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1.如图,将三角形纸片ABC沿EF折叠,点C恰好与$△ ABC$的内心I重合,若$∠ ACB=40°$,则$∠ EIA+∠ FIB=$（
A.$210°$
B.$220°$
C.$230°$
D.$240°$
A
）A.$210°$
B.$220°$
C.$230°$
D.$240°$
答案
1.A
解析
【分析】
解题可按三步推导：第一步，先根据三角形内角和定理，求出△ABC中另外两个内角的和；第二步，利用三角形内心是内角角平分线交点的性质，计算出∠AIB的度数；第三步，根据折叠前后对应角相等得到∠EIF的度数，最后结合周角为360°的性质，即可求出∠EIA+∠FIB的度数。
【解析】
1. 在△ABC中，已知∠ACB=40°，由三角形内角和为180°可得：
$∠ CAB + ∠ CBA = 180° - ∠ ACB = 180° - 40° = 140°$
2.
∵I是△ABC的内心，即AI平分∠CAB，BI平分∠CBA
∴$∠ IAB = \frac{1}{2}∠ CAB$，$∠ IBA = \frac{1}{2}∠ CBA$
∴$∠ IAB + ∠ IBA = \frac{1}{2}(∠ CAB + ∠ CBA) = \frac{1}{2} × 140° = 70°$
3. 在△AIB中，由内角和定理得：
$∠ AIB = 180° - (∠ IAB + ∠ IBA) = 180° - 70° = 110°$
4. 由折叠的性质可知，折叠前后对应角相等，故$∠ EIF = ∠ ACB = 40°$
5. 围绕点I的四个角之和为周角$360°$，即：
$∠ EIA + ∠ AIB + ∠ FIB + ∠ EIF = 360°$
代入已知角度计算：
$∠ EIA + ∠ FIB = 360° - 110° - 40° = 210°$
【答案】
A
【知识点】
三角形内心的性质，折叠的性质，三角形内角和定理
【点评】
本题综合考查了三角形内心、折叠的相关性质以及内角和的应用，解题的关键是准确求出∠AIB的度数，再结合周角的性质计算，属于基础性质的综合应用题。
【难度系数】
0.7
解题可按三步推导：第一步，先根据三角形内角和定理，求出△ABC中另外两个内角的和；第二步，利用三角形内心是内角角平分线交点的性质，计算出∠AIB的度数；第三步，根据折叠前后对应角相等得到∠EIF的度数，最后结合周角为360°的性质，即可求出∠EIA+∠FIB的度数。
【解析】
1. 在△ABC中，已知∠ACB=40°，由三角形内角和为180°可得：
$∠ CAB + ∠ CBA = 180° - ∠ ACB = 180° - 40° = 140°$
2.
∵I是△ABC的内心，即AI平分∠CAB，BI平分∠CBA
∴$∠ IAB = \frac{1}{2}∠ CAB$，$∠ IBA = \frac{1}{2}∠ CBA$
∴$∠ IAB + ∠ IBA = \frac{1}{2}(∠ CAB + ∠ CBA) = \frac{1}{2} × 140° = 70°$
3. 在△AIB中，由内角和定理得：
$∠ AIB = 180° - (∠ IAB + ∠ IBA) = 180° - 70° = 110°$
4. 由折叠的性质可知，折叠前后对应角相等，故$∠ EIF = ∠ ACB = 40°$
5. 围绕点I的四个角之和为周角$360°$，即：
$∠ EIA + ∠ AIB + ∠ FIB + ∠ EIF = 360°$
代入已知角度计算：
$∠ EIA + ∠ FIB = 360° - 110° - 40° = 210°$
【答案】
A
【知识点】
三角形内心的性质，折叠的性质，三角形内角和定理
【点评】
本题综合考查了三角形内心、折叠的相关性质以及内角和的应用，解题的关键是准确求出∠AIB的度数，再结合周角的性质计算，属于基础性质的综合应用题。
【难度系数】
0.7
2.如图，$△ ABC$是一张周长为24 cm的三角形纸片，$BC=7\ \mathrm{cm}$，$\odot O$是它的内切圆，小明准备用剪刀在$\odot O$的右侧沿着与$\odot O$相切的任意一条直线$MN$剪下$△ AMN$，则剪下的三角形的周长为（
A.12 cm
B.11 cm
C.10 cm
D.9 cm
C
）A.12 cm
B.11 cm
C.10 cm
D.9 cm
答案
2.C
解析
【分析】
