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3. (浙江宁波中考) 抛物线$y = x^{2}-2x + m^{2}+2$($m$是常数)的顶点在(
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
A
)A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
答案
3.A
解析
将抛物线$y = x^{2}-2x + m^{2}+2$化为顶点式：$y=(x - 1)^{2}+m^{2}+1$，顶点坐标为$(1, m^{2}+1)$。
因为$1＞0$，$m^{2}+1\geq1＞0$，所以顶点在第一象限。
A
因为$1＞0$，$m^{2}+1\geq1＞0$，所以顶点在第一象限。
A
4. 在二次函数$y = x^{2}+ax + b$中，若$a + b = 0$，则它的图象必经过点(
A.$(-1,-1)$
B.$(1,-1)$
C.$(1,1)$
D.$(-1,1)$
C
)A.$(-1,-1)$
B.$(1,-1)$
C.$(1,1)$
D.$(-1,1)$
答案
4.C
解析
当$x = 1$时，$y=1^{2}+a×1 + b=1 + a + b$。
因为$a + b = 0$，所以$y=1 + 0=1$。
故二次函数图象必经过点$(1,1)$。
C
因为$a + b = 0$，所以$y=1 + 0=1$。
故二次函数图象必经过点$(1,1)$。
C
5. 在平面直角坐标系中，若将抛物线$y = 2x^{2}-4x + 3$先向右平移$3$个单位长度，再向上平移$2$个单位长度，则经过这两次平移后所得抛物线的顶点坐标是
(4,3)
。答案
5.(4,3)
解析
解：$y=2x^{2}-4x + 3=2(x^{2}-2x)+3=2(x-1)^{2}+1$，顶点坐标为$(1,1)$。向右平移$3$个单位长度后顶点坐标为$(1+3,1)=(4,1)$，再向上平移$2$个单位长度后顶点坐标为$(4,1+2)=(4,3)$。(4,3)
6. 抛物线$y = a(x + 1)(x - 3)$的对称轴是直线
$x=1$
。答案
6.$x=1$
7. (天津中考) 已知抛物线$y = x^{2}-4x + 3$与$x$轴相交于点$A$，$B$(点$A$在点$B$左侧)，顶点为$M$。平移该抛物线，使点$M$平移后的对应点$M'$落在$x$轴上，点$B$平移后的对应点$B'$落在$y$轴上，则平移后的抛物线对应的函数解析式为(
A.$y = x^{2}+2x + 1$
B.$y = x^{2}+2x - 1$
C.$y = x^{2}-2x + 1$
D.$y = x^{2}-2x - 1$
A
)A.$y = x^{2}+2x + 1$
B.$y = x^{2}+2x - 1$
C.$y = x^{2}-2x + 1$
D.$y = x^{2}-2x - 1$
答案
7.A
8. 二次函数$y = ax^{2}+bx + c$图象的一部分如图22.1.4 - 5所示，其对称轴为直线$x = -1$，且过点$(-3,0)$，下列说法：①$abc\lt0$；②$2a - b = 0$；③$4a + 2b + c\lt0$；④若$(-5,y_{1})$，$\left(\frac{5}{2},y_{2}\right)$是抛物线上两点，则$y_{1}\gt y_{2}$。其中正确的是(
A.①②③
B.②③
C.①②④
D.②③④
C
)A.①②③
B.②③
C.①②④
D.②③④
答案
8.C
解析
解：①由抛物线开口向上得$a＞0$，对称轴$x=-\frac{b}{2a}=-1$得$b=2a＞0$，与$y$轴交于负半轴得$c＜0$，则$abc＜0$，①正确；
②由对称轴$x=-1$得$-\frac{b}{2a}=-1$，即$b=2a$，则$2a - b=0$，②正确；
③抛物线过点$(-3,0)$，对称轴为$x=-1$，则另一交点为$(1,0)$，当$x=2$时，$y=4a + 2b + c＞0$，③错误；
④点$(-5,y_1)$关于对称轴$x=-1$的对称点为$(3,y_1)$，$\frac{5}{2}=2.5$，$3＞2.5$且抛物线开口向上，得$y_1＞y_2$，④正确。
综上，正确的是①②④，答案为C。
②由对称轴$x=-1$得$-\frac{b}{2a}=-1$，即$b=2a$，则$2a - b=0$，②正确；
③抛物线过点$(-3,0)$，对称轴为$x=-1$，则另一交点为$(1,0)$，当$x=2$时，$y=4a + 2b + c＞0$，③错误；
④点$(-5,y_1)$关于对称轴$x=-1$的对称点为$(3,y_1)$，$\frac{5}{2}=2.5$，$3＞2.5$且抛物线开口向上，得$y_1＞y_2$，④正确。
综上，正确的是①②④，答案为C。
9. 如图22.1.4 - 6，抛物线$y = ax^{2}-5ax + 4a$与$x$轴相交于点$A$，$B$，且过点$C(5,4)$。
(1) 求$a$的值和该抛物线顶点$P$的坐标；
(2) 请你设计一种平移的方法，使平移后抛物线的顶点落在第二象限，并写出平移后抛物线对应的函数解析式。
(1) 求$a$的值和该抛物线顶点$P$的坐标；
(2) 请你设计一种平移的方法，使平移后抛物线的顶点落在第二象限，并写出平移后抛物线对应的函数解析式。
答案
9.
(1)$a=1$,顶点P的坐标为$(\frac {5}{2},-\frac {9}{4}).$
(2)(答案不唯一)如先向左平移3个单位长度,再向上平移4个单位长度,得到的抛物线的顶点坐标为$(-\frac {1}{2},\frac {7}{4})$,此时抛物线对应的函数解析式为$y=(x+\frac {1}{2})^{2}+\frac {7}{4}$,即$y=x^{2}+x+2.$
(1)$a=1$,顶点P的坐标为$(\frac {5}{2},-\frac {9}{4}).$
(2)(答案不唯一)如先向左平移3个单位长度,再向上平移4个单位长度,得到的抛物线的顶点坐标为$(-\frac {1}{2},\frac {7}{4})$,此时抛物线对应的函数解析式为$y=(x+\frac {1}{2})^{2}+\frac {7}{4}$,即$y=x^{2}+x+2.$
10. 求二次函数$y = x^{2}-2x - 3$在$0\leqslant x\leqslant3$范围内的最小值和最大值。
答案
10.在$0≤x≤3$范围内,$y_{最小值}=-4$,$y_{最大值}=0.$
解析
$y=x^{2}-2x-3=(x-1)^{2}-4$，抛物线开口向上，对称轴为直线$x=1$。
当$x=1$时，$y_{最小值}=-4$；
当$x=0$时，$y=0^{2}-2×0 - 3=-3$；
当$x=3$时，$y=3^{2}-2×3 - 3=0$；
在$0\leqslant x\leqslant3$范围内，$y_{最大值}=0$。
综上，$y_{最小值}=-4$，$y_{最大值}=0$。
当$x=1$时，$y_{最小值}=-4$；
当$x=0$时，$y=0^{2}-2×0 - 3=-3$；
当$x=3$时，$y=3^{2}-2×3 - 3=0$；
在$0\leqslant x\leqslant3$范围内，$y_{最大值}=0$。
综上，$y_{最小值}=-4$，$y_{最大值}=0$。
