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例2 计算：
(1) $3×(-\dfrac{5}{6})÷(-\dfrac{3}{4})^2$；
(2) $(-3\dfrac{1}{3})^3÷(-1\dfrac{2}{3})×(-\dfrac{2}{5})$。
(1) $3×(-\dfrac{5}{6})÷(-\dfrac{3}{4})^2$；
(2) $(-3\dfrac{1}{3})^3÷(-1\dfrac{2}{3})×(-\dfrac{2}{5})$。
答案
(1) $-\frac{40}{9}$
(2) $-\frac{80}{9}$
(2) $-\frac{80}{9}$
解析
【分析】
这两道题都是有理数的混合运算题，解题时按照有理数混合运算的逻辑逐步思考即可：
1. 先明确运算顺序：有乘方先算乘方，再算乘除（乘除为同级运算，按从左到右的顺序计算）；
2. 遇到带分数先转化为假分数，遇到除法转化为乘以除数的倒数，统一为乘法运算后更便于计算；
3. 先判断结果的符号（负因数的个数为奇数时结果为负，偶数时结果为正），再计算绝对值的乘积，计算时先约分再求值可减少计算量。
【解析】
(1) 先计算乘方，再将除法转化为乘法，最后约分计算：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=3×(-\frac{5}{6})÷\frac{9}{16}\\&=3×(-\frac{5}{6})×\frac{16}{9}\\&=-(3×\frac{5}{6}×\frac{16}{9})\\&=-\frac{40}{9}\end{aligned}$
(2) 先将带分数化为假分数，再计算乘方，随后将除法转化为乘法，最后约分计算：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=(-\frac{10}{3})^3÷(-\frac{5}{3})×(-\frac{2}{5})\\&=-\frac{1000}{27}÷(-\frac{5}{3})×(-\frac{2}{5})\\&=-\frac{1000}{27}×(-\frac{3}{5})×(-\frac{2}{5})\\&=-(\frac{1000}{27}×\frac{3}{5}×\frac{2}{5})\\&=-\frac{80}{9}\end{aligned}$
【答案】
(1) $-\dfrac{40}{9}$；(2) $-\dfrac{80}{9}$
【知识点】
1. 有理数混合运算顺序
2. 有理数乘除运算
3. 乘方的运算
【点评】
本题重点考查有理数混合运算的掌握程度，解题时需严格遵循运算顺序，注意带分数化假分数、除法转乘法的规则，尤其要准确判断运算结果的符号，计算过程中优先约分可有效提升计算效率和正确率。
【难度系数】
0.7
这两道题都是有理数的混合运算题，解题时按照有理数混合运算的逻辑逐步思考即可：
1. 先明确运算顺序：有乘方先算乘方，再算乘除（乘除为同级运算，按从左到右的顺序计算）；
2. 遇到带分数先转化为假分数，遇到除法转化为乘以除数的倒数，统一为乘法运算后更便于计算；
3. 先判断结果的符号（负因数的个数为奇数时结果为负，偶数时结果为正），再计算绝对值的乘积，计算时先约分再求值可减少计算量。
【解析】
(1) 先计算乘方，再将除法转化为乘法，最后约分计算：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=3×(-\frac{5}{6})÷\frac{9}{16}\\&=3×(-\frac{5}{6})×\frac{16}{9}\\&=-(3×\frac{5}{6}×\frac{16}{9})\\&=-\frac{40}{9}\end{aligned}$
