4.已知∠1与∠2互余，∠2与∠3互补，∠3=140°，则∠1=。

4.50°

【分析】
解题时先从已知的∠3的度数入手，首先利用∠2与∠3互补的条件，结合补角的定义（互为补角的两个角和为180°）算出∠2的度数；再根据∠1与∠2互余的条件，结合余角的定义（互为余角的两个角和为90°），就能求出∠1的度数。
【解析】
第一步：求∠2的度数
∵ ∠2与∠3互补，根据互补的定义，得∠2 + ∠3 = 180°
又
∵ ∠3 = 140°
∴ ∠2 = 180° - ∠3 = 180° - 140° = 40°
第二步：求∠1的度数
∵ ∠1与∠2互余，根据互余的定义，得∠1 + ∠2 = 90°
∴ ∠1 = 90° - ∠2 = 90° - 40° = 50°
【答案】
50°
【知识点】
余角的定义；补角的定义
【点评】
本题是基础概念应用题，解题核心是熟练掌握互余、互补的角的数量关系，从已知条件逐步推导即可得到结果，计算量小，不易出错。
【难度系数】
0.9

5.一副三角尺按如图所示的方式摆放，且$∠ 1$比$∠ 2$大$50°$，则$∠ 2$的度数为。

5.20°

【分析】
解题时先观察图形特征：下方的直线构成180°的平角，∠1和∠2中间夹的是三角尺的90°直角，因此可先推出∠1与∠2的和为90°；再结合题目给出的∠1比∠2大50°的条件，把∠1用∠2表示后代入角度和的关系式，即可求出∠2的度数。
【解析】
由图可知，平角为180°，三角尺的直角为90°，因此：
$∠1 + ∠2 + 90° = 180°$
整理得：$∠1 + ∠2 = 90°$ ①
根据题意，$∠1$比$∠2$大$50°$，即：
$∠1 - ∠2 = 50°$ ②
用①式减去②式，得：
$(∠1 + ∠2) - (∠1 - ∠2) = 90° - 50°$
$2∠2 = 40°$
解得：$∠2 = 20°$
【答案】
$20°$
【知识点】
平角的定义、互余的性质、角的和差计算
【点评】
本题结合三角尺的摆放考查角度计算，解题关键是从图形中推导得到∠1与∠2的和为90°，再结合已知数量关系求解，属于基础题型，侧重考查对图形角度关系的观察和推导能力。
【难度系数】
0.8

6.若一个角的余角比这个角的补角的一半还少$24°$,求这个角的度数。

6.解:设这个角的度数为x度，
根据题意得 $90-x=\frac{1}{2}(180-x)-24$，
解得 $x=48$。
答:这个角的度数为$48°$。

【分析】
要解决这道题，首先需要明确余角和补角的定义：两个角和为90°则互余，两个角和为180°则互补。我们可以先设这个角的度数为x度，分别表示出它的余角和补角，再根据题目给出的“余角比补角的一半还少24°”的等量关系列一元一次方程，最后解方程即可得到这个角的度数。
【解析】
解：设这个角的度数为x度，则它的余角为$(90-x)$度，补角为$(180-x)$度。
根据题意列方程：
$90-x=\frac{1}{2}(180-x)-24$
解方程：
先化简右侧得：$90-x=90-\frac{1}{2}x-24$
整理得：$90-x=66-\frac{1}{2}x$
移项合并同类项得：$\frac{1}{2}x=24$
解得：$x=48$
【答案】
这个角的度数为$48°$
【知识点】
余角的定义、补角的定义、一元一次方程的应用
【点评】
本题属于基础角度计算类题目，解题核心是熟练掌握余角、补角的概念，准确提取题干中的等量关系列方程求解，是对基础概念和方程应用能力的常规考查。
【难度系数】
0.8

7.如图，点O是直线AB上一点，OD平分∠AOC，OE平分∠BOC。
(1)∠DOE的大小为；
(2)图中与∠COE互补的角是，与∠AOE互补的角是；
(3)图中与∠BOE互余的角是。

