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变式训练3 当$|a|=3$时，代数式$(1 - \dfrac{1}{a - 2}) ÷ \dfrac{a - 3}{a^2 - 4}$的值为（
A.5
B.－1
C.5或－1
D.0
B
）A.5
B.－1
C.5或－1
D.0
答案
B
解析
【分析】
解决本题的核心思路是先化简分式，再结合分式有意义的条件确定a的合法取值，最后代入求值。首先按照分式混合运算的规则化简代数式，再根据分式分母不为0、除数不为0的要求排除不符合的a值，结合|a|=3确定最终可用的a值，代入化简后的式子就能得到结果。
【解析】
第一步：化简代数式
先计算括号内的减法，再将除法转化为乘法计算：
$\begin{aligned}(1 - \frac{1}{a - 2}) ÷ \frac{a - 3}{a^2 - 4}&=(\frac{a - 2}{a - 2} - \frac{1}{a - 2}) × \frac{a^2 - 4}{a - 3}\\&=\frac{a - 3}{a - 2} × \frac{(a - 2)(a + 2)}{a - 3}\\&=a + 2\end{aligned}$
第二步：确定a的取值范围
要使分式有意义，需满足各分母不为0、除数不为0：
$a - 2 ≠ 0$，$a^2 - 4 ≠ 0$，$a - 3 ≠ 0$，解得$a ≠ 2$，$a ≠ -2$，$a ≠ 3$。
第三步：结合已知条件确定a的取值并计算
已知$|a| = 3$，则$a = 3$或$a = -3$，结合取值范围排除$a = 3$，故$a = -3$。
代入化简后的式子得：$a + 2 = -3 + 2 = -1$。
【答案】
B
【知识点】
分式化简求值，分式有意义的条件，绝对值的性质
【点评】
本题的易错点是忽略分式有意义的条件，直接将$a=3$代入计算得到错误结果，求解分式化简求值类问题时，一定要先确定字母的合法取值范围，排除使分式无意义的取值后再代入计算。
【难度系数】
0.6
解决本题的核心思路是先化简分式，再结合分式有意义的条件确定a的合法取值，最后代入求值。首先按照分式混合运算的规则化简代数式，再根据分式分母不为0、除数不为0的要求排除不符合的a值，结合|a|=3确定最终可用的a值，代入化简后的式子就能得到结果。
【解析】
第一步：化简代数式
先计算括号内的减法，再将除法转化为乘法计算：
$\begin{aligned}(1 - \frac{1}{a - 2}) ÷ \frac{a - 3}{a^2 - 4}&=(\frac{a - 2}{a - 2} - \frac{1}{a - 2}) × \frac{a^2 - 4}{a - 3}\\&=\frac{a - 3}{a - 2} × \frac{(a - 2)(a + 2)}{a - 3}\\&=a + 2\end{aligned}$
第二步：确定a的取值范围
要使分式有意义，需满足各分母不为0、除数不为0：
$a - 2 ≠ 0$，$a^2 - 4 ≠ 0$，$a - 3 ≠ 0$，解得$a ≠ 2$，$a ≠ -2$，$a ≠ 3$。
第三步：结合已知条件确定a的取值并计算
已知$|a| = 3$，则$a = 3$或$a = -3$，结合取值范围排除$a = 3$，故$a = -3$。
代入化简后的式子得：$a + 2 = -3 + 2 = -1$。
【答案】
B
【知识点】
分式化简求值，分式有意义的条件，绝对值的性质
【点评】
本题的易错点是忽略分式有意义的条件，直接将$a=3$代入计算得到错误结果，求解分式化简求值类问题时，一定要先确定字母的合法取值范围，排除使分式无意义的取值后再代入计算。
【难度系数】
0.6
1.化简$(a-\frac{1}{b})÷(b-\frac{1}{a})$的结果是（
A.1
B.$\frac{b}{a}$
C.$\frac{a}{b}$
D.$-\frac{a}{b}$
C
）A.1
B.$\frac{b}{a}$
C.$\frac{a}{b}$
D.$-\frac{a}{b}$
答案
C
解析
【分析】
这是分式混合运算类题目，解题思路遵循分式运算顺序：先计算括号内的异分母分式减法，通分后将括号内式子化为最简分式，再把分式除法转化为乘法运算，最后约去分子分母的公因式就能得到化简结果。
【解析】
解：先计算括号内的异分母分式减法：
第一个括号：$a-\frac{1}{b}=\frac{ab}{b}-\frac{1}{b}=\frac{ab-1}{b}$
第二个括号：$b-\frac{1}{a}=\frac{ab}{a}-\frac{1}{a}=\frac{ab-1}{a}$
将除法转化为乘法（除以一个分式等于乘这个分式的倒数）：
原式$=\frac{ab-1}{b}÷\frac{ab-1}{a}=\frac{ab-1}{b}×\frac{a}{ab-1}$
