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4.编写的计算机的运算程序如图所示，若开始输入－1，则最后输出的结果是
$-5$
。答案
4.$-5$
解析
【分析】
解题首先要明确程序的运算规则：输入一个数后，先将该数乘3，再减去-1（即加上1），接着判断得到的结果是否小于-3，若小于则直接输出结果，若不小于，就把这个结果作为新的输入值重新代入运算，直到结果满足小于-3的条件为止。我们先把初始输入值-1代入计算，再根据判断结果决定是否需要循环计算即可。
【解析】
1. 第一次输入值为$-1$，按程序计算：
$ -1 × 3 - (-1) = -3 + 1 = -2 $
判断：$-2 ＜ -3$不成立，因此将$-2$作为新的输入值再次计算。
2. 第二次输入值为$-2$，按程序计算：
$ -2 × 3 - (-1) = -6 + 1 = -5 $
判断：$-5 ＜ -3$成立，因此输出该结果。
【答案】
$-5$
【知识点】
有理数乘法运算，有理数减法运算，流程图求值
【点评】
本题解题关键是读懂程序的运算逻辑，运算时要注意减去负数等于加上它的相反数的符号规则，还要注意若第一次运算结果不满足输出条件，需将结果循环代入计算，避免仅运算一次就直接输出的错误。
【难度系数】
0.7
解题首先要明确程序的运算规则：输入一个数后，先将该数乘3，再减去-1（即加上1），接着判断得到的结果是否小于-3，若小于则直接输出结果，若不小于，就把这个结果作为新的输入值重新代入运算，直到结果满足小于-3的条件为止。我们先把初始输入值-1代入计算，再根据判断结果决定是否需要循环计算即可。
【解析】
1. 第一次输入值为$-1$，按程序计算：
$ -1 × 3 - (-1) = -3 + 1 = -2 $
判断：$-2 ＜ -3$不成立，因此将$-2$作为新的输入值再次计算。
2. 第二次输入值为$-2$，按程序计算：
$ -2 × 3 - (-1) = -6 + 1 = -5 $
判断：$-5 ＜ -3$成立，因此输出该结果。
【答案】
$-5$
【知识点】
有理数乘法运算，有理数减法运算，流程图求值
【点评】
本题解题关键是读懂程序的运算逻辑，运算时要注意减去负数等于加上它的相反数的符号规则，还要注意若第一次运算结果不满足输出条件，需将结果循环代入计算，避免仅运算一次就直接输出的错误。
【难度系数】
0.7
5.计算：
(1)$-30×(\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{2})$；
(2)$1.25×(-6)×(-8)$。
(1)$-30×(\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{2})$；
(2)$1.25×(-6)×(-8)$。
答案
5.(1)5 (2)60
解析
【分析】
(1) 带括号的有理数混合运算，可选择乘法分配律简化计算，无需先通分计算括号内的结果，只需将括号外的因数分别与括号内的两项相乘，再将所得积相加，运算时注意遵循有理数乘法的符号规则。
(2) 多个有理数连乘时，先根据负因数的个数判断积的符号：负因数个数为偶数时积为正，负因数个数为奇数时积为负。观察数字特征可知1.25和8相乘可凑出整数，因此可以用乘法交换律调整相乘顺序，凑整后简化计算。
【解析】
(1) 计算$-30×(\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{2})$
根据乘法分配律展开：
$\begin{aligned}原式&=-30×\dfrac{1}{3} - (-30)×\dfrac{1}{2}\\&=-10 + 15\\&=5\end{aligned}$
(2) 计算$1.25×(-6)×(-8)$
式中有2个负因数，因此积为正，利用乘法交换律调整运算顺序：
$\begin{aligned}原式&=1.25×8×6\\&=10×6\\&=60\end{aligned}$
【答案】
(1)5；(2)60
【知识点】
有理数乘法法则；乘法分配律；乘法交换律
【点评】
本题是有理数乘法的基础计算题型，核心考查运算律的灵活使用，计算时优先遵循“先定符号，再算绝对值”的规则，合理运用运算律凑整可有效降低计算错误率。
【难度系数】
0.85
(1) 带括号的有理数混合运算，可选择乘法分配律简化计算，无需先通分计算括号内的结果，只需将括号外的因数分别与括号内的两项相乘，再将所得积相加，运算时注意遵循有理数乘法的符号规则。
(2) 多个有理数连乘时，先根据负因数的个数判断积的符号：负因数个数为偶数时积为正，负因数个数为奇数时积为负。观察数字特征可知1.25和8相乘可凑出整数，因此可以用乘法交换律调整相乘顺序，凑整后简化计算。