解题时首先运用切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，切线长度相等。首先计算出AB与AC的长度和，再通过切线长相等的性质，将△AMN的各边转化为AB、AC边上对应切线长的和，最终推导得到△AMN的周长。
【解析】
设△ABC的内切圆分别切AB于点D，切AC于点F，切MN于点G，切BC于点E。
根据切线长定理可得：
$BD=BE$，$CE=CF$，$AD=AF$，$MD=MG$，$NF=NG$。
已知△ABC周长为24 cm，$BC=7\ \mathrm{cm}$，因此$AB+AC=24-BC=24-7=17\ \mathrm{cm}$。
又$BD+CF=BE+CE=BC=7\ \mathrm{cm}$，因此：
$AD+AF=(AB-BD)+(AC-CF)=(AB+AC)-(BD+CF)=17-7=10\ \mathrm{cm}$。
△AMN的周长为：
$\begin{aligned}C_{△ AMN}&=AM+AN+MN\\&=AM+AN+MG+NG\\&=AM+AN+MD+NF\\&=(AM+MD)+(AN+NF)\\&=AD+AF\\&=10\ \mathrm{cm}\end{aligned}$
【答案】
C
【知识点】
切线长定理；三角形内切圆性质；周长计算
【点评】
本题是三角形内切圆的典型应用题目，核心是通过切线长相等的性质对所求三角形的周长进行转化，不需要计算各边具体长度即可求解，解题时要注意对线段的合理拆分与重组。
【难度系数】
0.7
解题时首先运用切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，切线长度相等。首先计算出AB与AC的长度和，再通过切线长相等的性质，将△AMN的各边转化为AB、AC边上对应切线长的和，最终推导得到△AMN的周长。
【解析】
设△ABC的内切圆分别切AB于点D，切AC于点F，切MN于点G，切BC于点E。
根据切线长定理可得：
$BD=BE$，$CE=CF$，$AD=AF$，$MD=MG$，$NF=NG$。
已知△ABC周长为24 cm，$BC=7\ \mathrm{cm}$，因此$AB+AC=24-BC=24-7=17\ \mathrm{cm}$。
又$BD+CF=BE+CE=BC=7\ \mathrm{cm}$，因此：
$AD+AF=(AB-BD)+(AC-CF)=(AB+AC)-(BD+CF)=17-7=10\ \mathrm{cm}$。
△AMN的周长为：
$\begin{aligned}C_{△ AMN}&=AM+AN+MN\\&=AM+AN+MG+NG\\&=AM+AN+MD+NF\\&=(AM+MD)+(AN+NF)\\&=AD+AF\\&=10\ \mathrm{cm}\end{aligned}$
【答案】
C
【知识点】
切线长定理；三角形内切圆性质；周长计算
【点评】
本题是三角形内切圆的典型应用题目，核心是通过切线长相等的性质对所求三角形的周长进行转化，不需要计算各边具体长度即可求解，解题时要注意对线段的合理拆分与重组。
【难度系数】
0.7
3.如图,在$△ ABC$中,$∠ ACB=90°$,$AB=17$,$\odot O$与$△ ABC$的三边分别相切于点$D$,$E$,$F$,且$OD=3$,则$△ ABC$的面积是 (
A.30
B.40
C.50
D.60
D
)A.30
B.40
C.50
D.60
答案
3.D
解析
【分析】
首先观察图形可知⊙O是Rt△ABC的内切圆，OD是内切圆的半径，即r=3。解题思路如下：第一步，回忆直角三角形内切圆半径公式：r=(两直角边的和 - 斜边)/2，代入已知的r和斜边AB的长度，可求出两直角边的和；第二步，结合勾股定理，利用完全平方公式变形求出两直角边的乘积，即可得到三角形的面积；也可以直接利用三角形面积与内切圆半径的关系：$S=\frac{1}{2}×三角形周长×r$，结合第一步求出的两直角边的和计算周长，直接求出面积。
【解析】
解：
∵⊙O是△ABC的内切圆，切点为D、E、F，
∴内切圆半径$r=OD=OE=OF=3$，
根据直角三角形内切圆半径公式：$r=\frac{AC+BC-AB}{2}$，
代入$r=3$，$AB=17$，得：
$3=\frac{AC+BC-17}{2}$，
解得：$AC+BC=23$，
又
∵∠ACB=90°，由勾股定理得：$AC^2+BC^2=AB^2=17^2=289$，
对$AC+BC=23$两边平方得：$(AC+BC)^2=AC^2+2AC· BC+BC^2=23^2=529$，
将$AC^2+BC^2=289$代入上式得：$289 + 2AC· BC=529$，
解得：$AC· BC=120$，
