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11.按下列程序计算，把答案填写在表格里，然后看看有什么规律，想想为什么会有这个规律？
$n \rightarrow \mathrm{平方} \rightarrow -n \rightarrow $
$ \rightarrow -2n^2 \rightarrow +2n -1 \rightarrow \mathrm{答案}$
(1)填写表内空格：
| 输入$x$ | $3$ | $2$ | $-2$ | $\frac{1}{3}$ | … |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| 输出答案 | $-1$ |
(2)你发现的规律是
(3)用简要过程说明你发现的规律的正确性。
$n \rightarrow \mathrm{平方} \rightarrow -n \rightarrow $
$ \rightarrow -2n^2 \rightarrow +2n -1 \rightarrow \mathrm{答案}$(1)填写表内空格：
| 输入$x$ | $3$ | $2$ | $-2$ | $\frac{1}{3}$ | … |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| 输出答案 | $-1$ |
$-1$
| $-1$
| $-1$
| … |(2)你发现的规律是
输入任何数的结果都为－1
。(3)用简要过程说明你发现的规律的正确性。
答案
11.解:(1)$(2^2-2)×2-2×2^2+2×2-1$
$=(4-2)×2-2×4+4-1$
$=2×2-8+4-1$
$=4-8+4-1$
$=-1,$
$[(-2)^2-(-2)]×2-2×(-2)^2+2×(-2)-1$
$=(4+2)×2-2×4-4-1$
$=6×2-8-4-1$
$=12-8-4-1$
$=-1,$
$[ ( \frac{1}{3} )^2-\frac{1}{3} ] ×2-2×( \frac{1}{3} )^2+2×\frac{1}{3}-1$
$=( \frac{1}{9}-\frac{1}{3} ) ×2-2×\frac{1}{9}+\frac{2}{3}-1$
$=-\frac{2}{9}×2-\frac{2}{9}+\frac{2}{3}-1$
$=-\frac{4}{9}-\frac{2}{9}+\frac{2}{3}-1=-1,$
填表如下：
[图1]
(2)发现的规律是输入任何数的结果都为－1。
(3)$2(n^2-n)-2n^2+2n-1$
$=2n^2-2n-2n^2+2n-1$
$=-1。$
$=(4-2)×2-2×4+4-1$
$=2×2-8+4-1$
$=4-8+4-1$
$=-1,$
$[(-2)^2-(-2)]×2-2×(-2)^2+2×(-2)-1$
$=(4+2)×2-2×4-4-1$
$=6×2-8-4-1$
$=12-8-4-1$
$=-1,$
$[ ( \frac{1}{3} )^2-\frac{1}{3} ] ×2-2×( \frac{1}{3} )^2+2×\frac{1}{3}-1$
$=( \frac{1}{9}-\frac{1}{3} ) ×2-2×\frac{1}{9}+\frac{2}{3}-1$
$=-\frac{2}{9}×2-\frac{2}{9}+\frac{2}{3}-1$
$=-\frac{4}{9}-\frac{2}{9}+\frac{2}{3}-1=-1,$
填表如下：
[图1]
(2)发现的规律是输入任何数的结果都为－1。
(3)$2(n^2-n)-2n^2+2n-1$
$=2n^2-2n-2n^2+2n-1$
$=-1。$
解析
【分析】
这是一道程序运算类的规律探究题，解题思路分三步：①先把题目给出的运算程序转化为整式运算表达式，根据运算顺序，程序对应的表达式为$2(n^2 - n) - 2n^2 + 2n - 1$；②解决第一问时，将输入的2、-2、$\frac{1}{3}$分别代入表达式，按照有理数运算顺序逐步计算即可得到输出结果；③观察多个输入的输出结果，总结出共性规律，再通过整式的加减运算化简表达式，验证规律的正确性，化简后如果结果为常数，就说明输出值和输入的n无关。
【解析】
(1) 当输入$n=2$时：
$\begin{aligned}&2×(2^2 - 2) - 2×2^2 + 2×2 - 1\\=&2×(4-2) - 2×4 +4 -1\\=&2×2 -8 +4 -1\\=&4-8+4-1\\=&-1\end{aligned}$
