【例2】如图，点I和O分别是△ABC的内心和外心，若∠AIB=125°，求∠AOB的度数.
解:

解:$∠ AOB=140°$.

【分析】
解题时先结合已知条件明确两个特殊点的性质：内心是三角形角平分线的交点，外心是三角形外接圆的圆心。第一步先利用三角形内角和定理，结合角平分线的性质，推导∠AIB与∠C的数量关系，代入已知∠AIB的度数求出∠C；第二步利用圆周角定理，同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，由∠C的度数求出∠AOB的度数即可。
【解析】
∵ 点I是△ABC的内心，
∴ AI平分∠CAB，BI平分∠CBA，
∴ $∠ IAB=\frac{1}{2}∠ CAB$，$∠ IBA=\frac{1}{2}∠ CBA$。
在$△ AIB$中，由三角形内角和为$180°$得：
$∠ AIB=180° - (∠ IAB+∠ IBA)=180° - \frac{1}{2}(∠ CAB+∠ CBA)$。
又
∵ 在$△ ABC$中，$∠ CAB+∠ CBA=180° - ∠ C$，
代入上式化简得：$∠ AIB=90° + \frac{1}{2}∠ C$。
已知$∠ AIB=125°$，代入得：
$125°=90° + \frac{1}{2}∠ C$，解得$∠ C=70°$。
∵ 点O是△ABC的外心，
∴ $∠ AOB$是弧AB所对的圆心角，$∠ C$是弧AB所对的圆周角，
根据圆周角定理：同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，
∴ $∠ AOB=2∠ C=2×70°=140°$。
【答案】
$∠ AOB=140°$
【知识点】
三角形内心的性质；三角形外心的性质；圆周角定理
【点评】
本题是三角形特殊点性质的基础综合题，解题关键是熟练掌握内心、外心的相关性质，能正确推导角之间的数量关系，结合圆周角定理完成求解。
【难度系数】
0.7

2.如图，AB是$\odot O$的直径，$△ ABC$内接于$\odot O$，点E是$△ ABC$的内心，CE的延长线与$\odot O$交于点D，F是$\overset{\frown}{BC}$上任意一点，连接AD，BD，BF，CF.
(1)若$∠ F＝110°$，求$∠ ABC$的度数.
(2)若$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{CF}$，$∠ BCF＝α$，$∠ F＝β$，请直接写出$α$与$β$的数量关系.
(3)找出图中所有与DE相等的线段，并证明.

2.解:(1)$∠ ABC=20°$.
(2)$α+2β=270°$.
(3)$AD=BD=DE$.证明如下：
如图,连接$AE$.

因为点$E$是$△ ABC$的内心，
所以$AE$平分$∠ CAB$,$CE$平分$∠ ACB$，
所以$∠ EAC=∠ EAB$,$∠ ACD=∠ BCD$.
因为 $∠ DAE = ∠ BAD + ∠ BAE$,
$∠ DEA = ∠ ACD + ∠ EAC$,$∠ DAB = ∠ DCB$,
所以$∠ DAE=∠ DEA$,$∠ DAB=∠ ACD$,
所以$AD=DE$.
因为$∠ ABD=∠ ACD$,
所以$∠ DAB=∠ ABD$,
所以$AD=BD$,所以$AD=BD=DE$.

【分析】
(1) 首先利用圆内接四边形对角互补的性质求出∠BAC的度数，再结合直径所对的圆周角为直角，在Rt△ABC中利用两锐角互余即可求出∠ABC的度数。
(2) 根据等弧对应的圆周角相等，结合圆内接四边形对角互补、直径所对圆周角为90°的性质，对角度进行转化推导，即可得到α和β的数量关系。
(3) 先连接AE，利用三角形内心是三条角平分线交点的性质得到两组相等的角，再结合圆周角定理和三角形外角的性质，证明∠DAE=∠DEA得到AD=DE，最后证明AD=BD，即可找出所有与DE相等的线段。
【解析】
(1)
∵四边形ABFC是⊙O的内接四边形，
∴$∠ BAC + ∠ F = 180°$，
已知$∠ F=110°$，
∴$∠ BAC=180°-110°=70°$，
又
∵AB是⊙O的直径，
∴$∠ ACB=90°$，
在Rt△ABC中，$∠ ABC=90°-∠ BAC=90°-70°=20°$。
(2) 由$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{CF}$得对应圆周角$∠ ABC=∠ FBC$，
圆内接四边形ABFC中$∠ BAC=180°-β$，
Rt△ABC中$∠ ABC=90°-∠ BAC=β-90°$，
∴$∠ ABF=2∠ ABC=2β-180°$，
又
∵圆内接四边形中$∠ ACF+∠ ABF=180°$，$∠ ACF=90°+α$，
代入得$90°+α+2β-180°=180°$，
化简得$α+2β=270°$。
(3) 相等的线段为AD、BD，证明如下：
如图，连接$AE$.
∵点E是△ABC的内心，
∴AE平分∠CAB，CE平分∠ACB，
∴$∠ EAC=∠ EAB$，$∠ ACD=∠ BCD$。
∵$∠ DAE = ∠ BAD + ∠ BAE$，
$∠ DEA$是△AEC的外角，故$∠ DEA = ∠ ACD + ∠ EAC$，
又同弧BD所对圆周角$∠ DAB = ∠ DCB=∠ ACD$，
∴$∠ DAE=∠ DEA$，
∴$AD=DE$。
∵同弧AD所对圆周角$∠ ABD=∠ ACD=∠ DAB$，
∴$AD=BD$，
综上$AD=BD=DE$。
【答案】
(1)$∠ ABC=20°$
(2)$α+2β=270°$
(3)$AD=BD=DE$，证明如下：
如图,连接$AE$.
因为点$E$是$△ ABC$的内心，
所以$AE$平分$∠ CAB$,$CE$平分$∠ ACB$，
所以$∠ EAC=∠ EAB$,$∠ ACD=∠ BCD$.
因为 $∠ DAE = ∠ BAD + ∠ BAE$,
$∠ DEA = ∠ ACD + ∠ EAC$,$∠ DAB = ∠ DCB$,
所以$∠ DAE=∠ DEA$,$∠ DAB=∠ ACD$,
所以$AD=DE$.
因为$∠ ABD=∠ ACD$,
所以$∠ DAB=∠ ABD$,
所以$AD=BD$,所以$AD=BD=DE$.
【知识点】
圆周角定理；三角形内心的性质；圆内接四边形的性质
【点评】
本题是圆的综合题，将圆的基本性质和三角形内心的知识结合考查，解题的核心是熟练掌握角度推导的常用方法，通过角平分线、外角性质、圆周角定理进行角度转化，对逻辑推理能力有一定的锻炼价值。
【难度系数】
0.6