在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，AC=3，BC=4，以点 C 为圆心、r 为半径作⊙C。若⊙C 与边 AB 只有一个交点，则 r 的取值范围是。
解析 如图，作 CD⊥AB 于点 D。

因为∠C=90°，AC=3，BC=4，所以 AB=$\sqrt{3^2 + 4^2}=5$。
因为 $S_{△ ABC} = \frac{1}{2}AB · CD = \frac{1}{2}AC · BC$，所以 $CD = \frac{AC · BC}{AB} = \frac{12}{5}$，
即圆心 C 到 AB 的距离 $d = \frac{12}{5}$。
所以以点 C 为圆心、r 为半径作圆，当 $r = \frac{12}{5}$ 时，圆与边 AB 相切，此时⊙C 与边 AB 只有一个交点；
当 $3 ＜ r ≤ 4$ 时，圆与边 AB 只有一个交点。
综上，若⊙C 与边 AB 只有一个交点，则 r 的取值范围是 $3 ＜ r ≤ 4$ 或 $r = \frac{12}{5}$。
答案 $3 ＜ r ≤ 4$ 或 $r = \frac{12}{5}$

解：
过点C作CD⊥AB于点D。
∵ ∠C=90°，AC=3，BC=4，
∴ $AB = \sqrt{AC^2 + BC^2} = \sqrt{3^2 + 4^2} = 5$。
由三角形面积公式可得：
$S_{△ ABC} = \frac{1}{2}AB · CD = \frac{1}{2}AC · BC$，
∴ $CD = \frac{AC · BC}{AB} = \frac{3 × 4}{5} = \frac{12}{5}$，
即圆心C到边AB的距离为$\frac{12}{5}$。
分两种情况分析：
1. 当⊙C与边AB相切时，$r = CD = \frac{12}{5}$，此时⊙C与边AB只有一个交点；
2. 当$3 ＜ r ≤ 4$时，点A在⊙C内部，点B在⊙C上或⊙C外部，此时边AB与⊙C只有一个交点。
综上，r的取值范围是$3 ＜ r ≤ 4$或$r = \frac{12}{5}$。

【分析】
要解决⊙C与边AB只有一个交点的问题，需分两种情况讨论：①圆与AB边相切，此时仅存在切点一个交点；②圆与AB边相交但仅一个交点，即线段AB仅一个点在圆上。首先利用勾股定理算出AB的长度，再通过直角三角形面积的两种计算方法求出斜边上的高CD（即圆心C到AB的距离），再结合点A、B到圆心C的距离分析半径r的取值范围即可。
【解析】
过点C作CD⊥AB于点D。
∵ ∠C=90°，AC=3，BC=4，
∴ $AB = \sqrt{AC^2 + BC^2} = \sqrt{3^2 + 4^2} = 5$。
由三角形面积公式可得：
$S_{△ ABC} = \frac{1}{2}AB · CD = \frac{1}{2}AC · BC$，
∴ $CD = \frac{AC · BC}{AB} = \frac{3 × 4}{5} = \frac{12}{5}$，
即圆心C到边AB的距离为$\frac{12}{5}$。
分两种情况分析：
1. 当⊙C与边AB相切时，$r = CD = \frac{12}{5}$，此时⊙C与边AB只有一个交点；
2. 当$3 ＜ r ≤ 4$时，点A在⊙C内部，点B在⊙C上或⊙C外部，此时边AB与⊙C只有一个交点。
综上，r的取值范围是$3 ＜ r ≤ 4$或$r = \frac{12}{5}$。
【答案】
$3 ＜ r ≤ 4$或$r = \frac{12}{5}$
【知识点】
直线与圆的位置关系，勾股定理，三角形面积计算
【点评】
本题是圆与线段交点的典型问题，需结合图形分类讨论，容易遗漏半径介于3和4之间的情况，解题时要注意区分“圆与直线只有一个交点”和“圆与线段只有一个交点”的差异，避免漏解。
【难度系数】
0.5