【解析】
(1) 计算$-30×(\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{2})$
根据乘法分配律展开：
$\begin{aligned}原式&=-30×\dfrac{1}{3} - (-30)×\dfrac{1}{2}\\&=-10 + 15\\&=5\end{aligned}$
(2) 计算$1.25×(-6)×(-8)$
式中有2个负因数，因此积为正，利用乘法交换律调整运算顺序：
$\begin{aligned}原式&=1.25×8×6\\&=10×6\\&=60\end{aligned}$
【答案】
(1)5；(2)60
【知识点】
有理数乘法法则；乘法分配律；乘法交换律
【点评】
本题是有理数乘法的基础计算题型，核心考查运算律的灵活使用，计算时优先遵循“先定符号，再算绝对值”的规则，合理运用运算律凑整可有效降低计算错误率。
【难度系数】
0.85
6. 利用乘法运算律进行简便计算：
(1)$(-4)×8×(-2.5)$；
(2)$(-\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{6}-\dfrac{3}{8})×(-24)$；
(3)$(+23)×\dfrac{1}{4}+(-57)×\dfrac{1}{4}+26×(-\dfrac{1}{4})$。
(1)$(-4)×8×(-2.5)$；
(2)$(-\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{6}-\dfrac{3}{8})×(-24)$；
(3)$(+23)×\dfrac{1}{4}+(-57)×\dfrac{1}{4}+26×(-\dfrac{1}{4})$。
答案
6.(1)80 (2)17 (3)$-15$
解析
【分析】
本题考查利用乘法运算律进行有理数简便计算，解题思路如下：
(1)观察算式发现-4与-2.5相乘结果为正整数，可利用乘法交换律和结合律，先将符号相同、乘积为整数的两个数结合相乘，再乘剩余的数，简化计算；
(2)算式是括号内分数的和乘整数-24，括号内各分数的分母都是24的因数，可利用乘法分配律，将括号内每个数分别与-24相乘，再把所得积相加，避免通分计算；
(3)算式中每一项都含有公因数$\frac{1}{4}$，可逆用乘法分配律，先提取公因数$\frac{1}{4}$，将剩余的系数相加后再乘公因数，简化运算。计算过程中要注意有理数乘法的符号规则，避免符号错误。
【解析】
(1) 利用乘法交换律和结合律计算：
$\begin{aligned}(-4)×8×(-2.5)&=[(-4)×(-2.5)]×8\\&=10×8\\&=80\end{aligned}$
(2) 利用乘法分配律计算：
$\begin{aligned}(-\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{6}-\dfrac{3}{8})×(-24)&=(-\dfrac{1}{2})×(-24)+\dfrac{1}{6}×(-24)+(-\dfrac{3}{8})×(-24)\\&=12-4+9\\&=17\end{aligned}$
(3) 逆用乘法分配律计算：
$\begin{aligned}(+23)×\dfrac{1}{4}+(-57)×\dfrac{1}{4}+26×(-\dfrac{1}{4})&=(23-57-26)×\dfrac{1}{4}\\&=(-60)×\dfrac{1}{4}\\&=-15\end{aligned}$
【答案】
(1)$80$；(2)$17$；(3)$-15$
【知识点】
乘法交换律与结合律；乘法分配律；有理数乘法运算
【点评】
本题重点考查乘法运算律的灵活运用，通过正用、逆用乘法分配律可以大幅降低计算量，避免通分等复杂运算，解题时需格外注意各项的符号，避免因符号判断错误失分。
【难度系数】
0.75
本题考查利用乘法运算律进行有理数简便计算，解题思路如下：
(1)观察算式发现-4与-2.5相乘结果为正整数，可利用乘法交换律和结合律，先将符号相同、乘积为整数的两个数结合相乘，再乘剩余的数，简化计算；
(2)算式是括号内分数的和乘整数-24，括号内各分数的分母都是24的因数，可利用乘法分配律，将括号内每个数分别与-24相乘，再把所得积相加，避免通分计算；
(3)算式中每一项都含有公因数$\frac{1}{4}$，可逆用乘法分配律，先提取公因数$\frac{1}{4}$，将剩余的系数相加后再乘公因数，简化运算。计算过程中要注意有理数乘法的符号规则，避免符号错误。
【解析】
