课前预习
基础知识
互余和
互补
（1）互余：两个角的和为，就说这两个角互为余角，简称，其中一个角叫作另一个角的。
（2）互补：两个角的和为，就说这两个角互为补角，简称，其中一个角叫作另一个角的。
（3）性质：同角或等角的余角；同角或等角的补角。
困惑疑问：

(1)90° 互余 余角
(2)180° 互补 补角
(3)相等 相等

【分析】
本题考查余角、补角的基础定义与性质，属于记忆类基础题。解题时只需回忆教材中关于互余、互补的定义以及两者的性质内容，对应空缺逐一填写即可：首先回忆互余的定义，明确两角和的度数、简称以及相互称呼；再回忆互补的相关定义内容；最后回忆余角和补角的性质，完成对应填空。
【解析】
（1）根据互余的定义：两个角的和为$90°$，就说这两个角互为余角，简称互余，其中一个角叫作另一个角的余角；
（2）根据互补的定义：两个角的和为$180°$，就说这两个角互为补角，简称互补，其中一个角叫作另一个角的补角；
（3）根据余角和补角的性质：同角或等角的余角相等；同角或等角的补角相等。
【答案】
(1)$90°$ 互余 余角
(2)$180°$ 互补 补角
(3)相等 相等
【知识点】
余角的定义；补角的定义；余角补角的性质
【点评】
本题是余角和补角相关的基础概念题，核心考察对基础定义、性质的记忆掌握情况，这部分内容是后续进行角度运算、几何证明的基础，需要准确牢记。
【难度系数】
0.9

思考 1.互余、互补的两个角是否一定有公共顶点？
2.如何判断两角互余或互补？

1.互补、互余关系仅与角的度数有关系，与位置无关。
2.当两个角的和为 90°时，两个角互余；当两个角的和为180°时，两个角互补。

【分析】
1. 思考第一问时，先回忆互余、互补的定义核心：二者是描述两个角度数关系的概念，再结合实例验证，比如分开放置的三角板中的30°角和60°角，没有公共顶点但和为90°依然互余，就能得出不需要公共顶点的结论。
2. 思考第二问时，直接回归互余、互补的本质定义，判断依据就是两个角的度数和是否满足对应的数值要求即可。
【解析】
1. 互余、互补的两个角不一定有公共顶点。互余、互补是描述两个角之间数量关系的概念，只和两个角的度数之和有关，和角的摆放位置、是否有公共顶点或公共边均没有关系。
2. 判断两角互余或互补只需要计算两个角的度数总和：若两个角的度数之和为90°，则这两个角互余；若两个角的度数之和为180°，则这两个角互补。
【答案】
1.互补、互余关系仅与角的度数有关系，与位置无关。
2.当两个角的和为 90°时，两个角互余；当两个角的和为180°时，两个角互补。
【知识点】
1. 余角的定义
2. 补角的定义
【点评】
本题属于基础概念辨析题，重点考查对余角、补角概念的理解，要注意区分角的数量关系和位置关系，不要将互余、互补和带有位置要求的邻补角等概念混淆，熟记基本定义是解决这类问题的核心。
【难度系数】
0.8

1.直角三角形的两个锐角()。

A.互补
B.互余
C.相等
D.不等

1.B

【分析】
解题时先回忆两个核心知识点：一是三角形内角和为180°，直角三角形有1个内角是90°；二是互余、互补的定义，互余指两个角的度数和为90°，互补指两个角的度数和为180°。先算出直角三角形两个锐角的和，再对应定义判断选项即可。
【解析】
已知任意三角形的内角和为180°，直角三角形中存在一个90°的直角，因此两个锐角的度数和为：$\mathrm{180° - 90° = 90°}$。
根据余角的定义：若两个角的度数之和为90°，则称这两个角互余，可知直角三角形的两个锐角互余。
因此答案选B。
【答案】
B
【知识点】
三角形内角和定理、直角三角形的性质、余角的定义
【点评】
本题属于基础概念题，主要考察对直角三角形角的特征以及余角定义的掌握，熟记相关概念即可快速得出答案。
【难度系数】
0.9