当输入$n=-2$时：
$\begin{aligned}&2×[(-2)^2 - (-2)] - 2×(-2)^2 + 2×(-2) - 1\\=&2×(4+2) - 2×4 -4 -1\\=&2×6 -8 -4 -1\\=&12-8-4-1\\=&-1\end{aligned}$
当输入$n=\frac{1}{3}$时：
$\begin{aligned}&2×[(\frac{1}{3})^2 - \frac{1}{3}] - 2×(\frac{1}{3})^2 + 2×\frac{1}{3} - 1\\=&2×(\frac{1}{9}-\frac{3}{9}) - 2×\frac{1}{9} + \frac{2}{3} -1\\=&2×(-\frac{2}{9}) - \frac{2}{9} + \frac{6}{9} - \frac{9}{9}\\=&-\frac{4}{9}-\frac{2}{9}+\frac{6}{9}-\frac{9}{9}\\=&-1\end{aligned}$
(2) 观察所有输入对应的输出结果，发现无论输入的数取什么值，最终输出的答案都是固定值-1。
(3) 对运算程序对应的代数式化简验证：
$\begin{aligned}&2(n^2 - n) - 2n^2 + 2n -1\\=&2n^2 - 2n -2n^2 + 2n -1\\=&(2n^2 -2n^2) + (-2n +2n) -1\\=&-1\end{aligned}$
化简后结果为常数-1，和n的取值无关，规律成立。
【答案】
(1) $\boldsymbol{-1}$，$\boldsymbol{-1}$，$\boldsymbol{-1}$；
(2) 输入任意数，输出答案均为$\boldsymbol{-1}$；
(3) 代数式化简后恒为$-1$，规律成立。
【知识点】
代数式求值，整式的加减，规律探究
【点评】
本题将程序运算和整式化简结合，既考查了有理数运算、整式加减的基础计算能力，又引导学生经历从特殊实例到一般规律的探究过程，能帮助学生理解代数式化简的实际意义，是整式运算部分的典型习题。
【难度系数】
0.8
这是一道程序运算类的规律探究题，解题思路分三步：①先把题目给出的运算程序转化为整式运算表达式，根据运算顺序，程序对应的表达式为$2(n^2 - n) - 2n^2 + 2n - 1$；②解决第一问时，将输入的2、-2、$\frac{1}{3}$分别代入表达式，按照有理数运算顺序逐步计算即可得到输出结果；③观察多个输入的输出结果，总结出共性规律，再通过整式的加减运算化简表达式，验证规律的正确性，化简后如果结果为常数，就说明输出值和输入的n无关。
【解析】
(1) 当输入$n=2$时：
$\begin{aligned}&2×(2^2 - 2) - 2×2^2 + 2×2 - 1\\=&2×(4-2) - 2×4 +4 -1\\=&2×2 -8 +4 -1\\=&4-8+4-1\\=&-1\end{aligned}$
当输入$n=-2$时：
$\begin{aligned}&2×[(-2)^2 - (-2)] - 2×(-2)^2 + 2×(-2) - 1\\=&2×(4+2) - 2×4 -4 -1\\=&2×6 -8 -4 -1\\=&12-8-4-1\\=&-1\end{aligned}$
当输入$n=\frac{1}{3}$时：
$\begin{aligned}&2×[(\frac{1}{3})^2 - \frac{1}{3}] - 2×(\frac{1}{3})^2 + 2×\frac{1}{3} - 1\\=&2×(\frac{1}{9}-\frac{3}{9}) - 2×\frac{1}{9} + \frac{2}{3} -1\\=&2×(-\frac{2}{9}) - \frac{2}{9} + \frac{6}{9} - \frac{9}{9}\\=&-\frac{4}{9}-\frac{2}{9}+\frac{6}{9}-\frac{9}{9}\\=&-1\end{aligned}$
(2) 观察所有输入对应的输出结果，发现无论输入的数取什么值，最终输出的答案都是固定值-1。
(3) 对运算程序对应的代数式化简验证：
$\begin{aligned}&2(n^2 - n) - 2n^2 + 2n -1\\=&2n^2 - 2n -2n^2 + 2n -1\\=&(2n^2 -2n^2) + (-2n +2n) -1\\=&-1\end{aligned}$
