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1. 下列数据中，书写正确的八进制数是 (
A.$(408)_8$
B.$(677)_8$
C.$(659)_8$
D.$(802)_8$
B
)A.$(408)_8$
B.$(677)_8$
C.$(659)_8$
D.$(802)_8$
答案
1. B
解析
【分析】
要判断正确的八进制数，首先要明确八进制的计数规则：八进制是满8进1的进位制，因此它的每一位上只能出现0~7这8个数字，不可能出现8、9这类大于等于8的数字。解题时我们只需要逐个排查每个选项的数位上是否存在≥8的数字，即可快速排除错误选项，选出正确答案。
【解析】
八进制数的每一位数字只能取0、1、2、3、4、5、6、7，不能出现大于等于8的数字，也不能出现数字9：
选项A：$(408)_8$中含有数字8，不符合八进制的要求，错误；
选项B：$(677)_8$中的数字6、7、7均在0~7范围内，符合八进制的要求，正确；
选项C：$(659)_8$中含有数字9，不符合八进制的要求，错误；
选项D：$(802)_8$中含有数字8，不符合八进制的要求，错误。
【答案】
B
【知识点】
八进制的认识；进位制计数规则
【点评】
本题是对进位制基础概念的考查，只要牢记不同进位制的数位取值范围就能轻松解答，属于基础类题型。
【难度系数】
0.8
要判断正确的八进制数，首先要明确八进制的计数规则：八进制是满8进1的进位制，因此它的每一位上只能出现0~7这8个数字，不可能出现8、9这类大于等于8的数字。解题时我们只需要逐个排查每个选项的数位上是否存在≥8的数字，即可快速排除错误选项，选出正确答案。
【解析】
八进制数的每一位数字只能取0、1、2、3、4、5、6、7，不能出现大于等于8的数字，也不能出现数字9：
选项A：$(408)_8$中含有数字8，不符合八进制的要求，错误；
选项B：$(677)_8$中的数字6、7、7均在0~7范围内，符合八进制的要求，正确；
选项C：$(659)_8$中含有数字9，不符合八进制的要求，错误；
选项D：$(802)_8$中含有数字8，不符合八进制的要求，错误。
【答案】
B
【知识点】
八进制的认识；进位制计数规则
【点评】
本题是对进位制基础概念的考查，只要牢记不同进位制的数位取值范围就能轻松解答，属于基础类题型。
【难度系数】
0.8
2. 二进制数$(111000)_2$对应的十进制数是（
A.56
B.111
C.20
D.1 110
A
）A.56
B.111
C.20
D.1 110
答案
2. A
解析
【分析】
要解这道题，需掌握二进制转十进制的核心方法：按权展开求和法。具体思考步骤如下：1. 明确二进制数每一位的权值：从右往左数，第n位（从0开始计数）的权值为$2^n$；2. 将二进制数的每一位数字和对应权值相乘；3. 把所有乘积相加，得到的结果就是对应的十进制数。
【解析】
二进制数转换为十进制数采用按权展开相加的方法：
对于$(111000)_2$，从右到左各位的位次为0到5，计算过程如下：
$\begin{aligned}(111000)_2&=1×2^5 + 1×2^4 + 1×2^3 + 0×2^2 + 0×2^1 + 0×2^0\\&=1×32 + 1×16 +1×8 +0 +0 +0\\&=32+16+8\\&=56\end{aligned}$
【答案】
A
【知识点】
1. 进位制转换 2. 乘方运算
【点评】
本题考查二进制转十进制的基础运算，只要熟练掌握按权展开求和的换算规则，结合乘方计算就能准确求解，是进位制相关的基础题型。
【难度系数】
0.8
要解这道题，需掌握二进制转十进制的核心方法：按权展开求和法。具体思考步骤如下：1. 明确二进制数每一位的权值：从右往左数，第n位（从0开始计数）的权值为$2^n$；2. 将二进制数的每一位数字和对应权值相乘；3. 把所有乘积相加，得到的结果就是对应的十进制数。