约去分子分母的公因式$ab-1$（默认分式有意义，$ab≠1$），得：
原式$=\frac{a}{b}$
【答案】
C
【知识点】
分式混合运算、异分母分式加减、分式约分
【点评】
本题是分式运算的基础题型，核心是熟练掌握分式运算的基本法则，运算时注意先处理括号内的式子，除法转乘法后再约分，能有效提升解题正确率。
【难度系数】
0.8
这是分式混合运算类题目，解题思路遵循分式运算顺序：先计算括号内的异分母分式减法，通分后将括号内式子化为最简分式，再把分式除法转化为乘法运算，最后约去分子分母的公因式就能得到化简结果。
【解析】
解：先计算括号内的异分母分式减法：
第一个括号：$a-\frac{1}{b}=\frac{ab}{b}-\frac{1}{b}=\frac{ab-1}{b}$
第二个括号：$b-\frac{1}{a}=\frac{ab}{a}-\frac{1}{a}=\frac{ab-1}{a}$
将除法转化为乘法（除以一个分式等于乘这个分式的倒数）：
原式$=\frac{ab-1}{b}÷\frac{ab-1}{a}=\frac{ab-1}{b}×\frac{a}{ab-1}$
约去分子分母的公因式$ab-1$（默认分式有意义，$ab≠1$），得：
原式$=\frac{a}{b}$
【答案】
C
【知识点】
分式混合运算、异分母分式加减、分式约分
【点评】
本题是分式运算的基础题型，核心是熟练掌握分式运算的基本法则，运算时注意先处理括号内的式子，除法转乘法后再约分，能有效提升解题正确率。
【难度系数】
0.8
2.若$m+2n=0$，则代数式$(\dfrac{2m+n}{m^2-mn}+\dfrac{1}{m})÷\dfrac{m}{m^2-n^2}$的值为（
A.$\dfrac{3}{2}$
B.$-3n$
C.$-\dfrac{3n}{2}$
D.$\dfrac{9}{2}$
A
）A.$\dfrac{3}{2}$
B.$-3n$
C.$-\dfrac{3n}{2}$
D.$\dfrac{9}{2}$
答案
A
解析
【分析】
本题是分式化简求值类题目，解题思路为：先按照分式混合运算的顺序，先计算括号内的分式加法，再将除法运算转化为乘法运算，结合因式分解进行约分，得到最简形式后，将已知条件$m=-2n$整体代入化简后的式子，消去字母即可得到结果，无需单独求解$m$、$n$的具体值。
【解析】
首先对原式进行化简：
1. 处理括号内的加法，先通分：
括号内两个分式的公分母为$m(m-n)$，则：
$\begin{aligned}\frac{2m+n}{m^2-mn}+\frac{1}{m}&=\frac{2m+n}{m(m-n)}+\frac{m-n}{m(m-n)}\\&=\frac{2m+n + m -n}{m(m-n)}\\&=\frac{3m}{m(m-n)}\\&=\frac{3}{m-n}\end{aligned}$
2. 将除法转化为乘法，结合平方差公式因式分解约分：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=\frac{3}{m-n}÷\frac{m}{m^2-n^2}\\&=\frac{3}{m-n}×\frac{(m+n)(m-n)}{m}\\&=\frac{3(m+n)}{m}\end{aligned}$
3. 代入已知条件$m+2n=0$，即$m=-2n$（由分式有意义可知$m≠0,n≠0$）：
$\begin{aligned}\frac{3(m+n)}{m}&=\frac{3(-2n +n)}{-2n}\\&=\frac{3×(-n)}{-2n}\\&=\frac{3}{2}\end{aligned}$
【答案】
A
【知识点】
分式混合运算，平方差公式，代数式化简求值
【点评】
本题核心是先化简再求值，解题的关键是正确掌握分式运算的法则和因式分解的方法，通过整体代入已知条件即可快速求出结果，避免了不必要的计算。
【难度系数】
0.7
本题是分式化简求值类题目，解题思路为：先按照分式混合运算的顺序，先计算括号内的分式加法，再将除法运算转化为乘法运算，结合因式分解进行约分，得到最简形式后，将已知条件$m=-2n$整体代入化简后的式子，消去字母即可得到结果，无需单独求解$m$、$n$的具体值。
【解析】
首先对原式进行化简：
1. 处理括号内的加法，先通分：
括号内两个分式的公分母为$m(m-n)$，则：
$\begin{aligned}\frac{2m+n}{m^2-mn}+\frac{1}{m}&=\frac{2m+n}{m(m-n)}+\frac{m-n}{m(m-n)}\\&=\frac{2m+n + m -n}{m(m-n)}\\&=\frac{3m}{m(m-n)}\\&=\frac{3}{m-n}\end{aligned}$