(1) 利用乘法交换律和结合律计算：
$\begin{aligned}(-4)×8×(-2.5)&=[(-4)×(-2.5)]×8\\&=10×8\\&=80\end{aligned}$
(2) 利用乘法分配律计算：
$\begin{aligned}(-\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{6}-\dfrac{3}{8})×(-24)&=(-\dfrac{1}{2})×(-24)+\dfrac{1}{6}×(-24)+(-\dfrac{3}{8})×(-24)\\&=12-4+9\\&=17\end{aligned}$
(3) 逆用乘法分配律计算：
$\begin{aligned}(+23)×\dfrac{1}{4}+(-57)×\dfrac{1}{4}+26×(-\dfrac{1}{4})&=(23-57-26)×\dfrac{1}{4}\\&=(-60)×\dfrac{1}{4}\\&=-15\end{aligned}$
【答案】
(1)$80$；(2)$17$；(3)$-15$
【知识点】
乘法交换律与结合律；乘法分配律；有理数乘法运算
【点评】
本题重点考查乘法运算律的灵活运用，通过正用、逆用乘法分配律可以大幅降低计算量，避免通分等复杂运算，解题时需格外注意各项的符号，避免因符号判断错误失分。
【难度系数】
0.75
7.学习了有理数的乘法之后，老师出了两道例题，下面是小亮的计算过程，请认真
阅读并解答以下问题：
例1.计算：$99×(-18)=(100-1)×(-18)=100×(-18)-1×(-18)=-1800+18=-1782$。
例2.计算：$-24×345+25×345=(-24+25)×345=1×345=345$。
(1)上面的例1和例2中，都用到的运算律是
(2)请你参照上述例1、例2，利用运算律简便计算：
① $999×(-26)$；
② $999×\frac{11}{7}-111×\frac{45}{7}-333×(-\frac{3}{7})$。
阅读并解答以下问题：
例1.计算：$99×(-18)=(100-1)×(-18)=100×(-18)-1×(-18)=-1800+18=-1782$。
例2.计算：$-24×345+25×345=(-24+25)×345=1×345=345$。
(1)上面的例1和例2中，都用到的运算律是
乘法对加法的分配律
。(2)请你参照上述例1、例2，利用运算律简便计算：
① $999×(-26)$；
② $999×\frac{11}{7}-111×\frac{45}{7}-333×(-\frac{3}{7})$。
答案
7.解:(1)乘法对加法的分配律
(2)①原式$=(1\ 000-1)×(-26)$
$=1\ 000×(-26)-1×(-26)$
$=-26\ 000+26=-25\ 974$；
②原式$=999×\frac{11}{7}-999×\frac{5}{7}+333×\frac{3}{7}$
$=999×\frac{11}{7}-999×\frac{5}{7}+999×\frac{1}{7}$
$=999×(\frac{11}{7}-\frac{5}{7}+\frac{1}{7})=999$。
(2)①原式$=(1\ 000-1)×(-26)$
$=1\ 000×(-26)-1×(-26)$
$=-26\ 000+26=-25\ 974$；
②原式$=999×\frac{11}{7}-999×\frac{5}{7}+333×\frac{3}{7}$
$=999×\frac{11}{7}-999×\frac{5}{7}+999×\frac{1}{7}$
$=999×(\frac{11}{7}-\frac{5}{7}+\frac{1}{7})=999$。
解析
【分析】
(1) 观察例1、例2的计算过程：例1将接近整百的数拆为整百数与1的差，再分别乘乘数后相加减；例2提取两个乘法算式的公共因数，将剩余因数相加后再乘公共因数，二者均符合乘法分配律的运算形式，即可判断所用运算律。
(2) ①参照例1的思路，把999转化为1000-1，再利用乘法分配律展开计算，可避免大数直接相乘的复杂运算。②观察式子中各项的因数，999、111、333存在倍数关系，先将后两项的因数统一转化为999，再提取公共因数999，用乘法分配律合并计算即可简化求解。
【解析】
(1) 例1运用$(a-b)×c=a×c-b×c$，例2运用$a×c+b×c=(a+b)×c$，均属于乘法对加法的分配律。
(2) ① 计算$999×(-26)$：