【解析】
二进制数转换为十进制数采用按权展开相加的方法：
对于$(111000)_2$，从右到左各位的位次为0到5，计算过程如下：
$\begin{aligned}(111000)_2&=1×2^5 + 1×2^4 + 1×2^3 + 0×2^2 + 0×2^1 + 0×2^0\\&=1×32 + 1×16 +1×8 +0 +0 +0\\&=32+16+8\\&=56\end{aligned}$
【答案】
A
【知识点】
1. 进位制转换 2. 乘方运算
【点评】
本题考查二进制转十进制的基础运算，只要熟练掌握按权展开求和的换算规则，结合乘方计算就能准确求解，是进位制相关的基础题型。
【难度系数】
0.8
3. 十进制数100转换成二进制数是 （
A.$(1100100)_2$
B.$(1100101)_2$
C.$(1100110)_2$
D.$(1101000)_2$
A
）A.$(1100100)_2$
B.$(1100101)_2$
C.$(1100110)_2$
D.$(1101000)_2$
答案
3. A
解析
【分析】
要完成十进制数转二进制数的计算，我们可以用课本教授的“除2取余法”解题，思路如下：将待转换的十进制数反复除以2，每次记录得到的余数，直到商为0时停止运算，最后把所有余数按照从最后得到的余数到最先得到的余数的顺序倒序排列，就是对应的二进制数。
【解析】
对十进制数100按除2取余法逐步计算：
1. $100÷2=50$，余数为0
2. $50÷2=25$，余数为0
3. $25÷2=12$，余数为1
4. $12÷2=6$，余数为0
5. $6÷2=3$，余数为0
6. $3÷2=1$，余数为1
7. $1÷2=0$，余数为1
将余数从后往前倒序排列，得到1100100，即对应的二进制数是$(1100100)_2$，对应选项A。
【答案】A
【知识点】
十进制转二进制；进位制换算
【点评】
本题是进位制转换的基础题型，主要考察十进制转二进制的核心方法“除2取余，倒序排列”，掌握该方法就能快速准确求出结果。
【难度系数】
0.8
要完成十进制数转二进制数的计算，我们可以用课本教授的“除2取余法”解题，思路如下：将待转换的十进制数反复除以2，每次记录得到的余数，直到商为0时停止运算，最后把所有余数按照从最后得到的余数到最先得到的余数的顺序倒序排列，就是对应的二进制数。
【解析】
对十进制数100按除2取余法逐步计算：
1. $100÷2=50$，余数为0
2. $50÷2=25$，余数为0
3. $25÷2=12$，余数为1
4. $12÷2=6$，余数为0
5. $6÷2=3$，余数为0
6. $3÷2=1$，余数为1
7. $1÷2=0$，余数为1
将余数从后往前倒序排列，得到1100100，即对应的二进制数是$(1100100)_2$，对应选项A。
【答案】A
【知识点】
十进制转二进制；进位制换算
【点评】
本题是进位制转换的基础题型，主要考察十进制转二进制的核心方法“除2取余，倒序排列”，掌握该方法就能快速准确求出结果。
【难度系数】
0.8
4. 十进制数2 004 等值于八进制数（
A.$(3077)_8$
B.$(3724)_8$
C.$(2766)_8$
D.$(4002)_8$
B
）A.$(3077)_8$
B.$(3724)_8$
C.$(2766)_8$
D.$(4002)_8$
答案
4. B
解析
【分析】
要解决十进制数转八进制数的问题，有两种常用思路：①正向转换：用十进制转八进制的通用方法「除8取余法」，即反复将十进制数除以8，记录每次得到的余数，直到商为0，再把余数按从最后一次到第一次的顺序逆序排列，就是对应的八进制数；②反向验证：将选项中的八进制数按权展开，换算成十进制数，找出结果等于2004的选项即可。