2. 将除法转化为乘法，结合平方差公式因式分解约分：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=\frac{3}{m-n}÷\frac{m}{m^2-n^2}\\&=\frac{3}{m-n}×\frac{(m+n)(m-n)}{m}\\&=\frac{3(m+n)}{m}\end{aligned}$
3. 代入已知条件$m+2n=0$，即$m=-2n$（由分式有意义可知$m≠0,n≠0$）：
$\begin{aligned}\frac{3(m+n)}{m}&=\frac{3(-2n +n)}{-2n}\\&=\frac{3×(-n)}{-2n}\\&=\frac{3}{2}\end{aligned}$
【答案】
A
【知识点】
分式混合运算，平方差公式，代数式化简求值
【点评】
本题核心是先化简再求值，解题的关键是正确掌握分式运算的法则和因式分解的方法，通过整体代入已知条件即可快速求出结果，避免了不必要的计算。
【难度系数】
0.7
3. 如果$a = b + 2\sqrt{3}$，那么代数式$( \frac{a^2 + b^2}{2a} - b ) · \frac{a}{a - b}$的值为（
A.$\sqrt{3}$
B.$2\sqrt{3}$
C.$3$
D.$4\sqrt{3}$
A
）A.$\sqrt{3}$
B.$2\sqrt{3}$
C.$3$
D.$4\sqrt{3}$
答案
A
解析
【分析】
遇到分式化简求值类题目，优先先化简代数式，再代入已知条件计算，避免直接代入导致运算复杂。首先对括号内的异分母分式进行通分计算，再结合乘法公式对分子因式分解，之后进行分式乘法运算约分，得到最简结果后，将已知的a与b的关系代入即可求出值。
【解析】
先化简代数式：
$\begin{aligned}&( \frac{a^2 + b^2}{2a} - b ) · \frac{a}{a - b}\\=&( \frac{a^2 + b^2}{2a} - \frac{2ab}{2a} ) · \frac{a}{a - b}\\=&\frac{a^2 - 2ab + b^2}{2a} · \frac{a}{a - b}\\=&\frac{(a - b)^2}{2a} · \frac{a}{a - b}\\=&\frac{a - b}{2}\end{aligned}$
已知$a = b + 2\sqrt{3}$，可得$a - b = 2\sqrt{3}$，代入化简后的式子：
$\frac{a - b}{2} = \frac{2\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3}$
【答案】
A
【知识点】
分式的化简求值；完全平方公式
【点评】
本题考查分式的运算，解题的关键是熟练掌握分式的通分、约分规则以及乘法公式的运用，先化简再代入的思路能大幅降低运算量，提高解题效率和准确率。
【难度系数】
0.7
遇到分式化简求值类题目，优先先化简代数式，再代入已知条件计算，避免直接代入导致运算复杂。首先对括号内的异分母分式进行通分计算，再结合乘法公式对分子因式分解，之后进行分式乘法运算约分，得到最简结果后，将已知的a与b的关系代入即可求出值。
【解析】
先化简代数式：
$\begin{aligned}&( \frac{a^2 + b^2}{2a} - b ) · \frac{a}{a - b}\\=&( \frac{a^2 + b^2}{2a} - \frac{2ab}{2a} ) · \frac{a}{a - b}\\=&\frac{a^2 - 2ab + b^2}{2a} · \frac{a}{a - b}\\=&\frac{(a - b)^2}{2a} · \frac{a}{a - b}\\=&\frac{a - b}{2}\end{aligned}$
已知$a = b + 2\sqrt{3}$，可得$a - b = 2\sqrt{3}$，代入化简后的式子：
$\frac{a - b}{2} = \frac{2\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3}$
【答案】
A
【知识点】
分式的化简求值；完全平方公式
【点评】
本题考查分式的运算，解题的关键是熟练掌握分式的通分、约分规则以及乘法公式的运用，先化简再代入的思路能大幅降低运算量，提高解题效率和准确率。
【难度系数】
0.7
4. 如果 $ m - n = \sqrt{5} $，$ m ≠ 0 $，那么代数式 $ ( \frac{m^2 + n^2}{2m} - n ) ÷ \frac{1}{m} $ 的值为（
A.$ \frac{\sqrt{5}}{2} $
B.$ 2\sqrt{5} $
C.$ \frac{2}{5} $
D.$ \frac{5}{2} $
D
）A.$ \frac{\sqrt{5}}{2} $
B.$ 2\sqrt{5} $
C.$ \frac{2}{5} $
D.$ \frac{5}{2} $
答案
D
解析
【分析】
