检验根是否符合实际意义。
【难度系数】
0.7
| 变式训练 | 甲、乙两个单位为爱心基金分别捐款4 800元、6 000元。已知甲单位捐款的人数比乙单位捐款的人数少50人，而甲单位人均捐款数比乙单位人均捐款数多1元。设甲单位有x人捐款，则下列方程正确的是（）
A.$\frac{4800}{x} = \frac{6000}{x+50} +1$
B.$\frac{4800}{x} = \frac{6000}{x-50} +1$
C.$\frac{4800}{x} = \frac{6000}{x+50} -1$
D.$\frac{4800}{x} = \frac{6000}{x-50} -1$
A.$\frac{4800}{x} = \frac{6000}{x+50} +1$
B.$\frac{4800}{x} = \frac{6000}{x-50} +1$
C.$\frac{4800}{x} = \frac{6000}{x+50} -1$
D.$\frac{4800}{x} = \frac{6000}{x-50} -1$
答案
A
解析
【分析】
解题时首先结合题目给出的设元，先推导乙单位的捐款人数，再分别表示出两个单位的人均捐款数，最后抓住“甲单位人均捐款数比乙单位人均捐款数多1元”这个核心等量关系列方程即可。第一步：已知设甲单位捐款人数为x，甲比乙少50人，因此乙的捐款人数为x+50；第二步：根据“人均捐款=总捐款数÷捐款人数”，分别表示甲、乙的人均捐款；第三步：根据甲人均比乙多1元的关系建立等式，即可判断正确选项。
【解析】
已知设甲单位有x人捐款：
1. 求乙单位捐款人数：甲单位捐款人数比乙单位少50人，因此乙单位捐款人数为$\boldsymbol{(x+50)}$人。
2. 表示两个单位的人均捐款：
甲单位人均捐款为总捐款额除以捐款人数，即$\frac{4800}{x}$元；
乙单位人均捐款为$\frac{6000}{x+50}$元。
3. 结合等量关系列方程：
题目给出“甲单位人均捐款数比乙单位人均捐款数多1元”，即甲人均捐款=乙人均捐款+1，代入对应表达式可得：
$\frac{4800}{x} = \frac{6000}{x+50} +1$
因此选项A符合方程。
【答案】
A
【知识点】
1. 分式方程的实际应用
2. 等量关系列方程
【点评】
本题是分式方程实际应用的基础题型，解题的核心是准确梳理题目中的数量关系，先明确两个单位的捐款人数，再结合人均捐款的差值建立等式，只要找准等量关系就不易出错。
【难度系数】
0.8
解题时首先结合题目给出的设元，先推导乙单位的捐款人数，再分别表示出两个单位的人均捐款数，最后抓住“甲单位人均捐款数比乙单位人均捐款数多1元”这个核心等量关系列方程即可。第一步：已知设甲单位捐款人数为x，甲比乙少50人，因此乙的捐款人数为x+50；第二步：根据“人均捐款=总捐款数÷捐款人数”，分别表示甲、乙的人均捐款；第三步：根据甲人均比乙多1元的关系建立等式，即可判断正确选项。
【解析】
已知设甲单位有x人捐款：
1. 求乙单位捐款人数：甲单位捐款人数比乙单位少50人，因此乙单位捐款人数为$\boldsymbol{(x+50)}$人。
2. 表示两个单位的人均捐款：
甲单位人均捐款为总捐款额除以捐款人数，即$\frac{4800}{x}$元；
乙单位人均捐款为$\frac{6000}{x+50}$元。
3. 结合等量关系列方程：
题目给出“甲单位人均捐款数比乙单位人均捐款数多1元”，即甲人均捐款=乙人均捐款+1，代入对应表达式可得：
$\frac{4800}{x} = \frac{6000}{x+50} +1$
因此选项A符合方程。
【答案】
A
【知识点】
1. 分式方程的实际应用
2. 等量关系列方程
【点评】
本题是分式方程实际应用的基础题型，解题的核心是准确梳理题目中的数量关系，先明确两个单位的捐款人数，再结合人均捐款的差值建立等式，只要找准等量关系就不易出错。
【难度系数】
0.8
1. 下列方程中，为分式方程的是 （
A.$\frac{x-1}{2}=\sqrt{2}$
B.$\frac{x}{5}+3=0$
C.$\frac{\sqrt{2}}{x}-1=0$
D.$\frac{x}{m}+\frac{x+3}{2}=0$
C
）A.$\frac{x-1}{2}=\sqrt{2}$
B.$\frac{x}{5}+3=0$
C.$\frac{\sqrt{2}}{x}-1=0$
D.$\frac{x}{m}+\frac{x+3}{2}=0$
答案
1.C
解析
【分析】
解题前先回忆分式方程的判定标准：分母中含有未知数的方程是分式方程。我们只需要对照这个标准逐一排查每个选项即可，注意要区分作为常数参数的字母和未知数，本题默认未知数为x。
【解析】
首先明确分式方程的定义：分母中含有未知数的方程叫做分式方程，据此逐一分析选项：
A. 方程$\frac{x-1}{2}=\sqrt{2}$的分母是2，为常数，不含未知数，属于整式方程，不符合要求；
B. 方程$\frac{x}{5}+3=0$的分母是5，为常数，不含未知数，属于整式方程，不符合要求；
