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1. 如图，正六边形ABCDEF内接于$\odot O$，点M在$\overset{\frown}{AF}$上，则$∠ CMD$的大小为 （
A.$60°$
B.$45°$
C.$30°$
D.$15°$
1题图
2题图
C
）A.$60°$
B.$45°$
C.$30°$
D.$15°$
1题图
2题图
答案
1. C
解析
【分析】
解决本题的关键是结合正六边形的性质和圆周角定理推导角度：首先回忆正n边形内接于圆时，每条边对应的中心角为360°÷n，先求出弧CD对应的圆心角；再根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，即可求出∠CMD的度数。
【解析】
解：连接OC、OD。
∵正六边形ABCDEF内接于$\odot O$，
∴弧CD对应的中心角$∠ COD = \frac{360°}{6} = 60°$。
∵$∠ CMD$是弧$CD$所对的圆周角，根据圆周角定理：同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，
∴$∠ CMD = \frac{1}{2}∠ COD = \frac{1}{2} × 60° = 30°$。
故选：C。
【答案】
C
【知识点】
正多边形与圆的性质；圆周角定理
【点评】
本题是基础常考题，解题核心是先求出对应弧的圆心角度数，再结合圆周角定理计算圆周角，难度较低。
【难度系数】
0.7
解决本题的关键是结合正六边形的性质和圆周角定理推导角度：首先回忆正n边形内接于圆时，每条边对应的中心角为360°÷n，先求出弧CD对应的圆心角；再根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，即可求出∠CMD的度数。
【解析】
解：连接OC、OD。
∵正六边形ABCDEF内接于$\odot O$，
∴弧CD对应的中心角$∠ COD = \frac{360°}{6} = 60°$。
∵$∠ CMD$是弧$CD$所对的圆周角，根据圆周角定理：同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，
∴$∠ CMD = \frac{1}{2}∠ COD = \frac{1}{2} × 60° = 30°$。
故选：C。
【答案】
C
【知识点】
正多边形与圆的性质；圆周角定理
【点评】
本题是基础常考题，解题核心是先求出对应弧的圆心角度数，再结合圆周角定理计算圆周角，难度较低。
【难度系数】
0.7
2. 如图，一个报警装置由一个正六边形的可旋转阀门和一个触碰装置P组成，且$AP=BP$. 若将阀门绕中心O旋转，当正六边形的顶点与P重合时，报警器就会发出警报，此时阀门至少旋转了________°。
答案
2. 30
解析
【分析】
解题时首先要回忆正多边形中心角的计算方法，先算出正六边形相邻顶点对应的中心角大小；再结合AP=BP的条件，根据线段垂直平分线的判定可知点P在AB的垂直平分线上，而正六边形中心O也在AB的垂直平分线上，因此OP平分相邻顶点对应的中心角，即可求出最小旋转角度。
【解析】
第一步：计算正六边形的中心角
正n边形的中心角公式为$\frac{360°}{n}$，对于正六边形，$n=6$，因此中心角$∠ AOB=\frac{360°}{6}=60°$，即正六边形相邻两个顶点与中心O连线的夹角为$60°$。
第二步：确定点P的位置
已知$AP=BP$，根据“到线段两端距离相等的点在这条线段的垂直平分线上”，可得点P在线段AB的垂直平分线上；又因为$OA=OB$（正六边形的外接圆半径相等），所以中心O也在线段AB的垂直平分线上，因此直线OP是$∠ AOB$的角平分线。
第三步：计算最小旋转角
由角平分线的性质可得$∠ AOP=∠ BOP=\frac{1}{2}∠ AOB=\frac{1}{2}×60°=30°$，因此将阀门绕O旋转时，最少旋转$30°$就可以让正六边形的顶点与P重合，触发警报。
【答案】
30
【知识点】
正多边形的中心角、线段垂直平分线的判定、旋转的性质
【点评】