本题是分式化简求值类题目，直接代入m、n的具体值计算复杂度较高，因此优先采用“先化简，再求值”的思路。第一步先处理括号内的分式运算，通过通分将括号内的两项合并，再将除法转化为乘法进行约分，化简后可以发现代数式能用含m-n的式子表示，最后将已知条件m-n=√5整体代入计算即可得到结果。
【解析】
先对代数式进行化简：
$\begin{aligned}( \frac{m^2 + n^2}{2m} - n ) ÷ \frac{1}{m} &= ( \frac{m^2 + n^2}{2m} - \frac{2mn}{2m} ) × m \\&= \frac{m^2 + n^2 - 2mn}{2m} × m \\&= \frac{(m-n)^2}{2m} × m \\&= \frac{(m-n)^2}{2}\end{aligned}$
将$m - n = \sqrt{5}$代入化简后的式子：
$\mathrm{原式} = \frac{(\sqrt{5})^2}{2} = \frac{5}{2}$
【答案】
D
【知识点】
分式的化简求值、完全平方公式、整体代入思想
【点评】
本题考查代数式的化简求值，核心解题技巧是先化简再整体代入已知条件，能大幅降低计算量，解题时需熟练掌握分式的运算规则和完全平方公式的变形应用。
【难度系数】
0.7
本题是分式化简求值类题目，直接代入m、n的具体值计算复杂度较高，因此优先采用“先化简，再求值”的思路。第一步先处理括号内的分式运算，通过通分将括号内的两项合并，再将除法转化为乘法进行约分，化简后可以发现代数式能用含m-n的式子表示，最后将已知条件m-n=√5整体代入计算即可得到结果。
【解析】
先对代数式进行化简：
$\begin{aligned}( \frac{m^2 + n^2}{2m} - n ) ÷ \frac{1}{m} &= ( \frac{m^2 + n^2}{2m} - \frac{2mn}{2m} ) × m \\&= \frac{m^2 + n^2 - 2mn}{2m} × m \\&= \frac{(m-n)^2}{2m} × m \\&= \frac{(m-n)^2}{2}\end{aligned}$
将$m - n = \sqrt{5}$代入化简后的式子：
$\mathrm{原式} = \frac{(\sqrt{5})^2}{2} = \frac{5}{2}$
【答案】
D
【知识点】
分式的化简求值、完全平方公式、整体代入思想
【点评】
本题考查代数式的化简求值，核心解题技巧是先化简再整体代入已知条件，能大幅降低计算量，解题时需熟练掌握分式的运算规则和完全平方公式的变形应用。
【难度系数】
0.7
5.在一节数学课上，张老师在黑板上写了一个正确的等式，随后用手遮住了原等式的一部分：（$\boldsymbol{手}$ - $\frac{x^2 -1}{x^2 -2x +1}$）÷$\frac{x}{x+1}$ = $\frac{x+1}{x-1}$，则被遮住的部分是（
A.$\frac{x-1}{2x+1}$
B.$\frac{2x-1}{x-1}$
C.$\frac{x-1}{2x-1}$
D.$\frac{2x+1}{x-1}$
D
）A.$\frac{x-1}{2x+1}$
B.$\frac{2x-1}{x-1}$
C.$\frac{x-1}{2x-1}$
D.$\frac{2x+1}{x-1}$
答案
D
解析
【分析】
本题属于已知等式运算结果和部分代数式、求未知部分的题型，可采用逆推法求解：首先设被遮住的部分为$A$，根据等式的基本性质将$A$单独分离到等式一侧，再对另一侧的分式进行因式分解、约分、合并化简，最终得到$A$的表达式匹配选项即可。解题时先对可因式分解的分式做因式分解，能简化运算步骤。
【解析】
设被手遮住的部分为$A$，根据原等式可得：
$(A - \frac{x^2 -1}{x^2 -2x +1}) ÷ \frac{x}{x+1} = \frac{x+1}{x-1}$
根据等式性质，两边同时乘$\frac{x}{x+1}$，得：
$A - \frac{x^2 -1}{x^2 -2x +1} = \frac{x+1}{x-1} × \frac{x}{x+1}$
对右侧乘法运算化简，约去公因式$x+1$，得：
$A - \frac{x^2 -1}{x^2 -2x +1} = \frac{x}{x-1}$
再对左侧分式因式分解：$x^2-1=(x+1)(x-1)$，$x^2-2x+1=(x-1)^2$，约去公因式$x-1$得$\frac{x^2 -1}{x^2 -2x +1}=\frac{x+1}{x-1}$，代入上式：
$A - \frac{x+1}{x-1} = \frac{x}{x-1}$
移项得：
$A = \frac{x}{x-1} + \frac{x+1}{x-1}$
同分母分式相加，分母不变、分子相加：
$A = \frac{x + x + 1}{x-1} = \frac{2x+1}{x-1}$
【答案】
D
【知识点】
分式的混合运算，因式分解，等式的基本性质