化简后结果为常数-1，和n的取值无关，规律成立。
【答案】
(1) $\boldsymbol{-1}$，$\boldsymbol{-1}$，$\boldsymbol{-1}$；
(2) 输入任意数，输出答案均为$\boldsymbol{-1}$；
(3) 代数式化简后恒为$-1$，规律成立。
【知识点】
代数式求值，整式的加减，规律探究
【点评】
本题将程序运算和整式化简结合，既考查了有理数运算、整式加减的基础计算能力，又引导学生经历从特殊实例到一般规律的探究过程，能帮助学生理解代数式化简的实际意义，是整式运算部分的典型习题。
【难度系数】
0.8
12. 已知$\frac{a}{b}=3$，求代数式$\frac{a^2 +4ab +4b^2}{a - b} ÷ ( \frac{3b^2}{a - b} - a - b )$的值。
答案
12.解:$\frac{a^2 +4ab +4b^2}{a - b} ÷ ( \frac{3b^2}{a - b} - a - b )$
$=\frac{(a+2b)^2}{a-b}÷\frac{3b^2-(a+b)(a-b)}{a-b}$
$=\frac{(a+2b)^2}{a-b}÷\frac{3b^2-(a^2-b^2)}{a-b}$
$=\frac{(a+2b)^2}{a-b}÷\frac{4b^2-a^2}{a-b}$
$=\frac{(a+2b)^2}{a-b}÷\frac{(2b+a)(2b-a)}{a-b}$
$=\frac{(a+2b)^2}{a-b}·\frac{a-b}{(2b+a)(2b-a)}$
$=\frac{a+2b}{2b-a}。$
$\because \frac{a}{b}=3,$
$\therefore a=3b,\therefore 原式=\frac{3b+2b}{2b-3b}=\frac{5b}{-b}=-5。$
$=\frac{(a+2b)^2}{a-b}÷\frac{3b^2-(a+b)(a-b)}{a-b}$
$=\frac{(a+2b)^2}{a-b}÷\frac{3b^2-(a^2-b^2)}{a-b}$
$=\frac{(a+2b)^2}{a-b}÷\frac{4b^2-a^2}{a-b}$
$=\frac{(a+2b)^2}{a-b}÷\frac{(2b+a)(2b-a)}{a-b}$
$=\frac{(a+2b)^2}{a-b}·\frac{a-b}{(2b+a)(2b-a)}$
$=\frac{a+2b}{2b-a}。$
$\because \frac{a}{b}=3,$
$\therefore a=3b,\therefore 原式=\frac{3b+2b}{2b-3b}=\frac{5b}{-b}=-5。$
解析
【分析】
这是一道分式化简求值题，遵循“先化简，再求值”的原则能大幅降低运算难度。首先处理括号内的运算：将括号内的整式通分，统一分母为$a-b$后计算分子；再对分子、分母中的多项式因式分解（用到完全平方公式、平方差公式）；随后将除法转化为乘法，约分得到最简代数式；最后根据$\frac{a}{b}=3$推出$a=3b$，代入最简式计算即可，注意隐含条件$b≠0$，可直接约分化简。
【解析】
解：先化简代数式：
$\frac{a^2 +4ab +4b^2}{a - b} ÷ ( \frac{3b^2}{a - b} - a - b )$
$=\frac{(a+2b)^2}{a-b}÷\frac{3b^2-(a+b)(a-b)}{a-b}$
$=\frac{(a+2b)^2}{a-b}÷\frac{3b^2-(a^2-b^2)}{a-b}$
$=\frac{(a+2b)^2}{a-b}÷\frac{4b^2-a^2}{a-b}$
$=\frac{(a+2b)^2}{a-b}÷\frac{(2b+a)(2b-a)}{a-b}$
$=\frac{(a+2b)^2}{a-b}·\frac{a-b}{(2b+a)(2b-a)}$
$=\frac{a+2b}{2b-a}$
$\because \frac{a}{b}=3$，$\therefore a=3b$（$b≠0$），代入化简后的式子得：
原式$=\frac{3b+2b}{2b-3b}=\frac{5b}{-b}=-5$
【答案】
$-5$
【知识点】
分式混合运算、因式分解、代数式化简求值
【点评】
本题是分式化简求值的常规题型，重点考查分式运算规则和乘法公式的应用，解题时需注意通分、去括号的符号问题，先化简后代入的思路能有效减少运算出错的概率。