【解析】
我们用除8取余法计算：
1. $2004 ÷ 8 = 250$，余数为$4$；
2. $250 ÷ 8 = 31$，余数为$2$；
3. $31 ÷ 8 = 3$，余数为$7$；
4. $3 ÷ 8 = 0$，余数为$3$。
将余数按逆序（从最后一次得到的余数到第一次得到的余数）排列，得到$3、7、2、4$，即十进制2004对应的八进制数为$(3724)_8$。
也可验证选项B：将$(3724)_8$转十进制，按权展开得$3×8^3 + 7×8^2 + 2×8^1 + 4×8^0 = 3×512 + 7×64 + 2×8 + 4 = 1536 + 448 + 16 + 4 = 2004$，符合题意。
【答案】
B
【知识点】
进位制转换、除基取余法、按权展开求和
【点评】
本题是进位制相关的基础题型，重点考察十进制与八进制的互化方法，熟练掌握除基取余和按权展开两种核心方法即可快速解题。
【难度系数】
0.8
要解决十进制数转八进制数的问题，有两种常用思路：①正向转换：用十进制转八进制的通用方法「除8取余法」，即反复将十进制数除以8，记录每次得到的余数，直到商为0，再把余数按从最后一次到第一次的顺序逆序排列，就是对应的八进制数；②反向验证：将选项中的八进制数按权展开，换算成十进制数，找出结果等于2004的选项即可。
【解析】
我们用除8取余法计算：
1. $2004 ÷ 8 = 250$，余数为$4$；
2. $250 ÷ 8 = 31$，余数为$2$；
3. $31 ÷ 8 = 3$，余数为$7$；
4. $3 ÷ 8 = 0$，余数为$3$。
将余数按逆序（从最后一次得到的余数到第一次得到的余数）排列，得到$3、7、2、4$，即十进制2004对应的八进制数为$(3724)_8$。
也可验证选项B：将$(3724)_8$转十进制，按权展开得$3×8^3 + 7×8^2 + 2×8^1 + 4×8^0 = 3×512 + 7×64 + 2×8 + 4 = 1536 + 448 + 16 + 4 = 2004$，符合题意。
【答案】
B
【知识点】
进位制转换、除基取余法、按权展开求和
【点评】
本题是进位制相关的基础题型，重点考察十进制与八进制的互化方法，熟练掌握除基取余和按权展开两种核心方法即可快速解题。
【难度系数】
0.8
5. 二进制数$(101110)_2$转换为八进制数是 （
A.$(45)_8$
B.$(56)_8$
C.$(67)_8$
D.$(76)_8$
B
）A.$(45)_8$
B.$(56)_8$
C.$(67)_8$
D.$(76)_8$
答案
5. B
解析
【分析】
要解决二进制转八进制的问题，首先回忆两者的换算关系：因为$8=2^3$，所以每3位二进制数对应1位八进制数。解题思路是：第一步将二进制数从右往左每3位分为一组，若最左侧不足3位则补0凑齐3位；第二步将每一组二进制数换算为对应的十进制数，按原来的顺序拼接后就是对应的八进制数。
【解析】
对二进制数$(101110)_2$进行分组：
该数共6位，从右往左每3位分一组，可分为两组：左侧组为$101$，右侧组为$110$。
分别计算每组对应的数值：
左侧组$101$：$1×2^2 + 0×2^1 +1×2^0 =4+0+1=5$
右侧组$110$：$1×2^2 +1×2^1 +0×2^0=4+2+0=6$
将两组的结果按顺序拼接，得到对应的八进制数为$(56)_8$。
【答案】
B
【知识点】
进位制换算；二进制与八进制互转
【点评】
本题考查不同进位制之间的转换，核心是掌握二进制转八进制的分组转换规则，熟练计算每组二进制对应的数值即可快速得出结果，是进位制部分的基础题型。
【难度系数】
0.8
要解决二进制转八进制的问题，首先回忆两者的换算关系：因为$8=2^3$，所以每3位二进制数对应1位八进制数。解题思路是：第一步将二进制数从右往左每3位分为一组，若最左侧不足3位则补0凑齐3位；第二步将每一组二进制数换算为对应的十进制数，按原来的顺序拼接后就是对应的八进制数。