【点评】
本题核心考查分式运算的逆用，解题关键是通过等式性质分离未知项，再结合因式分解和约分简化运算，计算过程中要注意分式有意义的隐含条件，避免运算错误。
【难度系数】
0.7
本题属于已知等式运算结果和部分代数式、求未知部分的题型，可采用逆推法求解：首先设被遮住的部分为$A$，根据等式的基本性质将$A$单独分离到等式一侧，再对另一侧的分式进行因式分解、约分、合并化简，最终得到$A$的表达式匹配选项即可。解题时先对可因式分解的分式做因式分解，能简化运算步骤。
【解析】
设被手遮住的部分为$A$，根据原等式可得：
$(A - \frac{x^2 -1}{x^2 -2x +1}) ÷ \frac{x}{x+1} = \frac{x+1}{x-1}$
根据等式性质，两边同时乘$\frac{x}{x+1}$，得：
$A - \frac{x^2 -1}{x^2 -2x +1} = \frac{x+1}{x-1} × \frac{x}{x+1}$
对右侧乘法运算化简，约去公因式$x+1$，得：
$A - \frac{x^2 -1}{x^2 -2x +1} = \frac{x}{x-1}$
再对左侧分式因式分解：$x^2-1=(x+1)(x-1)$，$x^2-2x+1=(x-1)^2$，约去公因式$x-1$得$\frac{x^2 -1}{x^2 -2x +1}=\frac{x+1}{x-1}$，代入上式：
$A - \frac{x+1}{x-1} = \frac{x}{x-1}$
移项得：
$A = \frac{x}{x-1} + \frac{x+1}{x-1}$
同分母分式相加，分母不变、分子相加：
$A = \frac{x + x + 1}{x-1} = \frac{2x+1}{x-1}$
【答案】
D
【知识点】
分式的混合运算，因式分解，等式的基本性质
【点评】
本题核心考查分式运算的逆用，解题关键是通过等式性质分离未知项，再结合因式分解和约分简化运算，计算过程中要注意分式有意义的隐含条件，避免运算错误。
【难度系数】
0.7
6.计算：$1-\dfrac{a-b}{a+b}=$
$\frac{2b}{a+b}$
。答案
$\frac{2b}{a+b}$
解析
【分析】
本题是分式减法运算，解题思路如下：首先观察到算式中包含整数1和分式$\dfrac{a-b}{a+b}$，属于异分母分式相减，需要先通分，将1转化为分母为$a+b$的分式，使两个分式分母相同；再根据同分母分式加减法法则，分母不变，分子相减；最后对分子去括号、合并同类项化简即可得到结果，计算时要注意去括号的符号规则。
【解析】
解：$1-\dfrac{a-b}{a+b}$
$=\dfrac{a+b}{a+b}-\dfrac{a-b}{a+b}$
$=\dfrac{(a+b)-(a-b)}{a+b}$
$=\dfrac{a+b -a +b}{a+b}$
$=\dfrac{2b}{a+b}$
【答案】
$\dfrac{2b}{a+b}$
【知识点】
分式加减运算，通分，去括号法则
【点评】
本题属于分式运算的基础题型，核心是掌握异分母分式加减先通分的原则，计算过程中需格外注意去括号时的符号变化，避免因符号错误失分。
【难度系数】
0.8
本题是分式减法运算，解题思路如下：首先观察到算式中包含整数1和分式$\dfrac{a-b}{a+b}$，属于异分母分式相减，需要先通分，将1转化为分母为$a+b$的分式，使两个分式分母相同；再根据同分母分式加减法法则，分母不变，分子相减；最后对分子去括号、合并同类项化简即可得到结果，计算时要注意去括号的符号规则。
【解析】
解：$1-\dfrac{a-b}{a+b}$
$=\dfrac{a+b}{a+b}-\dfrac{a-b}{a+b}$
$=\dfrac{(a+b)-(a-b)}{a+b}$
$=\dfrac{a+b -a +b}{a+b}$
$=\dfrac{2b}{a+b}$
【答案】
$\dfrac{2b}{a+b}$
【知识点】
分式加减运算，通分，去括号法则
【点评】
本题属于分式运算的基础题型，核心是掌握异分母分式加减先通分的原则，计算过程中需格外注意去括号时的符号变化，避免因符号错误失分。
【难度系数】
0.8
7.计算：$\dfrac{x^2 - 2x + 1}{x^2 - 1} ÷ (1 - \dfrac{2}{x + 1}) =$
1
。答案
1
解析
【分析】
本题属于分式混合运算题，解题思路为：①先遵循运算顺序，计算括号内的分式减法，通分后合并得到最简结果；②将分式除法转化为分式乘法运算；③对除号前后的分式的分子、分母分别进行因式分解，最后通过约分化简得到最终结果。
【解析】
解：先计算括号内的减法：
$1 - \dfrac{2}{x + 1} = \dfrac{x + 1}{x + 1} - \dfrac{2}{x + 1} = \dfrac{x + 1 - 2}{x + 1} = \dfrac{x - 1}{x + 1}$
再对第一个分式的分子分母因式分解：