将999改写为$1000-1$，代入原式得：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=(1000-1)×(-26)\\&=1000×(-26)-1×(-26)\\&=-26000+26\\&=-25974\end{aligned}$
② 计算$999×\frac{11}{7}-111×\frac{45}{7}-333×(-\frac{3}{7})$：
先根据因数倍数关系变形：$111×\frac{45}{7}=999×\frac{5}{7}$，$333×\frac{3}{7}=999×\frac{1}{7}$，代入得：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=999×\frac{11}{7}-999×\frac{5}{7}+999×\frac{1}{7}\\&=999×(\frac{11}{7}-\frac{5}{7}+\frac{1}{7})\\&=999×1\\&=999\end{aligned}$
【答案】
(1) 乘法对加法的分配律
(2) ① $\boldsymbol{-25974}$；② $\boldsymbol{999}$
【知识点】
乘法分配律，有理数乘法，简便运算
【点评】
本题侧重考查运算律在有理数运算中的灵活应用，通过拆数、凑公共因数的方法可以大幅降低运算量，掌握此类技巧能有效提升运算的准确率和效率。
【难度系数】
0.7
(1) 观察例1、例2的计算过程：例1将接近整百的数拆为整百数与1的差，再分别乘乘数后相加减；例2提取两个乘法算式的公共因数，将剩余因数相加后再乘公共因数，二者均符合乘法分配律的运算形式，即可判断所用运算律。
(2) ①参照例1的思路，把999转化为1000-1，再利用乘法分配律展开计算，可避免大数直接相乘的复杂运算。②观察式子中各项的因数，999、111、333存在倍数关系，先将后两项的因数统一转化为999，再提取公共因数999，用乘法分配律合并计算即可简化求解。
【解析】
(1) 例1运用$(a-b)×c=a×c-b×c$，例2运用$a×c+b×c=(a+b)×c$，均属于乘法对加法的分配律。
(2) ① 计算$999×(-26)$：
将999改写为$1000-1$，代入原式得：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=(1000-1)×(-26)\\&=1000×(-26)-1×(-26)\\&=-26000+26\\&=-25974\end{aligned}$
② 计算$999×\frac{11}{7}-111×\frac{45}{7}-333×(-\frac{3}{7})$：
先根据因数倍数关系变形：$111×\frac{45}{7}=999×\frac{5}{7}$，$333×\frac{3}{7}=999×\frac{1}{7}$，代入得：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=999×\frac{11}{7}-999×\frac{5}{7}+999×\frac{1}{7}\\&=999×(\frac{11}{7}-\frac{5}{7}+\frac{1}{7})\\&=999×1\\&=999\end{aligned}$
【答案】
(1) 乘法对加法的分配律
(2) ① $\boldsymbol{-25974}$；② $\boldsymbol{999}$
【知识点】
乘法分配律，有理数乘法，简便运算
【点评】
本题侧重考查运算律在有理数运算中的灵活应用，通过拆数、凑公共因数的方法可以大幅降低运算量，掌握此类技巧能有效提升运算的准确率和效率。
【难度系数】
0.7
8.“格子乘法”作为两数相乘的一种计算方法,在明代的《算法统宗》一书中被称为“铺地锦”。如图①,计算$47×51$,将乘数47计入上行,乘数51计入右列,然后用47的每位数字分别乘51的每位数字,将结果计入相应的格子中,最后按斜行加起来,得2 397。请解决下列问题:
(1) 如图②,用“格子乘法”表示$25×71$,则$a=$
(2) 借用图②结果计算:$-5×24×(-5)×71×(-\frac{1}{12})$;
(3) 观察图③,求$mn$的值。
课后反思
存在的问题:
改进的措施:
(1) 如图②,用“格子乘法”表示$25×71$,则$a=$
7
;(2) 借用图②结果计算:$-5×24×(-5)×71×(-\frac{1}{12})$;
(3) 观察图③,求$mn$的值。
课后反思
存在的问题:
改进的措施:
答案
8.解:(1)利用“格子乘法”表示即可得到a的值，
$a=5+2=7$，故答案为7。
(2)根据图可知$25×71=1\ 775$，
$-5×24×(-5)×71×(-\frac{1}{12})$