【难度系数】
0.6
这是一道分式化简求值题，遵循“先化简，再求值”的原则能大幅降低运算难度。首先处理括号内的运算：将括号内的整式通分，统一分母为$a-b$后计算分子；再对分子、分母中的多项式因式分解（用到完全平方公式、平方差公式）；随后将除法转化为乘法，约分得到最简代数式；最后根据$\frac{a}{b}=3$推出$a=3b$，代入最简式计算即可，注意隐含条件$b≠0$，可直接约分化简。
【解析】
解：先化简代数式：
$\frac{a^2 +4ab +4b^2}{a - b} ÷ ( \frac{3b^2}{a - b} - a - b )$
$=\frac{(a+2b)^2}{a-b}÷\frac{3b^2-(a+b)(a-b)}{a-b}$
$=\frac{(a+2b)^2}{a-b}÷\frac{3b^2-(a^2-b^2)}{a-b}$
$=\frac{(a+2b)^2}{a-b}÷\frac{4b^2-a^2}{a-b}$
$=\frac{(a+2b)^2}{a-b}÷\frac{(2b+a)(2b-a)}{a-b}$
$=\frac{(a+2b)^2}{a-b}·\frac{a-b}{(2b+a)(2b-a)}$
$=\frac{a+2b}{2b-a}$
$\because \frac{a}{b}=3$，$\therefore a=3b$（$b≠0$），代入化简后的式子得：
原式$=\frac{3b+2b}{2b-3b}=\frac{5b}{-b}=-5$
【答案】
$-5$
【知识点】
分式混合运算、因式分解、代数式化简求值
【点评】
本题是分式化简求值的常规题型，重点考查分式运算规则和乘法公式的应用，解题时需注意通分、去括号的符号问题，先化简后代入的思路能有效减少运算出错的概率。
【难度系数】
0.6
13.甲、乙两名采购员去同一家饲料公司分别购买两次饲料，两次购买饲料的价格分别为m元/千克和n元/千克，且m≠n。已知这两名采购员的采购方式不同，其中甲采购员每次购买1000 kg，乙采购员每次购买花费800元，而不管能购买多少饲料。
(1)甲、乙两名采购员所购饲料的平均单价各是多少？(用字母m，n表示)
(2)谁的采购方式更合算？
(1)甲、乙两名采购员所购饲料的平均单价各是多少？(用字母m，n表示)
(2)谁的采购方式更合算？
答案
13.解:(1)根据题意得:甲采购员两次购买饲料的平均单价为
$\frac{1000m+1000n}{1000×2}=\frac{m+n}{2}$(元/千克),
乙采购员两次购买饲料的平均单价为
$\frac{800×2}{\frac{800}{m}+\frac{800}{n}}=\frac{2mn}{m+n}$(元/千克),
(2)甲、乙所购饲料的平均单价的差是
$\frac{m+n}{2}-\frac{2mn}{m+n}=\frac{(m+n)^2}{2(m+n)}-\frac{4mn}{2(m+n)}=\frac{(m-n)^2}{2(m+n)}$(元/千克),
$\because m,n$ 是正数且$m≠n,$
$\therefore \frac{(m-n)^2}{2(m+n)}＞0,即\frac{m+n}{2}＞\frac{2mn}{m+n}。$
$\therefore$乙的购货方式更合算。
$\frac{1000m+1000n}{1000×2}=\frac{m+n}{2}$(元/千克),
乙采购员两次购买饲料的平均单价为
$\frac{800×2}{\frac{800}{m}+\frac{800}{n}}=\frac{2mn}{m+n}$(元/千克),
(2)甲、乙所购饲料的平均单价的差是
$\frac{m+n}{2}-\frac{2mn}{m+n}=\frac{(m+n)^2}{2(m+n)}-\frac{4mn}{2(m+n)}=\frac{(m-n)^2}{2(m+n)}$(元/千克),
$\because m,n$ 是正数且$m≠n,$
$\therefore \frac{(m-n)^2}{2(m+n)}＞0,即\frac{m+n}{2}＞\frac{2mn}{m+n}。$
$\therefore$乙的购货方式更合算。
解析
【分析】
本题分为两小问，解题思路如下：
(1) 计算平均单价的核心公式是“平均单价=总花费÷总购买重量”。计算甲的平均单价时，先算出两次购买的总花费和总重量，代入公式化简即可；计算乙的平均单价时，先分别求出两次购买的重量，相加得到总重量，再结合两次总花费代入公式化简。
