【例题 3】有这样一道题：已知二次函数$y = ax^{2} + bx + c$的图象经过点$P(1, -4)$，且有$c = -3a·s·s$求证这个二次函数的图象必经过定点$A(-1,0)$. 题中“$·s·s$”部分是一段被墨水污染且无法辨认的文字.
(1)你能根据题中的信息求出这个二次函数的解析式吗？若能，请求出；若不能，请说明理由.
(2)根据已有信息，在原题“$······$”处添上一个适当的条件，把原题补充完整.

1. （1）
解：
因为二次函数$y = ax^{2}+bx + c$的图象经过点$P(1, - 4)$，所以$a + b + c=-4$；
又因为二次函数的图象经过定点$A(-1,0)$，所以$a - b + c = 0$；
已知$c=-3a$。
则可得方程组$\begin{cases}a + b + c=-4\\a - b + c = 0\\c=-3a\end{cases}$。
将$c = - 3a$代入$a + b + c=-4$和$a - b + c = 0$中：
把$c=-3a$代入$a + b + c=-4$得：$a + b-3a=-4$，即$-2a + b=-4$ ①；
把$c=-3a$代入$a - b + c = 0$得：$a - b-3a = 0$，即$-2a - b = 0$ ②；
①$+$②得：$(-2a + b)+(-2a - b)=-4 + 0$，
化简得：$-4a=-4$，解得$a = 1$；
把$a = 1$代入①得：$-2×1 + b=-4$，解得$b=-2$；
把$a = 1$代入$c=-3a$得：$c=-3$。
所以二次函数解析式为$y=x^{2}-2x - 3$。
2. （2）
答案：$b=-2a$（答案不唯一）。

1. 将二次函数$y = x^{2} - 2x + 3$化为$y = (x - m)^{2} + k$的形式为().

A.$y = (x - 1)^{2} + 3$
B.$y = (x - 1)^{2} + 2$
C.$y = (x - 2)^{2} + 3$
D.$y = (x - 2)^{2} - 1$

解：
对于二次函数$y = x^{2} - 2x + 3$，根据完全平方公式$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$，对其进行配方：
$\begin{aligned}y&=x^{2} - 2x + 3\\&=x^{2} - 2x + 1 + 2\\&=(x - 1)^{2} + 2\end{aligned}$
所以答案是B。

2. 二次函数$y = -x^{2} + 6x + 3$的图象的顶点为，对称轴为.

1. 首先将二次函数$y = -x^{2}+6x + 3$化为顶点式：
对于二次函数$y = ax^{2}+bx + c(a\neq0)$，其顶点式为$y=a(x - h)^{2}+k$，其中$h =-\frac{b}{2a}$，$k=\frac{4ac - b^{2}}{4a}$。
对于$y=-x^{2}+6x + 3$，这里$a=-1$，$b = 6$，$c = 3$。
先求$h$：
根据公式$h=-\frac{b}{2a}$，把$a=-1$，$b = 6$代入可得$h=-\frac{6}{2×(-1)} = 3$。
再求$k$：
根据公式$k=\frac{4ac - b^{2}}{4a}$，把$a=-1$，$b = 6$，$c = 3$代入可得：
$k=\frac{4×(-1)×3-6^{2}}{4×(-1)}=\frac{-12 - 36}{-4}=\frac{-48}{-4}=12$。
所以顶点式为$y=-(x - 3)^{2}+12$。
2. 然后得出顶点坐标和对称轴：
顶点坐标为$(h,k)$，即$(3,12)$。
对称轴为直线$x = h$，即直线$x = 3$。
故答案依次为：$(3,12)$；直线$x = 3$。

3. 将抛物线$y = x^{2}$向平移$3$个单位长度，可以得到抛物线$y = x^{2} - 3$.

本题可根据抛物线平移的规律来求解。
步骤一：分析抛物线平移规律
对于抛物线$y = a(x - h)^2 + k$（$a\neq0$）的平移，实质上是它的顶点$(h,k)$的移动（点的移动规律）。
抛物线$y=x^2$的顶点坐标为$(0,0)$，抛物线$y = x^{2}-3$的顶点坐标为$(0,-3)$。

步骤二：根据顶点坐标的变化确定平移方向
从顶点$(0,0)$到顶点$(0,-3)$，纵坐标从$0$变为$-3$，纵坐标减少了$3$。
根据抛物线平移规律“上加下减常数项”（即抛物线图象上下移动时，对$y$的值进行加减，向上移动加，向下移动减 ），可知是向下平移了$3$个单位长度。
综上，答案为下。

4. 已知二次函数$y = 2x^{2} + 4x - 6$，完成下列各题.
(1)将其化成$y = a(x - h)^{2} + k$的形式.
(2)写出其图象的开口方向、对称轴和顶点.
(3)求其图象与两坐标轴的交点坐标.
(4)画出函数图象.
(5)说明其图象与抛物线$y = 2x^{2}$的关系.
(6)当$x$取何值时，$y$随$x$的增大而减小？
(7)当$x$取何值时，①$y ＞ 0$？②$y = 0$？③$y ＜ 0$？
(8)当$x$取何值时，函数$y$有最值？其最值是多少？
(9)求其图象与两坐标轴的交点所构成的三角形的面积.

1. （1）
解：
$y = 2x^{2}+4x - 6$
$=2(x^{2}+2x)-6$
$=2(x^{2}+2x + 1 - 1)-6$
$=2((x + 1)^{2}-1)-6$
$=2(x + 1)^{2}-2 - 6$
$=2(x + 1)^{2}-8$
2. （2）
因为$a = 2\gt0$，所以图象开口向上；
对称轴为直线$x=-1$；
顶点坐标为$(-1,-8)$。
3. （3）
令$x = 0$，则$y=-6$，所以与$y$轴交点坐标为$(0,-6)$。
令$y = 0$，则$2x^{2}+4x - 6 = 0$，即$x^{2}+2x - 3 = 0$，$(x + 3)(x - 1)=0$，解得$x=-3$或$x = 1$，所以与$x$轴交点坐标为$(-3,0)$，$(1,0)$。
4. （4）
列表：
$x$：$-3$，$-2$，$-1$，$0$，$1$
$y$：$0$，$-6$，$-8$，$-6$，$0$
描点、连线，画出函数图象

5. （5）
抛物线$y = 2x^{2}+4x - 6 = 2(x + 1)^{2}-8$的图象是由抛物线$y = 2x^{2}$向左平移$1$个单位，再向下平移$8$个单位得到的。
6. （6）
当$x\leq - 1$时，$y$随$x$的增大而减小。
7. （7）
①由$2x^{2}+4x - 6\gt0$，即$(x + 3)(x - 1)\gt0$，解得$x\lt - 3$或$x\gt1$；
②由$2x^{2}+4x - 6 = 0$，解得$x=-3$或$x = 1$；
③由$2x^{2}+4x - 6\lt0$，即$(x + 3)(x - 1)\lt0$，解得$-3\lt x\lt1$。
8. （8）
因为$a = 2\gt0$，所以当$x=-1$时，函数$y$有最小值，最小值为$-8$。
9. （9）
图象与两坐标轴的交点坐标为$(-3,0)$，$(1,0)$，$(0,-6)$。
两交点间的距离为$\vert1 - (-3)\vert=4$，与$y$轴交点到$x$轴的距离为$6$。
所以三角形面积$S=\frac{1}{2}×4×6 = 12$。