∴$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}AC· BC=\frac{1}{2}×120=60$。
【答案】
D
【知识点】
三角形的内切圆，切线长定理，勾股定理
【点评】
本题是三角形内切圆的典型应用题目，解题的关键是熟记直角三角形内切圆半径公式，或掌握三角形面积与内切圆半径的关系，结合勾股定理即可快速求解，考查了对基础公式的灵活运用能力。
【难度系数】
0.7
首先观察图形可知⊙O是Rt△ABC的内切圆，OD是内切圆的半径，即r=3。解题思路如下：第一步，回忆直角三角形内切圆半径公式：r=(两直角边的和 - 斜边)/2，代入已知的r和斜边AB的长度，可求出两直角边的和；第二步，结合勾股定理，利用完全平方公式变形求出两直角边的乘积，即可得到三角形的面积；也可以直接利用三角形面积与内切圆半径的关系：$S=\frac{1}{2}×三角形周长×r$，结合第一步求出的两直角边的和计算周长，直接求出面积。
【解析】
解：
∵⊙O是△ABC的内切圆，切点为D、E、F，
∴内切圆半径$r=OD=OE=OF=3$，
根据直角三角形内切圆半径公式：$r=\frac{AC+BC-AB}{2}$，
代入$r=3$，$AB=17$，得：
$3=\frac{AC+BC-17}{2}$，
解得：$AC+BC=23$，
又
∵∠ACB=90°，由勾股定理得：$AC^2+BC^2=AB^2=17^2=289$，
对$AC+BC=23$两边平方得：$(AC+BC)^2=AC^2+2AC· BC+BC^2=23^2=529$，
将$AC^2+BC^2=289$代入上式得：$289 + 2AC· BC=529$，
解得：$AC· BC=120$，
∴$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}AC· BC=\frac{1}{2}×120=60$。
【答案】
D
【知识点】
三角形的内切圆，切线长定理，勾股定理
【点评】
本题是三角形内切圆的典型应用题目，解题的关键是熟记直角三角形内切圆半径公式，或掌握三角形面积与内切圆半径的关系，结合勾股定理即可快速求解，考查了对基础公式的灵活运用能力。
【难度系数】
0.7
4.如图，$\odot O$为$△ ABC$的外接圆，其中$∠ B=50°$,点$I$为$△ ABC$的内心,连接$AI$并延长交$\odot O$于点$D$,连接$IC$,$CD$,则$∠ ICD=$
$65°$
. 答案
4.$65°$
解析
【分析】
要求∠ICD的度数，可将其拆分为∠BCD与∠BCI的和进行求解：首先，三角形的内心是三条角平分线的交点，因此AI平分∠BAC、CI平分∠ACB，可得∠BAD是∠BAC的一半、∠BCI是∠ACB的一半；其次，根据同弧所对的圆周角相等，可得∠BCD=∠BAD，因此∠ICD可转化为∠BAC与∠ACB和的一半；最后结合三角形内角和定理，求出∠BAC+∠ACB的度数即可得到答案。
【解析】
解：
∵点I是△ABC的内心，
∴AI平分∠BAC，CI平分∠ACB，
∴$∠ BAD=\frac{1}{2}∠ BAC$，$∠ BCI=\frac{1}{2}∠ ACB$，
∵$∠ BAD$和$∠ BCD$都是弧BD所对的圆周角，
∴$∠ BCD=∠ BAD=\frac{1}{2}∠ BAC$，
∴$∠ ICD=∠ BCD+∠ BCI=\frac{1}{2}∠ BAC+\frac{1}{2}∠ ACB=\frac{1}{2}(∠ BAC+∠ ACB)$，
在△ABC中，$∠ BAC+∠ ACB=180°-∠ B=180°-50°=130°$，
∴$∠ ICD=\frac{1}{2}×130°=65°$。
【答案】
$65°$
【知识点】
1.三角形内心的性质
2.圆周角定理
3.三角形内角和定理
【点评】
本题是圆与三角形结合的常考题型，解题的关键是利用角平分线性质和圆周角定理，将所求角转化为三角形两个内角和的一半，再结合内角和定理计算，整体思路灵活，考察学生对基础性质的综合运用能力。
【难度系数】
0.6
要求∠ICD的度数，可将其拆分为∠BCD与∠BCI的和进行求解：首先，三角形的内心是三条角平分线的交点，因此AI平分∠BAC、CI平分∠ACB，可得∠BAD是∠BAC的一半、∠BCI是∠ACB的一半；其次，根据同弧所对的圆周角相等，可得∠BCD=∠BAD，因此∠ICD可转化为∠BAC与∠ACB和的一半；最后结合三角形内角和定理，求出∠BAC+∠ACB的度数即可得到答案。
【解析】
解：
∵点I是△ABC的内心，
∴AI平分∠BAC，CI平分∠ACB，
