例5 如图所示,某长方形广场的四角都有一块半径相同的扇形草地,若扇形的半径为r m,长方形长为a m,宽为b m.
(1)请用代数式表示空地的面积;
(2)若长方形长为300 m,宽为200 m,扇形的半径为10 m,求广场空地的面积(计算结果保留π).

例5题图

(1) $(ab-π r^2)\mathrm{m}^2$；(2) $(60\ 000-100π)\mathrm{m}^2$.

【分析】
解题时先明确空地面积的计算逻辑：空地面积=长方形广场总面积-四块扇形草地的总面积。首先回忆长方形面积公式，再观察四个扇形的特征：四个扇形半径相等，每个扇形的圆心角都是90°，因此四个扇形可以拼接成1个完整的圆，草地总面积就等于这个整圆的面积，据此即可列出空地面积的代数式；第二问直接将已知的数值代入第一问得到的代数式计算即可得到结果。
【解析】
(1) 首先计算长方形广场的面积：根据长方形面积公式，长方形面积 = 长×宽 = $ab\ \mathrm{m}^2$。
再计算四块扇形草地的总面积：每个扇形是圆心角为90°的四分之一圆，四个扇形的面积之和为 $4×\frac{1}{4}π r^2=π r^2\ \mathrm{m}^2$。
因此空地的面积 = 长方形面积 - 四块扇形面积和，即 $(ab-π r^2)\mathrm{m}^2$。
(2) 将$a=300$，$b=200$，$r=10$代入(1)中得到的代数式：
$ab-π r^2 = 300×200 - π×10^2 = 60000 - 100π$
因此广场空地的面积为 $(60000-100π)\mathrm{m}^2$。
【答案】
(1) $(ab-π r^2)\mathrm{m}^2$；(2) $(60\ 000-100π)\mathrm{m}^2$
【知识点】
1. 列代数式
2. 扇形面积计算
3. 代数式求值
【点评】
本题属于组合图形面积计算的基础题，解题的核心是观察到四个半径相同的直角扇形可以拼成一个完整的圆，从而简化阴影部分面积的计算，同时也考查了代数式的规范书写和代入求值的运算能力。
【难度系数】
0.8

例1 如果$a + b = 5$，那么$(a + b)^2 - 4(a + b) = \_\_\_\_\_\_$

5

【分析】
观察所求代数式可知，式子中仅出现了$a+b$这一整体组合，已知条件已经直接给出$a+b=5$，因此不需要单独求解$a$、$b$的取值，直接将$a+b=5$作为一个整体代入待求式，按照先乘方、再乘法、最后减法的运算顺序计算即可得到结果。
【解析】
解：已知$a + b = 5$，将其整体代入$(a + b)^2 - 4(a + b)$得：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=5^2 - 4×5\\&=25 - 20\\&=5\end{aligned}$
【答案】
5
【知识点】
代数式求值；整体代入法
【点评】
本题考查代数式的化简求值，核心是掌握整体代入的解题思路，无需计算单个字母的取值即可快速求解，能有效简化运算步骤，降低计算错误的概率。
【难度系数】
0.9

例2若$x^2 + 2x -1 =0$，则$3x^2 +6x -2$的值是。

1

【分析】
解题时先观察已知方程和待求代数式的特征，发现待求式中$3x^2+6x$恰好是已知方程中$x^2+2x$的3倍，不需要求解$x$的具体值，采用整体代入的方法计算更简便。首先从已知方程整理得出$x^2+2x$的值，再将待求式变形为含有$x^2+2x$的形式，最后代入计算即可。
【解析】
已知$x^2 + 2x -1 =0$，移项可得：$x^2 + 2x = 1$。
对待求式$3x^2 +6x -2$变形，提取公因数3得：
$3x^2 +6x -2 = 3(x^2 + 2x) - 2$
将$x^2 + 2x =1$代入上式：
原式$= 3×1 - 2 = 3 - 2 = 1$
【答案】
1
【知识点】
代数式求值、整体代入思想
【点评】
本题考查代数式求值的常用技巧，解题核心是观察到两个式子之间的倍数关系，运用整体代入法规避复杂计算，是代数式求值类问题的典型考法。
【难度系数】
0.7

例3如图,某纪念馆要在两块紧挨在一起的长方形荒地上修建一个半圆形花圃,尺寸如图所示(单位:m).
(1)求阴影部分的面积(用含x的代数式表示,结果保留π);
(2)当x=9时,求阴影部分的面积(π取3).

例3题图

(1) $S_{阴影}=(6x-20-\dfrac{9π}{2})\mathrm{m}^2$；(2) $\dfrac{41}{2}\ \mathrm{m}^2$.

【分析】
求解阴影部分面积可采用“和差法”：阴影面积等于两个长方形的总面积减去半圆形花圃的面积。第一步先分别计算两个长方形的面积，相加得到总面积；第二步根据半圆直径（等于垂直方向总高度2+4=6m）计算半圆的面积；第三步用总面积减去半圆面积即可得到含x的阴影面积表达式。第二问直接将x=9、π=3代入第一问得到的代数式计算即可。
【解析】
(1) 先计算两个长方形的总面积：
下方长方形的长为$(x-2)\mathrm{m}$，宽为$2\mathrm{m}$，面积为$2(x-2)\mathrm{m}^2$；
上方长方形的长为$(x-2-2)=(x-4)\mathrm{m}$，宽为$4\mathrm{m}$，面积为$4(x-4)\mathrm{m}^2$。
两个长方形总面积为：
$2(x-2)+4(x-4)=2x-4+4x-16=(6x-20)\mathrm{m}^2$
再计算半圆的面积：
半圆的直径为$2+4=6\mathrm{m}$，因此半径$r=3\mathrm{m}$，半圆面积为：
$\frac{1}{2}π r^2=\frac{1}{2}π×3^2=\frac{9π}{2}\mathrm{m}^2$
因此阴影部分面积为：
$S_{阴影}=$长方形总面积$-$半圆面积$=(6x-20-\frac{9π}{2})\mathrm{m}^2$
(2) 当$x=9$，$π=3$时，代入上述表达式得：
$S_{阴影}=6×9-20-\frac{9×3}{2}=54-20-\frac{27}{2}=34-\frac{27}{2}=\frac{41}{2}\mathrm{m}^2$
【答案】
(1) $S_{阴影}=(6x-20-\dfrac{9π}{2})\mathrm{m}^2$；(2) $\dfrac{41}{2}\ \mathrm{m}^2$
【知识点】
列代数式，整式加减运算，圆的面积计算
【点评】
本题属于组合图形面积的常规考题，核心解题思路是将不规则图形的面积转化为规则图形面积的和差，再结合整式运算和代数求值求解，掌握规则图形面积公式即可顺利解题。
【难度系数】
0.7