登录
【例3】在平面直角坐标系中，将抛物线$y = x^{2}+bx + c$先向左平移$2$个单位长度，再向上平移$3$个单位长度得到抛物线$y = x^{2}-2x + 1$。
(1) 试确定$b$和$c$的值；
(2) 设$A(x_{1},y_{1})$，$B(x_{2},y_{2})$是抛物线$y = x^{2}-2x + 1$上的两点，且$0\lt x_{1}\lt1$，$x_{2}\gt2$，试判断$y_{1}$和$y_{2}$的大小关系。
思考1：研究抛物线$y = ax^{2}+bx + c$的平移问题，应先把$y = ax^{2}+bx + c$化为什么形式？
思考2：要判断$y_{1}$和$y_{2}$的大小关系，只需判断抛物线的开口方向及$A$，$B$两点与对称轴的
解：
(一题多解)试用其他方法确定$b$和$c$的值。
(1) 试确定$b$和$c$的值；
(2) 设$A(x_{1},y_{1})$，$B(x_{2},y_{2})$是抛物线$y = x^{2}-2x + 1$上的两点，且$0\lt x_{1}\lt1$，$x_{2}\gt2$，试判断$y_{1}$和$y_{2}$的大小关系。
思考1：研究抛物线$y = ax^{2}+bx + c$的平移问题，应先把$y = ax^{2}+bx + c$化为什么形式？
思考2：要判断$y_{1}$和$y_{2}$的大小关系，只需判断抛物线的开口方向及$A$，$B$两点与对称轴的
距离大小
。解：
(一题多解)试用其他方法确定$b$和$c$的值。
答案
1.$b=-6,c=6.$ $y_{2}＞y_{1}.$
2.距离大小
(一题多解)$\left\{\begin{array}{l} b=-6,\\ c=6.\end{array}\right. $
2.距离大小
(一题多解)$\left\{\begin{array}{l} b=-6,\\ c=6.\end{array}\right. $
5. 在同一平面直角坐标系内，将函数$y = 2x^{2}+4x + 1$的图象向右平移$2$个单位长度后，再向下平移$1$个单位长度，得到图象的顶点坐标是(
A.$(-1,1)$
B.$(1,-2)$
C.$(2,-2)$
D.$(1,-1)$
B
)A.$(-1,1)$
B.$(1,-2)$
C.$(2,-2)$
D.$(1,-1)$
答案
5.B
解析
解：$y=2x^{2}+4x + 1=2(x^{2}+2x)+1=2(x^{2}+2x+1 - 1)+1=2(x+1)^{2}-2 + 1=2(x+1)^{2}-1$，顶点坐标为$(-1,-1)$。
向右平移$2$个单位长度，顶点横坐标变为$-1 + 2=1$；向下平移$1$个单位长度，顶点纵坐标变为$-1-1=-2$。
得到图象的顶点坐标是$(1,-2)$。
B
向右平移$2$个单位长度，顶点横坐标变为$-1 + 2=1$；向下平移$1$个单位长度，顶点纵坐标变为$-1-1=-2$。
得到图象的顶点坐标是$(1,-2)$。
B
6. 若点$(-1,y_{1})$，$(3,y_{2})$在抛物线$y = -\frac{1}{2}x^{2}+x-\frac{1}{2}+c$上，则$y_{1}$，$y_{2}$的大小关系为（ ）
A.$y_{1}\gt y_{2}$
B.$y_{1}= y_{2}$
C.$y_{1}\lt y_{2}$
D.无法确定
A.$y_{1}\gt y_{2}$
B.$y_{1}= y_{2}$
C.$y_{1}\lt y_{2}$
D.无法确定
答案
6.B
解析
当$x=-1$时，$y_{1}=-\frac{1}{2}×(-1)^{2}+(-1)-\frac{1}{2}+c=-\frac{1}{2}-1-\frac{1}{2}+c=-2 + c$；
当$x=3$时，$y_{2}=-\frac{1}{2}×3^{2}+3-\frac{1}{2}+c=-\frac{9}{2}+3-\frac{1}{2}+c=-2 + c$；
$y_{1}=y_{2}$，选B。
当$x=3$时，$y_{2}=-\frac{1}{2}×3^{2}+3-\frac{1}{2}+c=-\frac{9}{2}+3-\frac{1}{2}+c=-2 + c$；
$y_{1}=y_{2}$，选B。
1. 二次函数$y = x^{2}+2x - 5$有（ ）
A.最大值$-5$
B.最小值$-5$
C.最大值$-6$
D.最小值$-6$
A.最大值$-5$
B.最小值$-5$
C.最大值$-6$
D.最小值$-6$
答案
1.D
解析
对于二次函数$y = x^{2}+2x - 5$，其中$a = 1$，$b = 2$，$c=-5$。因为$a=1＞0$，所以抛物线开口向上，函数有最小值。
对称轴为$x=-\frac{b}{2a}=-\frac{2}{2×1}=-1$。
将$x = -1$代入函数可得：
$y=(-1)^{2}+2×(-1)-5=1 - 2 - 5=-6$。
所以该二次函数有最小值$-6$。
D
对称轴为$x=-\frac{b}{2a}=-\frac{2}{2×1}=-1$。
将$x = -1$代入函数可得：
$y=(-1)^{2}+2×(-1)-5=1 - 2 - 5=-6$。
所以该二次函数有最小值$-6$。
D
2. 已知抛物线$y = ax^{2}+bx + c(a\neq0)$在平面直角坐标系中的位置如图22.1.4 - 4所示，则下列结论中，正确的是（ ）
A.$a\gt0$
B.$b\lt0$
C.$c\lt0$
D.$a + b + c\gt0$
A.$a\gt0$