(2) 要判断谁的采购方式更合算，只需比较两人的平均单价大小即可，采用作差法比较两个代数式的大小，根据差的正负判断单价高低，注意m、n均为正数且m≠n的条件。
【解析】
(1) 甲采购员两次购买饲料的总花费为$(1000m + 1000n)$元，总购买重量为$1000×2 = 2000$kg，
因此甲的平均单价为：$\frac{1000m + 1000n}{2000} = \frac{m + n}{2}$（元/千克）。
乙采购员两次购买饲料的总花费为$800×2 = 1600$元，第一次购买重量为$\frac{800}{m}$kg，第二次购买重量为$\frac{800}{n}$kg，总重量为$(\frac{800}{m} + \frac{800}{n})$kg，
因此乙的平均单价为：$\frac{1600}{\frac{800}{m} + \frac{800}{n}} = \frac{2mn}{m + n}$（元/千克）。
(2) 用作差法比较两人平均单价的大小：
$\frac{m + n}{2} - \frac{2mn}{m + n} = \frac{(m + n)^2 - 4mn}{2(m + n)} = \frac{(m - n)^2}{2(m + n)}$
由题意可知，m、n均为正数，即$m + n ＞ 0$，又$m≠n$，因此$(m - n)^2 ＞ 0$，
所以$\frac{(m - n)^2}{2(m + n)} ＞ 0$，即$\frac{m + n}{2} ＞ \frac{2mn}{m + n}$，说明乙的平均单价更低。
【答案】
(1) 甲所购饲料的平均单价为$\frac{m+n}{2}$元/千克，乙所购饲料的平均单价为$\frac{2mn}{m+n}$元/千克；
(2) 乙的采购方式更合算。
【知识点】
分式的实际应用，作差法比较大小，分式化简
【点评】
本题结合生活中的采购场景考查分式的相关应用，解题关键是牢记平均单价的计算公式，用作差法比较代数式大小时，要结合已知条件判断差的正负，这类题型能很好地锻炼将数学知识应用到实际生活的能力。
【难度系数】
0.7
本题分为两小问，解题思路如下：
(1) 计算平均单价的核心公式是“平均单价=总花费÷总购买重量”。计算甲的平均单价时，先算出两次购买的总花费和总重量，代入公式化简即可；计算乙的平均单价时，先分别求出两次购买的重量，相加得到总重量，再结合两次总花费代入公式化简。
(2) 要判断谁的采购方式更合算，只需比较两人的平均单价大小即可，采用作差法比较两个代数式的大小，根据差的正负判断单价高低，注意m、n均为正数且m≠n的条件。
【解析】
(1) 甲采购员两次购买饲料的总花费为$(1000m + 1000n)$元，总购买重量为$1000×2 = 2000$kg，
因此甲的平均单价为：$\frac{1000m + 1000n}{2000} = \frac{m + n}{2}$（元/千克）。
乙采购员两次购买饲料的总花费为$800×2 = 1600$元，第一次购买重量为$\frac{800}{m}$kg，第二次购买重量为$\frac{800}{n}$kg，总重量为$(\frac{800}{m} + \frac{800}{n})$kg，
因此乙的平均单价为：$\frac{1600}{\frac{800}{m} + \frac{800}{n}} = \frac{2mn}{m + n}$（元/千克）。
(2) 用作差法比较两人平均单价的大小：
$\frac{m + n}{2} - \frac{2mn}{m + n} = \frac{(m + n)^2 - 4mn}{2(m + n)} = \frac{(m - n)^2}{2(m + n)}$
由题意可知，m、n均为正数，即$m + n ＞ 0$，又$m≠n$，因此$(m - n)^2 ＞ 0$，
所以$\frac{(m - n)^2}{2(m + n)} ＞ 0$，即$\frac{m + n}{2} ＞ \frac{2mn}{m + n}$，说明乙的平均单价更低。
【答案】
(1) 甲所购饲料的平均单价为$\frac{m+n}{2}$元/千克，乙所购饲料的平均单价为$\frac{2mn}{m+n}$元/千克；
(2) 乙的采购方式更合算。
【知识点】
分式的实际应用，作差法比较大小，分式化简
【点评】
本题结合生活中的采购场景考查分式的相关应用，解题关键是牢记平均单价的计算公式，用作差法比较代数式大小时，要结合已知条件判断差的正负，这类题型能很好地锻炼将数学知识应用到实际生活的能力。
【难度系数】
0.7