∴$∠ BAD=\frac{1}{2}∠ BAC$，$∠ BCI=\frac{1}{2}∠ ACB$，
∵$∠ BAD$和$∠ BCD$都是弧BD所对的圆周角，
∴$∠ BCD=∠ BAD=\frac{1}{2}∠ BAC$，
∴$∠ ICD=∠ BCD+∠ BCI=\frac{1}{2}∠ BAC+\frac{1}{2}∠ ACB=\frac{1}{2}(∠ BAC+∠ ACB)$，
在△ABC中，$∠ BAC+∠ ACB=180°-∠ B=180°-50°=130°$，
∴$∠ ICD=\frac{1}{2}×130°=65°$。
【答案】
$65°$
【知识点】
1.三角形内心的性质
2.圆周角定理
3.三角形内角和定理
【点评】
本题是圆与三角形结合的常考题型，解题的关键是利用角平分线性质和圆周角定理，将所求角转化为三角形两个内角和的一半，再结合内角和定理计算，整体思路灵活，考察学生对基础性质的综合运用能力。
【难度系数】
0.6
5.如图，已知$\odot O$是$\mathrm{Rt}△ ABC$的外接圆，点$D$是$\mathrm{Rt}△ ABC$的内心，$BD$的延长线与$\odot O$相交于点$E$，与$AC$相交于点$F$，连接$CE$，过点$E$作直线$l // AC$。
(1)求证：直线$l$是$\odot O$的切线。
(2)若$AB＝3$，$AC＝4$，求$CE$的长。
(1)求证：直线$l$是$\odot O$的切线。
(2)若$AB＝3$，$AC＝4$，求$CE$的长。
答案
5.(1)证明:连接$OE$交$AC$于点$G$,如图.
因为点$D$是$\mathrm{Rt}△ ABC$的内心，
所以$∠ ABE=∠ CBE$.
因为$OB=OE$,所以$∠ EBC=∠ OEB$,
所以$∠ ABE=∠ OEB$,
所以$AB// OE$,
所以$∠ BAC=∠ OGC=90°$.
因为$l// AC$,所以$OE⊥ l$.
因为$OE$为$\odot O$的半径，
所以直线$l$是$\odot O$的切线.
(2)解:$CE=\sqrt{5}$.
解析
【分析】
(1)要证直线l是⊙O的切线，根据切线判定定理，需证明l垂直于过切点的半径，因此优先连接OE。已知D是Rt△ABC的内心，内心是三角形角平分线的交点，可得BE平分∠ABC，结合OB=OE的等腰三角形性质，可推导角相等得到AB//OE，进而得到OE⊥AC，再结合l//AC的条件，即可推出OE⊥l，满足切线的判定要求。
(2)先在Rt△ABC中用勾股定理求出斜边BC的长度，得到⊙O的半径；由BE平分∠ABC可得弧AE=弧CE，即E是弧AC的中点，因此OE垂直平分AC，可得GC的长度，再利用三角形中位线性质求出OG的长度，进而得到EG的长度，最后在Rt△EGC中用勾股定理即可求出CE的长。
【解析】
(1)证明：连接$OE$交$AC$于点$G$，如图。
因为点$D$是$\mathrm{Rt}△ ABC$的内心，所以$BE$是$∠ ABC$的角平分线，即$∠ ABE=∠ CBE$。
因为$OB=OE$，均为$\odot O$的半径，所以$∠ EBC=∠ OEB$，因此$∠ ABE=∠ OEB$，可得$AB// OE$。
因为$\mathrm{Rt}△ ABC$中$∠ BAC=90°$，所以$∠ BAC=∠ OGC=90°$，即$OE⊥AC$。
又因为$l// AC$，所以$OE⊥ l$，且$OE$为$\odot O$的半径，因此直线$l$是$\odot O$的切线。
(2)解：在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ BAC=90°$，$AB=3$，$AC=4$，由勾股定理得：
$BC=\sqrt{AB^2+AC^2}=\sqrt{3^2+4^2}=5$，因此$\odot O$的半径$OE=\frac{5}{2}$。
因为$BE$平分$∠ ABC$，所以弧$AE=$弧$CE$，即$E$为弧$AC$的中点，因此$OE$垂直平分$AC$，可得$G$为$AC$中点，$GC=\frac{1}{2}AC=2$。
又因为$O$是$BC$的中点，所以$OG$是$△ABC$的中位线，$OG=\frac{1}{2}AB=\frac{3}{2}$。
因此$EG=OE-OG=\frac{5}{2}-\frac{3}{2}=1$。
在$\mathrm{Rt}△ EGC$中，由勾股定理得：
$CE=\sqrt{EG^2+GC^2}=\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{5}$。
【答案】
(1)证明:连接$OE$交$AC$于点$G$,如图.