本题结合生活场景考查正多边形与旋转的相关知识，属于基础题，解题核心是熟练掌握正多边形中心角的计算方法，结合垂直平分线的性质确定点P的位置即可快速求解。
【难度系数】
0.7
解题时首先要回忆正多边形中心角的计算方法，先算出正六边形相邻顶点对应的中心角大小；再结合AP=BP的条件，根据线段垂直平分线的判定可知点P在AB的垂直平分线上，而正六边形中心O也在AB的垂直平分线上，因此OP平分相邻顶点对应的中心角，即可求出最小旋转角度。
【解析】
第一步：计算正六边形的中心角
正n边形的中心角公式为$\frac{360°}{n}$，对于正六边形，$n=6$，因此中心角$∠ AOB=\frac{360°}{6}=60°$，即正六边形相邻两个顶点与中心O连线的夹角为$60°$。
第二步：确定点P的位置
已知$AP=BP$，根据“到线段两端距离相等的点在这条线段的垂直平分线上”，可得点P在线段AB的垂直平分线上；又因为$OA=OB$（正六边形的外接圆半径相等），所以中心O也在线段AB的垂直平分线上，因此直线OP是$∠ AOB$的角平分线。
第三步：计算最小旋转角
由角平分线的性质可得$∠ AOP=∠ BOP=\frac{1}{2}∠ AOB=\frac{1}{2}×60°=30°$，因此将阀门绕O旋转时，最少旋转$30°$就可以让正六边形的顶点与P重合，触发警报。
【答案】
30
【知识点】
正多边形的中心角、线段垂直平分线的判定、旋转的性质
【点评】
本题结合生活场景考查正多边形与旋转的相关知识，属于基础题，解题核心是熟练掌握正多边形中心角的计算方法，结合垂直平分线的性质确定点P的位置即可快速求解。
【难度系数】
0.7
3. 如图，$\odot O$是正五边形ABCDE的内切圆，点M，N，F分别是边AE，AB，CD与$\odot O$的切点，则$∠ MFN$的度数为
4. 如图，多边形ABCDE为$\odot O$内接正五边形，PA与$\odot O$相切于点A，则$∠ PAB$的度数为
5. 如图，正六边形ABCDEF内接于$\odot O$，$\odot O$的半径为8，则这个正六边形的边心距OM的长为
$36°$
。4. 如图，多边形ABCDE为$\odot O$内接正五边形，PA与$\odot O$相切于点A，则$∠ PAB$的度数为
$36°$
。5. 如图，正六边形ABCDEF内接于$\odot O$，$\odot O$的半径为8，则这个正六边形的边心距OM的长为
$4\sqrt{3}$
。答案
3. $36°$ 4. $36°$ 5. $4\sqrt{3}$
解析
【分析】
第3题：解题需结合正五边形性质、内切圆性质及圆周角定理。首先明确正五边形的内切圆圆心与正五边形中心重合，连接圆心与各切点所得半径垂直于正五边形的边，相邻两条切点半径的夹角等于正五边形的中心角，先求出该圆心角的度数，再根据同弧所对圆周角是圆心角的一半即可求出∠MFN的度数。
第4题：解题需用到正多边形内接圆性质、切线性质及等腰三角形内角计算。先求出正五边形的中心角，再结合等腰三角形性质求出∠OAB的度数，根据切线垂直于过切点的半径得到∠OAP=90°，作差即可得到∠PAB的度数。
第5题：解题需利用正六边形的性质及勾股定理。正六边形的半径等于边长，边心距、半径、边长的一半构成直角三角形，结合勾股定理即可计算出边心距的长度。
【解析】
3. 连接OM、ON，
∵⊙O是正五边形ABCDE的内切圆，M、N分别是AE、AB与⊙O的切点，
∴OM⊥AE，ON⊥AB，正五边形的中心角为$360°÷5=72°$，即$∠ MON=72°$。
∵$∠ MFN$是弧MN所对的圆周角，$∠ MON$是弧MN所对的圆心角，
∴$∠ MFN=\frac{1}{2}∠ MON=\frac{1}{2}×72°=36°$。
4. 连接OA、OB，
∵多边形ABCDE是⊙O内接正五边形，
∴$∠ AOB=360°÷5=72°$。
∵OA=OB，
∴$∠ OAB=∠ OBA=(180°-72°)÷2=54°$。
∵PA与⊙O相切于点A，
∴OA⊥PA，即$∠ OAP=90°$，
∴$∠ PAB=∠ OAP-∠ OAB=90°-54°=36°$。
5. 连接OA、OB，
∵正六边形ABCDEF内接于⊙O，
∴$∠ AOB=360°÷6=60°$。
∵OA=OB=8，
∴△OAB是等边三角形，
∴AB=OA=8。