$=25×71×24×(-\frac{1}{12})$
$=(25×71)×[24×(-\frac{1}{12})]$
$=1\ 775×(-2)=-3\ 550$。
(3)如图，利用“格子乘法”表示即可得到m,n的值，即$m=3,n=5$，所以$mn=15$。
解析
【分析】
1. 第(1)问：首先明确“格子乘法”的规则：将两个乘数分别放在上行和右列，上行每位数字乘右列每位数字，结果的十位、个位分别填入对应格子的左上、右下三角，再沿斜行从右下往左上相加，相加结果从高位到低位组合就是两数的乘积，图②中a对应下方左数第一个数，是对应斜行的数字和，计算即可得解。
2. 第(2)问：利用有理数乘法的交换律和结合律，先把可简便计算的项分组：先算$(-5)×(-5)=25$，再算$24×(-\frac{1}{12})$，结合第(1)问得到的$25×71$的结果，整体相乘即可算出最终值。
3. 第(3)问：先根据格子乘法的填数规则，右上格是上行数字8乘右列数字m的结果，其左上三角为2、右下三角为4，可得$8m=24$，求出m的值，再根据斜行相加规则求出n的值，最后计算mn即可。
【解析】
(1) 按照格子乘法规则计算$25×71$：各格子乘积分别为$2×7=14$（左上格上1下4）、$2×1=02$（左下格上0下2）、$5×7=35$（右上格上3下5）、$5×1=05$（右下格上0下5）。对应a位置的斜行数字和为$2+5=7$，因此$a=7$。
(2) 利用乘法交换律、结合律变形计算：
$\begin{aligned}&-5×24×(-5)×71×(-\frac{1}{12})\\=&[(-5)×(-5)]×71×[24×(-\frac{1}{12})]\\=&25×71×(-2)\end{aligned}$
由格子乘法可得$25×71=1775$，代入得：
原式$=1775×(-2)=-3550$
(3) 观察图③，右上格是$8×m$的计算结果，其左上三角为2、右下三角为4，即$8m=24$，解得$m=3$。
对应n位置的斜行数字和为$3+2=5$，因此$n=5$，故$mn=3×5=15$。
【答案】
(1) $\boxed{7}$
(2) $\boxed{-3550}$
(3) $\boxed{15}$
【知识点】
有理数乘法运算；乘法运算律；数字规律探究
【点评】
本题以古代“铺地锦”算法为背景，既考查了对新运算规则的阅读理解能力，又考查了有理数乘法的简便运算技巧，需要将已有知识迁移应用到新场景中，兼顾了趣味性和知识性。
【难度系数】
0.6
1. 第(1)问：首先明确“格子乘法”的规则：将两个乘数分别放在上行和右列，上行每位数字乘右列每位数字，结果的十位、个位分别填入对应格子的左上、右下三角，再沿斜行从右下往左上相加，相加结果从高位到低位组合就是两数的乘积，图②中a对应下方左数第一个数，是对应斜行的数字和，计算即可得解。
2. 第(2)问：利用有理数乘法的交换律和结合律，先把可简便计算的项分组：先算$(-5)×(-5)=25$，再算$24×(-\frac{1}{12})$，结合第(1)问得到的$25×71$的结果，整体相乘即可算出最终值。
3. 第(3)问：先根据格子乘法的填数规则，右上格是上行数字8乘右列数字m的结果，其左上三角为2、右下三角为4，可得$8m=24$，求出m的值，再根据斜行相加规则求出n的值，最后计算mn即可。
【解析】
(1) 按照格子乘法规则计算$25×71$：各格子乘积分别为$2×7=14$（左上格上1下4）、$2×1=02$（左下格上0下2）、$5×7=35$（右上格上3下5）、$5×1=05$（右下格上0下5）。对应a位置的斜行数字和为$2+5=7$，因此$a=7$。
(2) 利用乘法交换律、结合律变形计算：
$\begin{aligned}&-5×24×(-5)×71×(-\frac{1}{12})\\=&[(-5)×(-5)]×71×[24×(-\frac{1}{12})]\\=&25×71×(-2)\end{aligned}$
由格子乘法可得$25×71=1775$，代入得：
原式$=1775×(-2)=-3550$
(3) 观察图③，右上格是$8×m$的计算结果，其左上三角为2、右下三角为4，即$8m=24$，解得$m=3$。
对应n位置的斜行数字和为$3+2=5$，因此$n=5$，故$mn=3×5=15$。
【答案】
(1) $\boxed{7}$
(2) $\boxed{-3550}$
(3) $\boxed{15}$
【知识点】
有理数乘法运算；乘法运算律；数字规律探究
【点评】
本题以古代“铺地锦”算法为背景，既考查了对新运算规则的阅读理解能力，又考查了有理数乘法的简便运算技巧，需要将已有知识迁移应用到新场景中，兼顾了趣味性和知识性。
【难度系数】
0.6