分子$x^2 - 2x + 1 = (x - 1)^2$，分母$x^2 - 1 = (x + 1)(x - 1)$
将除法转化为乘法，原式可改写为：
$\dfrac{(x - 1)^2}{(x + 1)(x - 1)} × \dfrac{x + 1}{x - 1}$
约分后计算得：
$\dfrac{(x - 1)^2 · (x + 1)}{(x + 1)(x - 1) · (x - 1)} = 1$
【答案】
1
【知识点】
分式混合运算，因式分解，分式约分
【点评】
本题是分式运算的基础常规题型，核心考察运算顺序和因式分解的熟练应用，计算时要注意先处理括号内的运算，将除法转化为乘法后再约分，可有效降低运算出错概率。
【难度系数】
0.8
本题属于分式混合运算题，解题思路为：①先遵循运算顺序，计算括号内的分式减法，通分后合并得到最简结果；②将分式除法转化为分式乘法运算；③对除号前后的分式的分子、分母分别进行因式分解，最后通过约分化简得到最终结果。
【解析】
解：先计算括号内的减法：
$1 - \dfrac{2}{x + 1} = \dfrac{x + 1}{x + 1} - \dfrac{2}{x + 1} = \dfrac{x + 1 - 2}{x + 1} = \dfrac{x - 1}{x + 1}$
再对第一个分式的分子分母因式分解：
分子$x^2 - 2x + 1 = (x - 1)^2$，分母$x^2 - 1 = (x + 1)(x - 1)$
将除法转化为乘法，原式可改写为：
$\dfrac{(x - 1)^2}{(x + 1)(x - 1)} × \dfrac{x + 1}{x - 1}$
约分后计算得：
$\dfrac{(x - 1)^2 · (x + 1)}{(x + 1)(x - 1) · (x - 1)} = 1$
【答案】
1
【知识点】
分式混合运算，因式分解，分式约分
【点评】
本题是分式运算的基础常规题型，核心考察运算顺序和因式分解的熟练应用，计算时要注意先处理括号内的运算，将除法转化为乘法后再约分，可有效降低运算出错概率。
【难度系数】
0.8
8. 若$\dfrac{3x - 4}{(x - 1)(x - 2)} = \dfrac{K}{x - 1} + \dfrac{2K}{x - 2}$，则$K =$
1
。答案
1
解析
【分析】
解题思路如下：首先利用分式加减的通分法则，将等式右侧的两个异分母分式转化为和左侧分母相同的分式；因为分式相等且分母相同（分母不为0）时，分子必然相等，再将右侧通分后的分子展开整理，最后根据多项式相等时对应项系数相等的性质，即可列等式求出K的值。
【解析】
第一步：对等式右侧的两个分式通分，通分后公分母为$(x-1)(x-2)$：
$\dfrac{K}{x-1} + \dfrac{2K}{x-2} = \dfrac{K(x-2) + 2K(x-1)}{(x-1)(x-2)}$
第二步：展开并整理右侧分子：
$K(x-2) + 2K(x-1) = Kx - 2K + 2Kx - 2K = 3Kx - 4K$
第三步：利用分式相等的性质，左右两侧分母相同则分子相等，可得：
$3x - 4 = 3Kx - 4K$
第四步：根据多项式相等对应系数相等，得：
x项系数：$3 = 3K$，解得$K=1$
常数项：$-4 = -4K$，解得$K=1$，验证结果一致。
【答案】
1
【知识点】
分式通分；分式相等性质；多项式相等条件
【点评】
本题属于分式运算的基础题型，解题核心是通过通分将异分母分式转化为同分母分式，再利用同分母分式相等时分子相等的性质建立关系求解，熟练掌握分式通分规则和等式性质即可快速解答。
【难度系数】
0.8
解题思路如下：首先利用分式加减的通分法则，将等式右侧的两个异分母分式转化为和左侧分母相同的分式；因为分式相等且分母相同（分母不为0）时，分子必然相等，再将右侧通分后的分子展开整理，最后根据多项式相等时对应项系数相等的性质，即可列等式求出K的值。
【解析】
第一步：对等式右侧的两个分式通分，通分后公分母为$(x-1)(x-2)$：
$\dfrac{K}{x-1} + \dfrac{2K}{x-2} = \dfrac{K(x-2) + 2K(x-1)}{(x-1)(x-2)}$
第二步：展开并整理右侧分子：
$K(x-2) + 2K(x-1) = Kx - 2K + 2Kx - 2K = 3Kx - 4K$
第三步：利用分式相等的性质，左右两侧分母相同则分子相等，可得：
$3x - 4 = 3Kx - 4K$
第四步：根据多项式相等对应系数相等，得：
x项系数：$3 = 3K$，解得$K=1$
常数项：$-4 = -4K$，解得$K=1$，验证结果一致。
【答案】
1
【知识点】
分式通分；分式相等性质；多项式相等条件
【点评】
本题属于分式运算的基础题型，解题核心是通过通分将异分母分式转化为同分母分式，再利用同分母分式相等时分子相等的性质建立关系求解，熟练掌握分式通分规则和等式性质即可快速解答。