∵OM⊥AB，
∴$AM=\frac{1}{2}AB=4$。在Rt△OAM中，由勾股定理得$OM=\sqrt{OA^2-AM^2}=\sqrt{8^2-4^2}=\sqrt{48}=4\sqrt{3}$。
【答案】
3. $36°$ 4. $36°$ 5. $4\sqrt{3}$
【知识点】
正多边形与圆的性质，切线的性质，圆周角定理
【点评】
三道题均考查正多边形与圆的相关应用，侧重对基础概念和定理的理解运用，解题时需熟练掌握正多边形中心角、边心距的计算规律，结合切线、圆周角等性质即可快速求解。
【难度系数】
0.8
第3题：解题需结合正五边形性质、内切圆性质及圆周角定理。首先明确正五边形的内切圆圆心与正五边形中心重合，连接圆心与各切点所得半径垂直于正五边形的边，相邻两条切点半径的夹角等于正五边形的中心角，先求出该圆心角的度数，再根据同弧所对圆周角是圆心角的一半即可求出∠MFN的度数。
第4题：解题需用到正多边形内接圆性质、切线性质及等腰三角形内角计算。先求出正五边形的中心角，再结合等腰三角形性质求出∠OAB的度数，根据切线垂直于过切点的半径得到∠OAP=90°，作差即可得到∠PAB的度数。
第5题：解题需利用正六边形的性质及勾股定理。正六边形的半径等于边长，边心距、半径、边长的一半构成直角三角形，结合勾股定理即可计算出边心距的长度。
【解析】
3. 连接OM、ON，
∵⊙O是正五边形ABCDE的内切圆，M、N分别是AE、AB与⊙O的切点，
∴OM⊥AE，ON⊥AB，正五边形的中心角为$360°÷5=72°$，即$∠ MON=72°$。
∵$∠ MFN$是弧MN所对的圆周角，$∠ MON$是弧MN所对的圆心角，
∴$∠ MFN=\frac{1}{2}∠ MON=\frac{1}{2}×72°=36°$。
4. 连接OA、OB，
∵多边形ABCDE是⊙O内接正五边形，
∴$∠ AOB=360°÷5=72°$。
∵OA=OB，
∴$∠ OAB=∠ OBA=(180°-72°)÷2=54°$。
∵PA与⊙O相切于点A，
∴OA⊥PA，即$∠ OAP=90°$，
∴$∠ PAB=∠ OAP-∠ OAB=90°-54°=36°$。
5. 连接OA、OB，
∵正六边形ABCDEF内接于⊙O，
∴$∠ AOB=360°÷6=60°$。
∵OA=OB=8，
∴△OAB是等边三角形，
∴AB=OA=8。
∵OM⊥AB，
∴$AM=\frac{1}{2}AB=4$。在Rt△OAM中，由勾股定理得$OM=\sqrt{OA^2-AM^2}=\sqrt{8^2-4^2}=\sqrt{48}=4\sqrt{3}$。
【答案】
3. $36°$ 4. $36°$ 5. $4\sqrt{3}$
【知识点】
正多边形与圆的性质，切线的性质，圆周角定理
【点评】
三道题均考查正多边形与圆的相关应用，侧重对基础概念和定理的理解运用，解题时需熟练掌握正多边形中心角、边心距的计算规律，结合切线、圆周角等性质即可快速求解。
【难度系数】
0.8
6. 如图，正方形ABCD内接于$\odot O$.
点E为$\overset{\frown}{BC}$上一点，连接BE，CE.
若$∠ CBE=15°$，$BE=3$，则BC的长为（
A.$\sqrt{6}$
B.$\sqrt{2}$
C.$3\sqrt{3}$
D.$3\sqrt{2}$
点E为$\overset{\frown}{BC}$上一点，连接BE，CE.
若$∠ CBE=15°$，$BE=3$，则BC的长为（
D
）A.$\sqrt{6}$
B.$\sqrt{2}$
C.$3\sqrt{3}$
D.$3\sqrt{2}$
答案
6. D
解析
【分析】
解题可按以下思路进行：①先利用正方形内接于圆的性质，得圆心角∠BOC=90°，且OB、OC、OE均为⊙O的半径，长度相等；②根据圆周角定理，由∠CBE=15°求出对应的圆心角∠COE=30°，进而得到∠BOE=60°；③判定△OBE为等边三角形，得半径OB=BE=3；④在等腰直角△BOC中，用勾股定理即可求出BC的长度。
【解析】
解：连接OB、OC、OE。
1.
∵正方形ABCD内接于$\odot O$，
∴$\odot O$的圆心角$∠ BOC=\frac{360°}{4}=90°$，且OB=OC=OE（均为$\odot O$的半径）。
2.