因为点$D$是$\mathrm{Rt}△ ABC$的内心，
所以$∠ ABE=∠ CBE$.
因为$OB=OE$,所以$∠ EBC=∠ OEB$,
所以$∠ ABE=∠ OEB$,
所以$AB// OE$,
所以$∠ BAC=∠ OGC=90°$.
因为$l// AC$,所以$OE⊥ l$.
因为$OE$为$\odot O$的半径，
所以直线$l$是$\odot O$的切线.
(2)$CE=\sqrt{5}$
【知识点】
切线的判定，三角形内心的性质，勾股定理
【点评】
本题属于圆的综合基础题，结合了三角形内心、圆的切线判定、勾股定理、中位线等多个知识点考查，解题关键是正确作出辅助线，通过角的关系推导平行与垂直关系，再结合勾股定理计算线段长度，对提升几何综合分析能力有较好的训练作用。
【难度系数】
0.6
(1)要证直线l是⊙O的切线，根据切线判定定理，需证明l垂直于过切点的半径，因此优先连接OE。已知D是Rt△ABC的内心，内心是三角形角平分线的交点，可得BE平分∠ABC，结合OB=OE的等腰三角形性质，可推导角相等得到AB//OE，进而得到OE⊥AC，再结合l//AC的条件，即可推出OE⊥l，满足切线的判定要求。
(2)先在Rt△ABC中用勾股定理求出斜边BC的长度，得到⊙O的半径；由BE平分∠ABC可得弧AE=弧CE，即E是弧AC的中点，因此OE垂直平分AC，可得GC的长度，再利用三角形中位线性质求出OG的长度，进而得到EG的长度，最后在Rt△EGC中用勾股定理即可求出CE的长。
【解析】
(1)证明：连接$OE$交$AC$于点$G$，如图。
因为点$D$是$\mathrm{Rt}△ ABC$的内心，所以$BE$是$∠ ABC$的角平分线，即$∠ ABE=∠ CBE$。
因为$OB=OE$，均为$\odot O$的半径，所以$∠ EBC=∠ OEB$，因此$∠ ABE=∠ OEB$，可得$AB// OE$。
因为$\mathrm{Rt}△ ABC$中$∠ BAC=90°$，所以$∠ BAC=∠ OGC=90°$，即$OE⊥AC$。
又因为$l// AC$，所以$OE⊥ l$，且$OE$为$\odot O$的半径，因此直线$l$是$\odot O$的切线。
(2)解：在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ BAC=90°$，$AB=3$，$AC=4$，由勾股定理得：
$BC=\sqrt{AB^2+AC^2}=\sqrt{3^2+4^2}=5$，因此$\odot O$的半径$OE=\frac{5}{2}$。
因为$BE$平分$∠ ABC$，所以弧$AE=$弧$CE$，即$E$为弧$AC$的中点，因此$OE$垂直平分$AC$，可得$G$为$AC$中点，$GC=\frac{1}{2}AC=2$。
又因为$O$是$BC$的中点，所以$OG$是$△ABC$的中位线，$OG=\frac{1}{2}AB=\frac{3}{2}$。
因此$EG=OE-OG=\frac{5}{2}-\frac{3}{2}=1$。
在$\mathrm{Rt}△ EGC$中，由勾股定理得：
$CE=\sqrt{EG^2+GC^2}=\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{5}$。
【答案】
(1)证明:连接$OE$交$AC$于点$G$,如图.
因为点$D$是$\mathrm{Rt}△ ABC$的内心，
所以$∠ ABE=∠ CBE$.
因为$OB=OE$,所以$∠ EBC=∠ OEB$,
所以$∠ ABE=∠ OEB$,
所以$AB// OE$,
所以$∠ BAC=∠ OGC=90°$.
因为$l// AC$,所以$OE⊥ l$.
因为$OE$为$\odot O$的半径，
所以直线$l$是$\odot O$的切线.
(2)$CE=\sqrt{5}$
【知识点】
切线的判定，三角形内心的性质，勾股定理
【点评】
本题属于圆的综合基础题，结合了三角形内心、圆的切线判定、勾股定理、中位线等多个知识点考查，解题关键是正确作出辅助线，通过角的关系推导平行与垂直关系，再结合勾股定理计算线段长度，对提升几何综合分析能力有较好的训练作用。
【难度系数】
0.6