【难度系数】
0.8
9.先化简，再求值：
$(\frac{a-2}{a^2+2a} - \frac{a-1}{a^2+4a+4}) ÷ \frac{a-4}{a+2}$，其中$a$是满足$|a-3|=3-a$的最大整数。
$(\frac{a-2}{a^2+2a} - \frac{a-1}{a^2+4a+4}) ÷ \frac{a-4}{a+2}$，其中$a$是满足$|a-3|=3-a$的最大整数。
答案
9.解:原式$=[\frac{a-2}{a(a+2)}-\frac{a-1}{(a+2)^2}]·\frac{a+2}{a-4}$
$=[\frac{(a-2)(a+2)}{a(a+2)^2}-\frac{a(a-1)}{a(a+2)^2}]·\frac{a+2}{a-4}$
$=\frac{a^2-4-a^2+a}{a(a+2)^2}·\frac{a+2}{a-4}$
$=\frac{a-4}{a(a+2)^2}·\frac{a+2}{a-4}$
$=\frac{1}{a(a+2)}$
$=\frac{1}{a^2+2a}。$
$\because a$ 是满足$|a-3|=3-a$ 的最大整数，
$\therefore 3-a≥0,\therefore a≤3。\therefore a=3,$
当$a=3$时,原式$=\frac{1}{9+6}=\frac{1}{15}。$
$=[\frac{(a-2)(a+2)}{a(a+2)^2}-\frac{a(a-1)}{a(a+2)^2}]·\frac{a+2}{a-4}$
$=\frac{a^2-4-a^2+a}{a(a+2)^2}·\frac{a+2}{a-4}$
$=\frac{a-4}{a(a+2)^2}·\frac{a+2}{a-4}$
$=\frac{1}{a(a+2)}$
$=\frac{1}{a^2+2a}。$
$\because a$ 是满足$|a-3|=3-a$ 的最大整数，
$\therefore 3-a≥0,\therefore a≤3。\therefore a=3,$
当$a=3$时,原式$=\frac{1}{9+6}=\frac{1}{15}。$
解析
【分析】
本题为分式化简求值类综合题，解题思路分为两步：第一步化简分式：先将除法转化为乘法，再对括号内分式的分母因式分解，找到最简公分母通分后计算减法，最后约分得到最简结果；第二步确定a的取值：根据绝对值的性质，若$\vert x\vert=-x$则$x≤0$，可推出$a≤3$，找到满足条件的最大整数，同时验证该数值使原分式所有分母不为0，最后代入最简式计算即可。
【解析】
原式$=[\frac{a-2}{a(a+2)}-\frac{a-1}{(a+2)^2}]·\frac{a+2}{a-4}$
$=[\frac{(a-2)(a+2)}{a(a+2)^2}-\frac{a(a-1)}{a(a+2)^2}]·\frac{a+2}{a-4}$
$=\frac{a^2-4-a^2+a}{a(a+2)^2}·\frac{a+2}{a-4}$
$=\frac{a-4}{a(a+2)^2}·\frac{a+2}{a-4}$
$=\frac{1}{a(a+2)}=\frac{1}{a^2+2a}$
$\because a$是满足$\vert a-3\vert=3-a$的最大整数，$\therefore 3-a≥0$，即$a≤3$，则满足条件的最大整数$a=3$。
将$a=3$代入最简式，得原式$=\frac{1}{3^2+2×3}=\frac{1}{15}$。
【答案】
$\frac{1}{15}$
【知识点】
分式的混合运算，绝对值的性质，代数式求值
【点评】
本题综合考查了分式运算和绝对值的性质，是分式章节的常见典型题，解题时要注意先化简再代入，同时代入的数值必须保证原分式所有分母不为0，熟练掌握通分、约分的运算法则是解题的核心。
【难度系数】
0.7
本题为分式化简求值类综合题，解题思路分为两步：第一步化简分式：先将除法转化为乘法，再对括号内分式的分母因式分解，找到最简公分母通分后计算减法，最后约分得到最简结果；第二步确定a的取值：根据绝对值的性质，若$\vert x\vert=-x$则$x≤0$，可推出$a≤3$，找到满足条件的最大整数，同时验证该数值使原分式所有分母不为0，最后代入最简式计算即可。
【解析】
原式$=[\frac{a-2}{a(a+2)}-\frac{a-1}{(a+2)^2}]·\frac{a+2}{a-4}$
$=[\frac{(a-2)(a+2)}{a(a+2)^2}-\frac{a(a-1)}{a(a+2)^2}]·\frac{a+2}{a-4}$
$=\frac{a^2-4-a^2+a}{a(a+2)^2}·\frac{a+2}{a-4}$
$=\frac{a-4}{a(a+2)^2}·\frac{a+2}{a-4}$
$=\frac{1}{a(a+2)}=\frac{1}{a^2+2a}$