∵∠CBE是圆周角，所对的弧为$\overset{\frown}{CE}$，根据圆周角定理：圆周角的度数等于其所对弧度数的一半，
∴$\overset{\frown}{CE}$的度数$=2×∠ CBE=2×15°=30°$，对应的圆心角$∠ COE=30°$。
3.
∴$∠ BOE=∠ BOC-∠ COE=90°-30°=60°$，
又
∵OB=OE，
∴$△ OBE$是等边三角形（有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形），
∴$OB=BE=3$。
4. 在等腰直角$△ BOC$中，OB=OC=3，$∠ BOC=90°$，
由勾股定理得：$BC=\sqrt{OB^2+OC^2}=\sqrt{3^2+3^2}=\sqrt{18}=3\sqrt{2}$。
【答案】
D
【知识点】
正多边形与圆的性质，圆周角定理，勾股定理
【点评】
本题将正多边形、圆的性质和三角形判定、勾股定理相结合，解题的关键是通过角度推导得出等边三角形，求出圆的半径，再利用勾股定理计算边长，是圆与正多边形结合的典型考题。
【难度系数】
0.6
解题可按以下思路进行：①先利用正方形内接于圆的性质，得圆心角∠BOC=90°，且OB、OC、OE均为⊙O的半径，长度相等；②根据圆周角定理，由∠CBE=15°求出对应的圆心角∠COE=30°，进而得到∠BOE=60°；③判定△OBE为等边三角形，得半径OB=BE=3；④在等腰直角△BOC中，用勾股定理即可求出BC的长度。
【解析】
解：连接OB、OC、OE。
1.
∵正方形ABCD内接于$\odot O$，
∴$\odot O$的圆心角$∠ BOC=\frac{360°}{4}=90°$，且OB=OC=OE（均为$\odot O$的半径）。
2.
∵∠CBE是圆周角，所对的弧为$\overset{\frown}{CE}$，根据圆周角定理：圆周角的度数等于其所对弧度数的一半，
∴$\overset{\frown}{CE}$的度数$=2×∠ CBE=2×15°=30°$，对应的圆心角$∠ COE=30°$。
3.
∴$∠ BOE=∠ BOC-∠ COE=90°-30°=60°$，
又
∵OB=OE，
∴$△ OBE$是等边三角形（有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形），
∴$OB=BE=3$。
4. 在等腰直角$△ BOC$中，OB=OC=3，$∠ BOC=90°$，
由勾股定理得：$BC=\sqrt{OB^2+OC^2}=\sqrt{3^2+3^2}=\sqrt{18}=3\sqrt{2}$。
【答案】
D
【知识点】
正多边形与圆的性质，圆周角定理，勾股定理
【点评】
本题将正多边形、圆的性质和三角形判定、勾股定理相结合，解题的关键是通过角度推导得出等边三角形，求出圆的半径，再利用勾股定理计算边长，是圆与正多边形结合的典型考题。
【难度系数】
0.6
7. 如图，正六边形ABCDEF的边长为6 cm，求这个正六边形的外接圆半径R，边心距$r_6$，面积$S_6$。
答案
7. 解 如图，连接OA，OB，过点O作$OG⊥AB$于G. 因为$∠AOB=60°$，$OA=OB$，所以$△ AOB$是等边三角形. 所以$OA=OB=6\ \mathrm{cm}$，即$R=6\ \mathrm{cm}$. 因为$OA=OB=6\ \mathrm{cm}$，$OG⊥AB$，所以$AG=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×6=3$（cm）.
所以在$\mathrm{Rt}△ AOG$中，$r_6=OG=\sqrt{OA^2-AG^2}=3\sqrt{3}\ \mathrm{cm}$. 所以 $S_6=\frac{1}{2}×6×6×3\sqrt{3}=54\sqrt{3}\ (\mathrm{cm}^2)$.