【解析】
对二进制数$(101110)_2$进行分组：
该数共6位，从右往左每3位分一组，可分为两组：左侧组为$101$，右侧组为$110$。
分别计算每组对应的数值：
左侧组$101$：$1×2^2 + 0×2^1 +1×2^0 =4+0+1=5$
右侧组$110$：$1×2^2 +1×2^1 +0×2^0=4+2+0=6$
将两组的结果按顺序拼接，得到对应的八进制数为$(56)_8$。
【答案】
B
【知识点】
进位制换算；二进制与八进制互转
【点评】
本题考查不同进位制之间的转换，核心是掌握二进制转八进制的分组转换规则，熟练计算每组二进制对应的数值即可快速得出结果，是进位制部分的基础题型。
【难度系数】
0.8
6. 算式$2008-(3723)_8$的结果是（
A.$(-1715)_8$
B.$5$
C.$(-5)_{16}$
D.$(111)_2$
B
）A.$(-1715)_8$
B.$5$
C.$(-5)_{16}$
D.$(111)_2$
答案
6. B
解析
【分析】
解题首先要明确不同进制的数不能直接运算，需要先统一为同一进制再计算。我们的思路是：第一步先将八进制数$(3723)_8$用按权展开法转换为十进制数，第二步计算十进制数2008与转换后结果的差，第三步将计算结果和各选项的进制数值对比，选出正确答案。
【解析】
1. 把八进制数$(3723)_8$转换为十进制数，按权展开计算：
$\begin{aligned}(3723)_8&=3×8^3 + 7×8^2 + 2×8^1 + 3×8^0\\&=3×512 + 7×64 + 2×8 + 3×1\\&=1536 + 448 + 16 + 3\\&=2003\end{aligned}$
2. 计算算式结果：$2008 - 2003 = 5$
3. 对比选项：
A选项$(-1715)_8$是负的八进制数，结果不符；
B选项为5，和计算结果一致；
C选项$(-5)_{16}$是负的十六进制数，结果不符；
D选项$(111)_2=1×2^2+1×2^1+1×2^0=7$，结果不符。
因此选B。
【答案】
B
【知识点】
1. 八进制转十进制
2. 按权展开法
3. 不同进制运算
【点评】
本题是进位制的基础运算题，核心考点是不同进制转十进制的按权展开法，解题时需先统一进制再进行运算，熟练掌握进制转换规则就能快速解题。
【难度系数】
0.8
解题首先要明确不同进制的数不能直接运算，需要先统一为同一进制再计算。我们的思路是：第一步先将八进制数$(3723)_8$用按权展开法转换为十进制数，第二步计算十进制数2008与转换后结果的差，第三步将计算结果和各选项的进制数值对比，选出正确答案。
【解析】
1. 把八进制数$(3723)_8$转换为十进制数，按权展开计算：
$\begin{aligned}(3723)_8&=3×8^3 + 7×8^2 + 2×8^1 + 3×8^0\\&=3×512 + 7×64 + 2×8 + 3×1\\&=1536 + 448 + 16 + 3\\&=2003\end{aligned}$
2. 计算算式结果：$2008 - 2003 = 5$
3. 对比选项：
A选项$(-1715)_8$是负的八进制数，结果不符；
B选项为5，和计算结果一致；
C选项$(-5)_{16}$是负的十六进制数，结果不符；
D选项$(111)_2=1×2^2+1×2^1+1×2^0=7$，结果不符。
因此选B。
【答案】
B
【知识点】
1. 八进制转十进制
2. 按权展开法
3. 不同进制运算
【点评】
本题是进位制的基础运算题，核心考点是不同进制转十进制的按权展开法，解题时需先统一进制再进行运算，熟练掌握进制转换规则就能快速解题。
【难度系数】
0.8