C. 方程$\frac{\sqrt{2}}{x}-1=0$的分母是x，x是未知数，符合分式方程的定义，符合要求；
D. 方程$\frac{x}{m}+\frac{x+3}{2}=0$中，m为字母参数（常数），未知数为x，分母不含未知数x，属于整式方程，不符合要求。
综上应选C。
【答案】
C
【知识点】
分式方程的定义、整式方程与分式方程的区分
【点评】
本题考查分式方程的基础判定，解题核心是抓住“分母含未知数”的特征，注意不要把作为参数的字母错当成未知数，就能快速选出正确答案。
【难度系数】
0.8
解题前先回忆分式方程的判定标准：分母中含有未知数的方程是分式方程。我们只需要对照这个标准逐一排查每个选项即可，注意要区分作为常数参数的字母和未知数，本题默认未知数为x。
【解析】
首先明确分式方程的定义：分母中含有未知数的方程叫做分式方程，据此逐一分析选项：
A. 方程$\frac{x-1}{2}=\sqrt{2}$的分母是2，为常数，不含未知数，属于整式方程，不符合要求；
B. 方程$\frac{x}{5}+3=0$的分母是5，为常数，不含未知数，属于整式方程，不符合要求；
C. 方程$\frac{\sqrt{2}}{x}-1=0$的分母是x，x是未知数，符合分式方程的定义，符合要求；
D. 方程$\frac{x}{m}+\frac{x+3}{2}=0$中，m为字母参数（常数），未知数为x，分母不含未知数x，属于整式方程，不符合要求。
综上应选C。
【答案】
C
【知识点】
分式方程的定义、整式方程与分式方程的区分
【点评】
本题考查分式方程的基础判定，解题核心是抓住“分母含未知数”的特征，注意不要把作为参数的字母错当成未知数，就能快速选出正确答案。
【难度系数】
0.8
2.暑假期间,某套科幻小说的销售量急剧上升。某书店分别用600元和800元两次购进该小说,已知第二次购进的数量比第一次多40套,且两次购书时,每套书的进价相同。若设该书店第一次购进该科幻小说x套,则由题意所列方程正确的是 (
A.$\frac{600}{x}=\frac{800}{x-40}$
B.$\frac{600}{x-40}=\frac{800}{x}$
C.$\frac{600}{x}=\frac{800}{x+40}$
D.$\frac{600}{x+40}=\frac{800}{x}$
C
)A.$\frac{600}{x}=\frac{800}{x-40}$
B.$\frac{600}{x-40}=\frac{800}{x}$
C.$\frac{600}{x}=\frac{800}{x+40}$
D.$\frac{600}{x+40}=\frac{800}{x}$
答案
2.C
解析
【分析】
这是一道分式方程的实际应用题，解题核心是找到题目中的等量关系。首先明确题目中的不变量：两次购书时每套的进价相同。我们可以先根据“第二次购进的数量比第一次多40套”，用第一次的购进数量x表示出第二次的购进数量，再根据“单价=总价÷数量”分别表示出两次的购书单价，最后利用单价相等列出方程即可。
【解析】
解：设该书店第一次购进该科幻小说x套，
因为第二次购进的数量比第一次多40套，所以第二次购进的数量为$(x+40)$套。
根据“单价=总价÷数量”，可得：
第一次购书的单价为$\frac{600}{x}$元/套，
第二次购书的单价为$\frac{800}{x+40}$元/套。
已知两次购书时每套书的进价相同，因此可列方程：
$\frac{600}{x}=\frac{800}{x+40}$
对应选项为C。
【答案】
C
【知识点】
1. 分式方程的实际应用
2. 总价、单价、数量的关系
【点评】
本题是分式方程应用的基础题型，解题的关键是抓住“两次进价相同”这一不变量，结合常见的数量关系即可快速列出方程，主要考查学生审题提取等量关系、列方程的能力。
【难度系数】
0.8
这是一道分式方程的实际应用题，解题核心是找到题目中的等量关系。首先明确题目中的不变量：两次购书时每套的进价相同。我们可以先根据“第二次购进的数量比第一次多40套”，用第一次的购进数量x表示出第二次的购进数量，再根据“单价=总价÷数量”分别表示出两次的购书单价，最后利用单价相等列出方程即可。
【解析】
解：设该书店第一次购进该科幻小说x套，
因为第二次购进的数量比第一次多40套，所以第二次购进的数量为$(x+40)$套。
根据“单价=总价÷数量”，可得：
第一次购书的单价为$\frac{600}{x}$元/套，
第二次购书的单价为$\frac{800}{x+40}$元/套。
已知两次购书时每套书的进价相同，因此可列方程：
$\frac{600}{x}=\frac{800}{x+40}$
对应选项为C。
【答案】
C
【知识点】
1. 分式方程的实际应用
2. 总价、单价、数量的关系
【点评】
本题是分式方程应用的基础题型，解题的关键是抓住“两次进价相同”这一不变量，结合常见的数量关系即可快速列出方程，主要考查学生审题提取等量关系、列方程的能力。
【难度系数】
0.8