解析
【分析】
解决正多边形的相关计算问题，核心思路是将正多边形问题转化为三角形问题求解：首先连接正六边形的中心和相邻两个顶点，得到中心角和等腰三角形，结合正六边形中心角为60°的特点可判断该等腰三角形为等边三角形，直接得到外接圆半径等于边长；再作边心距构造直角三角形，利用勾股定理即可求出边心距；最后正六边形的面积等于6个全等的等边三角形的面积和，代入数值计算即可得到总面积。
【解析】
连接OA，OB，过点O作$OG⊥AB$于G。
1. 求外接圆半径$R$：
正六边形的中心角$∠ AOB=\frac{360°}{6}=60°$，又$OA=OB$，因此$△ AOB$是等边三角形，可得$OA=OB=AB=6\ \mathrm{cm}$，即$R=6\ \mathrm{cm}$。
2. 求边心距$r_6$：
因为$OG⊥AB$，$△ AOB$是等腰三角形，由等腰三角形三线合一可得$AG=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×6=3\ \mathrm{cm}$。
在$\mathrm{Rt}△ AOG$中，由勾股定理得：
$r_6=OG=\sqrt{OA^2-AG^2}=\sqrt{6^2-3^2}=3\sqrt{3}\ \mathrm{cm}$。
3. 求正六边形面积$S_6$：
正六边形由6个全等的$△ AOB$组成，单个$△ AOB$的面积为$\frac{1}{2}× AB× OG$，因此：
$S_6=6×\frac{1}{2}×6×3\sqrt{3}=54\sqrt{3}\ \mathrm{cm}^2$。
【答案】
解 如图，连接OA，OB，过点O作$OG⊥AB$于G. 因为$∠AOB=60°$，$OA=OB$，所以$△ AOB$是等边三角形. 所以$OA=OB=6\ \mathrm{cm}$，即$R=6\ \mathrm{cm}$. 因为$OA=OB=6\ \mathrm{cm}$，$OG⊥AB$，所以$AG=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×6=3$（cm）.
所以在$\mathrm{Rt}△ AOG$中，$r_6=OG=\sqrt{OA^2-AG^2}=3\sqrt{3}\ \mathrm{cm}$. 所以 $S_6=\frac{1}{2}×6×6×3\sqrt{3}=54\sqrt{3}\ (\mathrm{cm}^2)$.
【知识点】
正多边形与圆的性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理
【点评】
本题是正多边形与圆的基础计算题，解题关键是掌握将正多边形计算转化为直角三角形、等腰三角形计算的转化思想，记住正六边形外接圆半径等于边长的特点可进一步提升解题效率。
【难度系数】
0.8
解决正多边形的相关计算问题，核心思路是将正多边形问题转化为三角形问题求解：首先连接正六边形的中心和相邻两个顶点，得到中心角和等腰三角形，结合正六边形中心角为60°的特点可判断该等腰三角形为等边三角形，直接得到外接圆半径等于边长；再作边心距构造直角三角形，利用勾股定理即可求出边心距；最后正六边形的面积等于6个全等的等边三角形的面积和，代入数值计算即可得到总面积。
【解析】
连接OA，OB，过点O作$OG⊥AB$于G。
1. 求外接圆半径$R$：
正六边形的中心角$∠ AOB=\frac{360°}{6}=60°$，又$OA=OB$，因此$△ AOB$是等边三角形，可得$OA=OB=AB=6\ \mathrm{cm}$，即$R=6\ \mathrm{cm}$。
2. 求边心距$r_6$：
因为$OG⊥AB$，$△ AOB$是等腰三角形，由等腰三角形三线合一可得$AG=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×6=3\ \mathrm{cm}$。
在$\mathrm{Rt}△ AOG$中，由勾股定理得：
$r_6=OG=\sqrt{OA^2-AG^2}=\sqrt{6^2-3^2}=3\sqrt{3}\ \mathrm{cm}$。
3. 求正六边形面积$S_6$：
正六边形由6个全等的$△ AOB$组成，单个$△ AOB$的面积为$\frac{1}{2}× AB× OG$，因此：
$S_6=6×\frac{1}{2}×6×3\sqrt{3}=54\sqrt{3}\ \mathrm{cm}^2$。
【答案】
解 如图，连接OA，OB，过点O作$OG⊥AB$于G. 因为$∠AOB=60°$，$OA=OB$，所以$△ AOB$是等边三角形. 所以$OA=OB=6\ \mathrm{cm}$，即$R=6\ \mathrm{cm}$. 因为$OA=OB=6\ \mathrm{cm}$，$OG⊥AB$，所以$AG=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×6=3$（cm）.
所以在$\mathrm{Rt}△ AOG$中，$r_6=OG=\sqrt{OA^2-AG^2}=3\sqrt{3}\ \mathrm{cm}$. 所以 $S_6=\frac{1}{2}×6×6×3\sqrt{3}=54\sqrt{3}\ (\mathrm{cm}^2)$.
【知识点】
正多边形与圆的性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理
【点评】
本题是正多边形与圆的基础计算题，解题关键是掌握将正多边形计算转化为直角三角形、等腰三角形计算的转化思想，记住正六边形外接圆半径等于边长的特点可进一步提升解题效率。
【难度系数】
0.8