7.(1)$90°$ (2)$∠ AOE$ $∠ BOE$与$∠ COE$
(3)$∠ DOC$与$∠ AOD$

【分析】
解题时先从已知条件入手：1. 点O在直线AB上，可得∠AOB是平角，度数为180°；2. 角平分线会把对应角分成两个相等的角。对于(1)，将∠DOE拆分为两个角平分线分出的角的和，整体代入平角的一半即可求出度数。对于(2)，根据互补的定义（两个角的和为180°），结合角平分线得到的等角，找出对应互补的角即可。对于(3)，根据互余的定义（两个角的和为90°），结合已经求出的∠DOE=90°和等角关系，找出对应互余的角即可。
【解析】
(1) 因为点O是直线AB上一点，所以∠AOB=180°，即∠AOC + ∠BOC=180°。
因为OD平分∠AOC，所以∠DOC = $\frac{1}{2}$∠AOC；
因为OE平分∠BOC，所以∠COE = $\frac{1}{2}$∠BOC。
因此∠DOE = ∠DOC + ∠COE = $\frac{1}{2}$(∠AOC + ∠BOC) = $\frac{1}{2}$×180° = 90°。
(2) 互补的两个角和为180°：
① 因为OE平分∠BOC，所以∠COE=∠BOE，又∠AOE + ∠BOE=∠AOB=180°，所以∠AOE + ∠COE=180°，即与∠COE互补的角是∠AOE。
② 因为∠AOE + ∠BOE=180°，且∠BOE=∠COE，所以∠AOE + ∠COE=180°，即与∠AOE互补的角是∠BOE和∠COE。
(3) 互余的两个角和为90°：
由(1)知∠DOE=90°，即∠COE + ∠DOC=90°，又∠COE=∠BOE，所以∠BOE + ∠DOC=90°；
因为OD平分∠AOC，所以∠DOC=∠AOD，因此∠BOE + ∠AOD=90°，即与∠BOE互余的角是∠DOC和∠AOD。
【答案】
(1)$90°$ (2)$∠AOE$；$∠BOE$与$∠COE$ (3)$∠DOC$与$∠AOD$
【知识点】
角平分线的定义；余角和补角的定义；平角的定义
【点评】
本题是角的基本性质的基础应用，解题的核心是利用平角的度数和角平分线的性质推出∠DOE为直角，再结合互余、互补的定义，通过等角代换找出符合要求的角，需注意不要漏写符合条件的角。
【难度系数】
0.75

8. 如图，$∠ AOB = ∠ DOC = 90°$，$OE$平分$∠ AOD$，反向延长射线$OE$至$F$。

(1)$∠ AOD$和$∠ BOC$ （填“互余”“相等”“互补”或“没有特殊关系”）。
(2)射线$OF$是$∠ BOC$的平分线吗？为什么？
(3)反向延长射线$OA$至$G$，$∠ COG$与$∠ FOG$的度数比为$2:5$，求$∠ AOD$的度数。

8.(1)互补 (2)是,理由略。
(3)$∠ AOD=112.5°$。

【分析】
(1) 判断两角关系可先计算两角和，结合周角为360°，已知两个直角的条件，即可推出两角和为180°，判断为互补。
(2) 要判断OF是否为∠BOC的平分线，只需证明∠BOF=∠COF。先根据角平分线定义得∠AOE=∠DOE，再结合平角为180°和已知的两个直角，推导两个角相等即可。
(3) 利用比例设参数表示∠COG和∠FOG，先根据角平分线性质得到∠BOC的表达式，结合第一问的互补关系得到∠AOD的第一个表达式；再根据平角AOG和直角∠DOC的性质，推导得到∠AOD的第二个表达式，联立方程求解参数后即可计算∠AOD的度数。
【解析】
(1) 已知∠AOB=∠DOC=90°，且四个角和为周角360°，则：
$∠ AOD + ∠ BOC = 360° - ∠ AOB - ∠ DOC = 360° -90° -90°=180°$，因此两角互补。
(2) 射线OF是$∠ BOC$的平分线，理由如下：
∵OE平分$∠ AOD$，
∴$∠ AOE=∠ DOE$。
∵E、O、F共线，$∠ EOF=180°$，
∴$∠ AOE + ∠ AOB + ∠ BOF=180°$，代入$∠ AOB=90°$，得$∠ BOF=90° - ∠ AOE$。
同理$∠ DOE + ∠ DOC + ∠ COF=180°$，代入$∠ DOC=90°$，得$∠ COF=90° - ∠ DOE$。
∵$∠ AOE=∠ DOE$，
∴$∠ BOF=∠ COF$，即OF平分$∠ BOC$。
(3) 设$∠ COG=2x$，$∠ FOG=5x$，
∵OF平分$∠ BOC$，$∠ FOC=∠ FOG-∠ COG=5x-2x=3x$，
∴$∠ BOC=2∠ FOC=6x$。
由(1)得$∠ AOD + ∠ BOC=180°$，则$∠ AOD=180°-6x$ ①。
∵G是OA的反向延长线，
∴A、O、G共线，$∠ AOG=180°$，即$∠ AOD + ∠ DOG=180°$。
又
∵$∠ DOC=∠ DOG + ∠ COG=90°$，
∴$∠ DOG=90°-2x$，代入上式得：
$∠ AOD + 90°-2x=180°$，整理得$∠ AOD=90°+2x$ ②。
联立①②得：$180-6x=90+2x$，解得$x=11.25°$。
代入②得$∠ AOD=90°+2×11.25°=112.5°$。
【答案】
(1)互补
(2)是，理由见解析
(3)$∠ AOD=112.5°$
【知识点】
余角和补角；角平分线的定义；平角的性质
【点评】
本题综合考查角的相关计算，核心是结合图形理清各角的数量关系，熟练运用角平分线、平角、补角的性质即可解题，利用方程思想求解角度是此类问题的常用方法。
【难度系数】
0.6