B.$b\lt0$
C.$c\lt0$
D.$a + b + c\gt0$
答案
2.D
解析
解：
A. 抛物线开口向下，$\therefore a\lt0$，A错误；
B. 对称轴$x=-\frac{b}{2a}\gt0$，$a\lt0$，$\therefore b\gt0$，B错误；
C. 抛物线与$y$轴交于正半轴，$\therefore c\gt0$，C错误；
D. 当$x=1$时，$y=a+b+c\gt0$（图中点$(1,y)$在$x$轴上方），D正确。
结论：D
A. 抛物线开口向下，$\therefore a\lt0$，A错误；
B. 对称轴$x=-\frac{b}{2a}\gt0$，$a\lt0$，$\therefore b\gt0$，B错误；
C. 抛物线与$y$轴交于正半轴，$\therefore c\gt0$，C错误；
D. 当$x=1$时，$y=a+b+c\gt0$（图中点$(1,y)$在$x$轴上方），D正确。
结论：D
3. 对于二次函数$y = -x^{2}+4x - 5$，当$x$_________$$时，$y$随$x$的增大而减小。
答案
3.$＞2$
4. 若抛物线$y = x^{2}-6x + c$的顶点在$x$轴上，则$c = $
9
$$。答案
4.9
解析
解：对于抛物线$y = x^{2}-6x + c$，其顶点的纵坐标为$\frac{4ac - b^{2}}{4a}$，其中$a = 1$，$b=-6$，$c$为待求常数。
因为顶点在$x$轴上，所以顶点的纵坐标为$0$，即：
$\frac{4×1× c - (-6)^{2}}{4×1}=0$
$\frac{4c - 36}{4}=0$
$4c - 36 = 0$
$4c = 36$
$c = 9$
9
因为顶点在$x$轴上，所以顶点的纵坐标为$0$，即：
$\frac{4×1× c - (-6)^{2}}{4×1}=0$
$\frac{4c - 36}{4}=0$
$4c - 36 = 0$
$4c = 36$
$c = 9$
9
1. 若点$A(-4,y_{1})$，$B(-3,y_{2})$，$C(1,y_{3})$为二次函数$y = x^{2}+4x - 5$的图象上的三点，则$y_{1}$，$y_{2}$，$y_{3}$的大小关系是(
A.$y_{1}\lt y_{2}\lt y_{3}$
B.$y_{2}\lt y_{1}\lt y_{3}$
C.$y_{3}\lt y_{1}\lt y_{2}$
D.$y_{1}\lt y_{3}\lt y_{2}$
B
)A.$y_{1}\lt y_{2}\lt y_{3}$
B.$y_{2}\lt y_{1}\lt y_{3}$
C.$y_{3}\lt y_{1}\lt y_{2}$
D.$y_{1}\lt y_{3}\lt y_{2}$
答案
1.B
解析
当$x=-4$时，$y_{1}=(-4)^{2}+4×(-4)-5=16-16-5=-5$；
当$x=-3$时，$y_{2}=(-3)^{2}+4×(-3)-5=9-12-5=-8$；
当$x=1$时，$y_{3}=1^{2}+4×1-5=1+4-5=0$；
因为$-8\lt -5\lt 0$，所以$y_{2}\lt y_{1}\lt y_{3}$。
B
当$x=-3$时，$y_{2}=(-3)^{2}+4×(-3)-5=9-12-5=-8$；
当$x=1$时，$y_{3}=1^{2}+4×1-5=1+4-5=0$；
因为$-8\lt -5\lt 0$，所以$y_{2}\lt y_{1}\lt y_{3}$。
B
2. 已知抛物线$y = ax^{2}+bx$和直线$y = ax + b$，则它们在同一平面直角坐标系内的图象可能是(
A.
B.
C.
D.
D
)A.
B.
C.
D.
答案
2.D
解析
解：联立抛物线与直线方程：$ax^{2}+bx=ax + b$，化简得$ax^{2}+(b - a)x - b=0$，因式分解为$(ax + b)(x - 1)=0$，解得$x=1$或$x=-\frac{b}{a}$，故两函数图象必有交点$(1,a + b)$。
对各选项分析：
选项A：抛物线开口向下，$a＜0$；直线过一、三象限，$a＞0$，矛盾，排除。
选项B：抛物线开口向下，$a＜0$；直线过二、四象限，$a＜0$，但抛物线对称轴$x=-\frac{b}{2a}＞0$，则$b＞0$，直线与$y$轴交点$(0,b)$应在正半轴，图中直线与$y$轴交于负半轴，矛盾，排除。
选项C：抛物线开口向上，$a＞0$；直线过二、四象限，$a＜0$，矛盾，排除。
选项D：抛物线开口向上，$a＞0$；直线过一、三象限，$a＞0$，抛物线对称轴$x=-\frac{b}{2a}＞0$，则$b＜0$，直线与$y$轴交点$(0,b)$在负半轴，且两图象交点横坐标包含$x=1$，符合题意。
结论：D
对各选项分析：
选项A：抛物线开口向下，$a＜0$；直线过一、三象限，$a＞0$，矛盾，排除。
选项B：抛物线开口向下，$a＜0$；直线过二、四象限，$a＜0$，但抛物线对称轴$x=-\frac{b}{2a}＞0$，则$b＞0$，直线与$y$轴交点$(0,b)$应在正半轴，图中直线与$y$轴交于负半轴，矛盾，排除。
选项C：抛物线开口向上，$a＞0$；直线过二、四象限，$a＜0$，矛盾，排除。
选项D：抛物线开口向上，$a＞0$；直线过一、三象限，$a＞0$，抛物线对称轴$x=-\frac{b}{2a}＞0$，则$b＜0$，直线与$y$轴交点$(0,b)$在负半轴，且两图象交点横坐标包含$x=1$，符合题意。
结论：D