(2) 先将带分数化为假分数，再计算乘方，随后将除法转化为乘法，最后约分计算：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=(-\frac{10}{3})^3÷(-\frac{5}{3})×(-\frac{2}{5})\\&=-\frac{1000}{27}÷(-\frac{5}{3})×(-\frac{2}{5})\\&=-\frac{1000}{27}×(-\frac{3}{5})×(-\frac{2}{5})\\&=-(\frac{1000}{27}×\frac{3}{5}×\frac{2}{5})\\&=-\frac{80}{9}\end{aligned}$
【答案】
(1) $-\dfrac{40}{9}$；(2) $-\dfrac{80}{9}$
【知识点】
1. 有理数混合运算顺序
2. 有理数乘除运算
3. 乘方的运算
【点评】
本题重点考查有理数混合运算的掌握程度，解题时需严格遵循运算顺序，注意带分数化假分数、除法转乘法的规则，尤其要准确判断运算结果的符号，计算过程中优先约分可有效提升计算效率和正确率。
【难度系数】
0.7
例3 已知$(a+1)^2$与$|b-2|$互为相反数，求$(a+b)^{2024}+a^{2025}$的值。
答案
0
解析
【分析】
解题时首先利用相反数的性质：互为相反数的两数之和为0，得到$(a+1)^2 + |b-2|=0$；再结合平方、绝对值的非负性（即两者的取值都大于等于0），可推出两个非负数各自为0，进而求出a、b的取值；最后将a、b代入所求代数式，根据乘方的运算规则计算即可得到结果。
【解析】
解：
∵$(a+1)^2$与$|b-2|$互为相反数
∴$(a+1)^2 + |b-2| = 0$
又
∵$(a+1)^2 ≥ 0$，$|b-2| ≥ 0$
∴只有当$(a+1)^2=0$且$|b-2|=0$时，等式才成立
即$a+1=0$，$b-2=0$
解得：$a=-1$，$b=2$
将$a=-1$，$b=2$代入$(a+b)^{2024}+a^{2025}$得：
原式$=(-1+2)^{2024} + (-1)^{2025}$
$=1^{2024} + (-1)$
$=1 - 1$
$=0$
【答案】
0
【知识点】
相反数的性质；非负数的性质；乘方运算
【点评】
本题是代数基础常考题，核心考点是非负数的性质，解题关键是牢记“若干个非负数的和为0时，每个非负数的值均为0”，再结合有理数的乘方运算规则即可快速求解。
【难度系数】
0.8
解题时首先利用相反数的性质：互为相反数的两数之和为0，得到$(a+1)^2 + |b-2|=0$；再结合平方、绝对值的非负性（即两者的取值都大于等于0），可推出两个非负数各自为0，进而求出a、b的取值；最后将a、b代入所求代数式，根据乘方的运算规则计算即可得到结果。
【解析】
解：
∵$(a+1)^2$与$|b-2|$互为相反数
∴$(a+1)^2 + |b-2| = 0$
又
∵$(a+1)^2 ≥ 0$，$|b-2| ≥ 0$
∴只有当$(a+1)^2=0$且$|b-2|=0$时，等式才成立
即$a+1=0$，$b-2=0$
解得：$a=-1$，$b=2$
将$a=-1$，$b=2$代入$(a+b)^{2024}+a^{2025}$得：
原式$=(-1+2)^{2024} + (-1)^{2025}$
$=1^{2024} + (-1)$
$=1 - 1$
$=0$
【答案】
0
【知识点】
相反数的性质；非负数的性质；乘方运算
【点评】
本题是代数基础常考题，核心考点是非负数的性质，解题关键是牢记“若干个非负数的和为0时，每个非负数的值均为0”，再结合有理数的乘方运算规则即可快速求解。
【难度系数】
0.8
例4计算：
(1) $-3^3 × (-\frac{1}{3})^2 -24×(\frac{3}{4}-\frac{1}{6}+\frac{3}{8})$；
(2) $-1^{100}-\frac{3}{4}÷[(-2)^2×(-\frac{1}{4})^2-\frac{1}{2}]$。
(1) $-3^3 × (-\frac{1}{3})^2 -24×(\frac{3}{4}-\frac{1}{6}+\frac{3}{8})$；
(2) $-1^{100}-\frac{3}{4}÷[(-2)^2×(-\frac{1}{4})^2-\frac{1}{2}]$。
答案
(1) -26
(2) 2
(2) 2
解析
【分析】