9.如图①,将一副三角板的直角顶点C叠放在一起(∠ACD=∠BCE=90°)。

【观察分析】（1）若∠DCE＝35°，则∠ACB＝；若∠ACB＝150°，则∠DCE＝。
【猜想归纳】
（2）请你猜想∠ACB与∠DCE有何关系，并说明理由。
【拓展应用】
（3）如图②，若将两个同样的三角板含60°(∠DAC＝∠EAB＝60°)锐角的顶点A重合在一起，请你猜想∠DAB与∠CAE有何关系，并说明理由。
（4）如图③，如果把任意两个锐角∠AOB，∠COD的顶点O重合在一起，已知∠AOB＝α，∠COD＝β(α，β都是锐角)，请你直接写出∠AOD和∠BOC与α，β之间的关系。
课后反思
存在的问题：
改进的措施：

9.解:(1)因为$∠ ACD=90°$,$∠ DCE=35°$,
所以$∠ ACE=90°-35°=55°$。
因为$∠ BCE=90°$,
所以$∠ ACB=∠ ACE+∠ BCE=55°+90°=145°$。
若$∠ ACB=150°$,
因为$∠ BCE=90°$,
所以$∠ ACE=60°$。
因为$∠ ACD=90°$,
所以$∠ DCE=30°$。
故答案为$145°$,$30°$。
(2)$∠ ACB+∠ DCE=180°$。
理由:因为$∠ ACE+∠ ECD=90°$,
$∠ ECD+∠ DCB=90°$,
所以$∠ ACE+∠ ECD+∠ ECD+∠ DCB=180°$。
因为$∠ ACE+∠ ECD+∠ DCB=∠ ACB$,
所以$∠ ACB+∠ ECD=180°$。
(3)$∠ DAB+∠ EAC=120°$。
理由:因为$∠ DAE+∠ EAC=60°$,
$∠ EAC+∠ CAB=60°$,
所以$∠ DAE+∠ EAC+∠ EAC+∠ CAB=120°$。
因为$∠ DAE+∠ EAC+∠ CAB=∠ DAB$,
所以$∠ DAB+∠ EAC=120°$。
(4)$∠ AOD+∠ BOC=α+β$。

【分析】
（1）解决第一小问时，利用两个三角板的直角都是$90°$的性质，已知$∠DCE$的度数时，先通过$∠ACE=∠ACD-∠DCE$求出$∠ACE$，再结合$∠ACB=∠ACE+∠BCE$计算$∠ACB$；已知$∠ACB$时反向推导即可。
（2）探究$∠ACB$和$∠DCE$的关系时，可将两个直角的和相加，结合$∠ACB$的拆分方式，消去中间量即可得到二者的数量关系。
（3）第三问和第二问思路一致，利用两个$60°$角的和相加，拆分$∠DAB$后推导即可。
（4）将特殊角推广到一般锐角时，沿用前面的拆分思路，将$∠AOD$拆分为$∠COD+∠AOC$，即可找到和$α、β$的关系。
【解析】
(1) 因为$∠ACD=90°$，$∠DCE=35°$，
所以$∠ACE=90°-35°=55°$。
因为$∠BCE=90°$，
所以$∠ACB=∠ACE+∠BCE=55°+90°=145°$。
若$∠ACB=150°$，
因为$∠BCE=90°$，
所以$∠ACE=150°-90°=60°$。
因为$∠ACD=90°$，
所以$∠DCE=90°-60°=30°$。
(2) $∠ACB+∠DCE=180°$。
理由：因为$∠ACE+∠ECD=90°$，
$∠ECD+∠DCB=90°$，
所以$∠ACE+∠ECD+∠ECD+∠DCB=180°$。
因为$∠ACE+∠ECD+∠DCB=∠ACB$，
所以$∠ACB+∠ECD=180°$。
(3) $∠DAB+∠EAC=120°$。
理由：因为$∠DAE+∠EAC=60°$，
$∠EAC+∠CAB=60°$，
所以$∠DAE+∠EAC+∠EAC+∠CAB=120°$。
因为$∠DAE+∠EAC+∠CAB=∠DAB$，
所以$∠DAB+∠EAC=120°$。
(4) 推导：$∠AOD=∠COD+∠AOC=β+∠AOC$，$∠AOC+∠BOC=∠AOB=α$，则$∠AOD+∠BOC=β+∠AOC+∠BOC=α+β$。
【答案】
(1) $\boxed{145°}$，$\boxed{30°}$
(2) $\boxed{∠ACB + ∠DCE = 180°}$
(3) $\boxed{∠DAB + ∠EAC = 120°}$
(4) $\boxed{∠AOD + ∠BOC = α + β}$
【知识点】
角的和差运算；直角的性质；叠合角的数量关系
【点评】
本题按照从特殊到一般的逻辑设置问题，依次探究了直角、特殊锐角、任意锐角叠放时相关角的数量关系，侧重考查角的拆分与计算能力，解题的关键是找准角的重叠部分，是角的运算模块的典型题型。
【难度系数】
0.7