2.已知∠1与∠2互补，∠2与∠3互补，那么∠1与∠3的关系是（）。

A.相等
B.互补
C.互余
D.不能确定

2.A

【分析】
解题核心是利用补角的定义或性质推导∠1和∠3的关系。首先回忆补角的定义：如果两个角的和为180°，那么这两个角互为补角。我们可以先根据题目给出的互补关系，分别写出∠1、∠3与∠2的数量关系，对比两个式子就能得到∠1和∠3的关系；也可以直接利用补角的性质“同角的补角相等”直接判断。
【解析】
方法一（利用补角定义推导）：
∵ ∠1与∠2互补，根据互补的定义可得：$∠ 1 + ∠ 2 = 180°$
∴ $∠ 1 = 180° - ∠ 2$
又
∵ ∠2与∠3互补，同理可得：$∠ 3 + ∠ 2 = 180°$
∴ $∠ 3 = 180° - ∠ 2$
∴ $∠ 1 = ∠ 3$
方法二（利用补角性质直接判断）：
∠1和∠3都是∠2的补角，根据“同角的补角相等”，可直接得出$∠ 1 = ∠ 3$。
因此本题选A选项。
【答案】
A
【知识点】
补角的定义；补角的性质
【点评】
本题考查补角的基础概念和性质，熟练掌握“同角（或等角）的补角相等”的结论可以快速解题，属于基础概念应用题。
【难度系数】
0.9

1.下列说法正确的是()。

A.互余的两个角一定不相等
B.互补的两个角一定不相等
C.互余的两个角之比是1：3，则这两个角分别是20°和60°
D.一个锐角的余角比这个角的补角小90°

1.D

【分析】
解题时首先要明确余角、补角的核心定义：若两个角的和为90°，则这两个角互余；若两个角的和为180°，则这两个角互补。接下来我们可以逐个分析选项，对错误选项通过举反例或计算验证排除，对正确选项通过代数推导确认即可。
【解析】
我们结合余角、补角的定义逐一判断选项：
1. 选项A：当两个角都为45°时，45°+45°=90°，两个角互余且相等，因此A说法错误。
2. 选项B：当两个角都为90°时，90°+90°=180°，两个角互补且相等，因此B说法错误。
3. 选项C：互余的两个角和为90°，若之比为1:3，总份数为1+3=4份，每份角度为90°÷4=22.5°，两个角分别为22.5°和67.5°，且20°+60°=80°≠90°，不满足互余要求，因此C说法错误。
4. 选项D：设这个锐角的度数为x°，则它的余角为(90-x)°，它的补角为(180-x)°，补角与余角的差为(180-x)-(90-x)=90°，即这个锐角的余角比补角小90°，因此D说法正确。
【答案】
D
【知识点】
余角的定义；补角的定义
【点评】
本题是对余角、补角基础概念的考查，解题时可通过举反例快速排除明显错误的选项，对于涉及数量关系的选项可以通过设未知数列式计算验证，掌握基础概念是解题的关键。
【难度系数】
0.8

2.如果$∠ 1$和$∠ 2$互补，$∠ 1$和$∠ 3$互余，$∠ 2$比$∠ 3$的2倍多$10°$，设$∠ 1=x°$，所列方程正确的是()。

A.$2x + 10 = 180 - x$
B.$2x + 10 = 90 - x$
C.$2(90 - x) + 10 = 180 - x$
D.$2(90 - x) - 10 = 180 - x$