这两道题属于有理数混合运算题，解题需严格遵循有理数运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；有括号的先算括号内的运算，同时可灵活运用乘法分配律简化计算，降低出错率。第(1)题先计算乘方项，再对含括号的乘法部分使用乘法分配律，可避免通分计算；第(2)题先计算所有乘方项，再依次计算中括号内的运算、除法运算，最后计算加减即可。
【解析】
(1) 计算步骤：
先算乘方：$-3^3=-27$，$(-\frac{1}{3})^2=\frac{1}{9}$，再对括号部分用乘法分配律计算：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=-27 × \frac{1}{9} - (24×\frac{3}{4} - 24×\frac{1}{6} + 24×\frac{3}{8})\\&=-3 - (18 - 4 + 9)\\&=-3 - 23\\&=-26\end{aligned}$
(2) 计算步骤：
先算乘方：$-1^{100}=-1$，$(-2)^2=4$，$(-\frac{1}{4})^2=\frac{1}{16}$，再按顺序计算中括号、除法、加减：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=-1 - \frac{3}{4} ÷ (4×\frac{1}{16} - \frac{1}{2})\\&=-1 - \frac{3}{4} ÷ (\frac{1}{4} - \frac{1}{2})\\&=-1 - \frac{3}{4} ÷ (-\frac{1}{4})\\&=-1 - (-3)\\&=2\end{aligned}$
【答案】
(1) $\boldsymbol{-26}$；(2) $\boldsymbol{2}$
【知识点】
有理数混合运算，乘法分配律，乘方运算
【点评】
本题是有理数运算的常规题型，解题关键是牢记运算顺序，注意区分负数乘方和带负号的正数乘方的符号差异，合理运用运算律能有效提升计算效率和准确率，计算过程中要格外注意符号运算，避免符号错误。
【难度系数】
0.7
这两道题属于有理数混合运算题，解题需严格遵循有理数运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；有括号的先算括号内的运算，同时可灵活运用乘法分配律简化计算，降低出错率。第(1)题先计算乘方项，再对含括号的乘法部分使用乘法分配律，可避免通分计算；第(2)题先计算所有乘方项，再依次计算中括号内的运算、除法运算，最后计算加减即可。
【解析】
(1) 计算步骤：
先算乘方：$-3^3=-27$，$(-\frac{1}{3})^2=\frac{1}{9}$，再对括号部分用乘法分配律计算：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=-27 × \frac{1}{9} - (24×\frac{3}{4} - 24×\frac{1}{6} + 24×\frac{3}{8})\\&=-3 - (18 - 4 + 9)\\&=-3 - 23\\&=-26\end{aligned}$
(2) 计算步骤：
先算乘方：$-1^{100}=-1$，$(-2)^2=4$，$(-\frac{1}{4})^2=\frac{1}{16}$，再按顺序计算中括号、除法、加减：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=-1 - \frac{3}{4} ÷ (4×\frac{1}{16} - \frac{1}{2})\\&=-1 - \frac{3}{4} ÷ (\frac{1}{4} - \frac{1}{2})\\&=-1 - \frac{3}{4} ÷ (-\frac{1}{4})\\&=-1 - (-3)\\&=2\end{aligned}$
【答案】
(1) $\boldsymbol{-26}$；(2) $\boldsymbol{2}$
【知识点】
有理数混合运算，乘法分配律，乘方运算
【点评】