$\because a$是满足$\vert a-3\vert=3-a$的最大整数，$\therefore 3-a≥0$，即$a≤3$，则满足条件的最大整数$a=3$。
将$a=3$代入最简式，得原式$=\frac{1}{3^2+2×3}=\frac{1}{15}$。
【答案】
$\frac{1}{15}$
【知识点】
分式的混合运算，绝对值的性质，代数式求值
【点评】
本题综合考查了分式运算和绝对值的性质，是分式章节的常见典型题，解题时要注意先化简再代入，同时代入的数值必须保证原分式所有分母不为0，熟练掌握通分、约分的运算法则是解题的核心。
【难度系数】
0.7
10. 已知$\frac{A}{x-1} - \frac{B}{2-x} = \frac{2x-6}{(x-1)(x-2)}$，求A，B的值。
答案
10.解:$\frac{A}{x-1}-\frac{B}{2-x}=\frac{A(x-2)+B(x-1)}{(x-1)(x-2)}$
$=\frac{(A+B)x-2A-B}{(x-1)(x-2)}=\frac{2x-6}{(x-1)(x-2)}$
$\therefore \begin{cases} A+B=2, \\ -2A-B=-6, \end{cases}$ 解得$\begin{cases} A=4, \\ B=-2。 \end{cases}$
$=\frac{(A+B)x-2A-B}{(x-1)(x-2)}=\frac{2x-6}{(x-1)(x-2)}$
$\therefore \begin{cases} A+B=2, \\ -2A-B=-6, \end{cases}$ 解得$\begin{cases} A=4, \\ B=-2。 \end{cases}$
解析
【分析】
解题时先观察等式两边的分母，右侧分母是左侧两个分式分母的最简公分母，因此第一步先将左侧异分母分式通分为同分母分式，注意处理第二个分母2-x的符号（2-x=-(x-2)）；再将左侧通分后的分子展开、合并同类项；根据同分母分式相等时分子恒等的性质，分子中x的一次项系数、常数项分别对应相等，即可列出关于A、B的二元一次方程组，解方程组就能求出A、B的值。
【解析】
解：对左侧分式通分变形：
$\frac{A}{x-1} - \frac{B}{2-x} = \frac{A}{x-1} + \frac{B}{x-2} = \frac{A(x-2)+B(x-1)}{(x-1)(x-2)}$
将分子展开合并同类项：
$\frac{A(x-2)+B(x-1)}{(x-1)(x-2)}=\frac{(A+B)x-2A-B}{(x-1)(x-2)}$
已知等式右侧为$\frac{2x-6}{(x-1)(x-2)}$，同分母分式相等则分子对应系数相等，可得方程组：
$\begin{cases} A+B=2 \\ -2A-B=-6 \end{cases}$
两式相加得$-A=-4$，即$A=4$，将$A=4$代入$A+B=2$，解得$B=-2$。
【答案】
$\begin{cases} A=4 \\ B=-2 \end{cases}$
【知识点】
分式通分，多项式恒等，解二元一次方程组
【点评】
本题是分式运算与二元一次方程组结合的基础题型，核心考查同分母分式相等的性质，解题时要格外注意通分过程中分母变号的符号问题，熟练掌握利用对应系数相等列方程组的方法。
【难度系数】
0.75
解题时先观察等式两边的分母，右侧分母是左侧两个分式分母的最简公分母，因此第一步先将左侧异分母分式通分为同分母分式，注意处理第二个分母2-x的符号（2-x=-(x-2)）；再将左侧通分后的分子展开、合并同类项；根据同分母分式相等时分子恒等的性质，分子中x的一次项系数、常数项分别对应相等，即可列出关于A、B的二元一次方程组，解方程组就能求出A、B的值。
【解析】
解：对左侧分式通分变形：
$\frac{A}{x-1} - \frac{B}{2-x} = \frac{A}{x-1} + \frac{B}{x-2} = \frac{A(x-2)+B(x-1)}{(x-1)(x-2)}$
将分子展开合并同类项：
$\frac{A(x-2)+B(x-1)}{(x-1)(x-2)}=\frac{(A+B)x-2A-B}{(x-1)(x-2)}$
已知等式右侧为$\frac{2x-6}{(x-1)(x-2)}$，同分母分式相等则分子对应系数相等，可得方程组：
$\begin{cases} A+B=2 \\ -2A-B=-6 \end{cases}$
两式相加得$-A=-4$，即$A=4$，将$A=4$代入$A+B=2$，解得$B=-2$。
【答案】
$\begin{cases} A=4 \\ B=-2 \end{cases}$
【知识点】
分式通分，多项式恒等，解二元一次方程组
【点评】
本题是分式运算与二元一次方程组结合的基础题型，核心考查同分母分式相等的性质，解题时要格外注意通分过程中分母变号的符号问题，熟练掌握利用对应系数相等列方程组的方法。
【难度系数】
0.75