2.C

【分析】
解题时首先回忆余角、补角的定义，结合题目给出的∠1=x°，先分别用含x的式子表示出∠2和∠3的度数，再根据“∠2比∠3的2倍多10°”这一等量关系列方程即可。
【解析】
已知∠1=x°：
1. 因为∠1和∠2互补，互补的两个角和为180°，所以∠2=180°-∠1=(180-x)°；
2. 因为∠1和∠3互余，互余的两个角和为90°，所以∠3=90°-∠1=(90-x)°；
3. 根据题意“∠2比∠3的2倍多10°”，可得等量关系：∠2=2×∠3+10°，将上述∠2、∠3的表达式代入得：
$180-x=2(90-x)+10$，整理为$2(90-x)+10=180-x$，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
余角的定义，补角的定义，列一元一次方程
【点评】
本题是基础概念应用题，解题核心是准确掌握余角、补角的数量关系，再找准题目给出的等量关系代入表达式即可，熟练掌握概念就能快速解题。
【难度系数】
0.8

3.如图，点O为直线AB上一点，$∠ COD$为直角，OE平分$∠ AOC$，OG平分$∠ BOC$，OF平分$∠ BOD$。有下列结论：
①$∠ AOE$与$∠ BOG$互余；②$∠ EOF$与$∠ GOF$互补；③$∠ DOE$与$∠ DOG$互补；④$∠ AOC - ∠ BOD = 90°$。其中正确的有（）。

A.4个
B.3个
C.2个
D.1个

3.B

【分析】
要解决这道题，我们先梳理已知条件：点O在直线AB上，因此∠AOB是平角为180°；∠COD是直角为90°，同时有3条角平分线分别平分对应角。解题思路是结合角平分线的性质、平角和直角的定义，先推导各小角之间的和差关系，再逐一验证4个结论是否成立，验证时紧扣互余（两角和为90°）、互补（两角和为180°）的定义判断。
【解析】
解：由题意可得：
∵ 点O在直线AB上，
∴ $∠ AOB=180°$，即$∠ AOC + ∠ BOC=180°$；
∵ $∠ COD=90°$，
∴ $∠ BOC + ∠ BOD=∠ COD=90°$；
∵ OE平分$∠ AOC$，OG平分$∠ BOC$，OF平分$∠ BOD$，
∴ $∠ AOE=∠ EOC=\frac{1}{2}∠ AOC$，$∠ COG=∠ GOB=\frac{1}{2}∠ BOC$，$∠ BOF=∠ FOD=\frac{1}{2}∠ BOD$。
1. 验证结论①：
$∠ AOE+∠ BOG=\frac{1}{2}∠ AOC+\frac{1}{2}∠ BOC=\frac{1}{2}(∠ AOC+∠ BOC)=\frac{1}{2}×180°=90°$，两角互余，①正确。
2. 验证结论②：
$∠ GOF=∠ GOB+∠ BOF=\frac{1}{2}∠ BOC+\frac{1}{2}∠ BOD=\frac{1}{2}(∠ BOC+∠ BOD)=\frac{1}{2}×90°=45°$，
$∠ EOF=∠ EOC+∠ COG+∠ GOB+∠ BOF=(\frac{1}{2}∠ AOC+\frac{1}{2}∠ BOC)+45°=90°+45°=135°$，
则$∠ EOF+∠ GOF=135°+45°=180°$，两角互补，②正确。
3. 验证结论③：
$∠ DOG=∠ GOF+∠ FOD=45°+\frac{1}{2}∠ BOD$，
$∠ DOE=∠ EOF+∠ FOD=135°+\frac{1}{2}∠ BOD$，
则$∠ DOE+∠ DOG=180°+∠ BOD＞180°$（$∠ BOD＞0$），两角不互补，③错误。
4. 验证结论④：
∵ $∠ AOC=180°-∠ BOC$，$∠ BOD=90°-∠ BOC$，
∴ $∠ AOC-∠ BOD=(180°-∠ BOC)-(90°-∠ BOC)=90°$，④正确。
综上，正确的结论有①②④，共3个。
【答案】B
【知识点】
角平分线的性质，余角和补角，角的运算
【点评】
本题是角的综合计算题，解题的核心是利用角平分线的性质拆分大角，再结合平角、直角的定义推导角的和差关系，验证结论时要注意结合图形确认角的组成，避免混淆角的位置导致判断错误。
【难度系数】
0.6