本题是有理数运算的常规题型，解题关键是牢记运算顺序，注意区分负数乘方和带负号的正数乘方的符号差异，合理运用运算律能有效提升计算效率和准确率，计算过程中要格外注意符号运算，避免符号错误。
【难度系数】
0.7
例 计算：
(1)$(-7.3)-(-6\dfrac{5}{6})+|-3.3|+1\dfrac{1}{6};$
(2)$3×(-\dfrac{5}{6})÷(-\dfrac{3}{4}).$
(1)$(-7.3)-(-6\dfrac{5}{6})+|-3.3|+1\dfrac{1}{6};$
(2)$3×(-\dfrac{5}{6})÷(-\dfrac{3}{4}).$
答案
(1) 4
(2) $\frac{10}{3}$
(2) $\frac{10}{3}$
解析
【分析】
(1)本题是有理数加减混合运算，解题思路：第一步先根据去括号法则化简减法、计算绝对值，将原式统一为加法运算；第二步观察数的特征，利用加法交换律和结合律，将小数部分、同分母分数部分分别组合计算，简化运算过程。
(2)本题是有理数乘除混合运算，解题思路：第一步根据除法运算法则将除法转化为乘法；第二步先确定运算结果的符号，再计算绝对值的乘积，计算过程中可以先约分再计算，降低计算量。
【解析】
(1) 先化简原式：
$(-7.3)-(-6\dfrac{5}{6})+|-3.3|+1\dfrac{1}{6}$
$=-7.3 + 6\dfrac{5}{6} + 3.3 + 1\dfrac{1}{6}$
利用加法交换律和结合律分组：
$=(-7.3 + 3.3) + (6\dfrac{5}{6} + 1\dfrac{1}{6})$
分别计算两组：
$=-4 + 8$
$=4$
(2) 先将除法转化为乘法：
$3×(-\dfrac{5}{6})÷(-\dfrac{3}{4})$
$=3×(-\dfrac{5}{6})×(-\dfrac{4}{3})$
先确定符号（负因数共2个，积为正），再约分计算：
$=3×\dfrac{5}{6}×\dfrac{4}{3}$
$=\dfrac{5}{6}×4$
$=\dfrac{10}{3}$
【答案】
(1) $\boxed{4}$；(2) $\boxed{\dfrac{10}{3}}$
【知识点】
有理数加减运算，有理数乘除运算，加法运算律
【点评】
本题是有理数运算的常规基础题型，考查运算顺序、符号判定和简便运算技巧的掌握情况，计算时优先确定结果符号、合理运用运算律能有效提升计算效率和准确率。
【难度系数】
0.85
(1)本题是有理数加减混合运算，解题思路：第一步先根据去括号法则化简减法、计算绝对值，将原式统一为加法运算；第二步观察数的特征，利用加法交换律和结合律，将小数部分、同分母分数部分分别组合计算，简化运算过程。
(2)本题是有理数乘除混合运算，解题思路：第一步根据除法运算法则将除法转化为乘法；第二步先确定运算结果的符号，再计算绝对值的乘积，计算过程中可以先约分再计算，降低计算量。
【解析】
(1) 先化简原式：
$(-7.3)-(-6\dfrac{5}{6})+|-3.3|+1\dfrac{1}{6}$
$=-7.3 + 6\dfrac{5}{6} + 3.3 + 1\dfrac{1}{6}$
利用加法交换律和结合律分组：
$=(-7.3 + 3.3) + (6\dfrac{5}{6} + 1\dfrac{1}{6})$
分别计算两组：
$=-4 + 8$
$=4$
(2) 先将除法转化为乘法：
$3×(-\dfrac{5}{6})÷(-\dfrac{3}{4})$
$=3×(-\dfrac{5}{6})×(-\dfrac{4}{3})$
先确定符号（负因数共2个，积为正），再约分计算：
$=3×\dfrac{5}{6}×\dfrac{4}{3}$
$=\dfrac{5}{6}×4$
$=\dfrac{10}{3}$
【答案】
(1) $\boxed{4}$；(2) $\boxed{\dfrac{10}{3}}$
【知识点】
有理数加减运算，有理数乘除运算，加法运算律
【点评】
本题是有理数运算的常规基础题型，考查运算顺序、符号判定和简便运算技巧的掌握情况，计算时优先确定结果符号、合理运用运算律能有效提升计算效率和准确率。
【难度系数】
0.85
